En teoría de la probabilidad , el teorema de aplicación continua establece que las funciones continuas conservan límites incluso si sus argumentos son secuencias de variables aleatorias. Una función continua, en la definición de Heine , es una función que aplica secuencias convergentes a secuencias convergentes: si x n → x entonces g ( x n ) → g ( x ). El teorema de aplicación continua establece que esto también será cierto si reemplazamos la secuencia determinista { x n } con una secuencia de variables aleatorias { X n }, y reemplazamos la noción estándar de convergencia de números reales “→” con uno de los tipos de convergencia de variables aleatorias .
Este teorema fue demostrado por primera vez por Henry Mann y Abraham Wald en 1943, [1] y por eso a veces se lo llama teorema de Mann-Wald . [2] Mientras tanto, Denis Sargan se refiere a él como el teorema de transformación general . [3]
Sean { X n }, X elementos aleatorios definidos en un espacio métrico S . Supóngase que una función g : S → S′ (donde S′ es otro espacio métrico) tiene el conjunto de puntos de discontinuidad D g tales que Pr[ X ∈ D g ] = 0 . Entonces [4] [5]
donde los superíndices "d", "p" y "as" denotan convergencia en distribución , convergencia en probabilidad y convergencia casi segura respectivamente.
Los espacios S y S′ están dotados de ciertas métricas. Para simplificar, denotaremos ambas métricas utilizando la notación | x − y | , aunque las métricas pueden ser arbitrarias y no necesariamente euclidianas.
Necesitaremos una afirmación particular del teorema del acrónimo : que la convergencia en la distribución es equivalente a
Por lo tanto, basta con demostrar que para cada función continua acotada f . Nótese que es en sí misma una función continua acotada. Y por lo tanto, la afirmación se desprende de la afirmación anterior.
Fije un ε > 0 arbitrario . Luego, para cualquier δ > 0, considere el conjunto B δ definido como
Este es el conjunto de puntos de continuidad x de la función g (·) para los cuales es posible encontrar, dentro de la vecindad δ de x , un punto que se proyecta fuera de la vecindad ε de g ( x ). Por definición de continuidad, este conjunto se contrae cuando δ tiende a cero, de modo que lim δ → 0 B δ = ∅.
Ahora supongamos que | g ( X ) − g ( X n )| > ε . Esto implica que al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera: o bien | X − X n | ≥ δ , o bien X ∈ D g , o bien X ∈ B δ . En términos de probabilidades, esto se puede escribir como
En el lado derecho, el primer término converge a cero cuando n → ∞ para cualquier δ fijo , por la definición de convergencia en probabilidad de la secuencia { X n }. El segundo término converge a cero cuando δ → 0, ya que el conjunto B δ se reduce a un conjunto vacío. Y el último término es idénticamente igual a cero por suposición del teorema. Por lo tanto, la conclusión es que
lo que significa que g ( X n ) converge a g ( X ) en probabilidad.
Por definición de la continuidad de la función g (·),
en cada punto X ( ω ) donde g (·) es continua. Por lo tanto,
porque la intersección de dos eventos casi seguros es casi segura.
Por definición, concluimos que g ( X n ) converge a g ( X ) casi con seguridad.