Teorema de aplicación continua

Teorema de probabilidad

En teoría de la probabilidad , el teorema de aplicación continua establece que las funciones continuas conservan límites incluso si sus argumentos son secuencias de variables aleatorias. Una función continua, en la definición de Heine , es una función que aplica secuencias convergentes a secuencias convergentes: si x _n → x entonces g ( x _n ) → g ( x ). El teorema de aplicación continua establece que esto también será cierto si reemplazamos la secuencia determinista { x _n } con una secuencia de variables aleatorias { X _n }, y reemplazamos la noción estándar de convergencia de números reales “→” con uno de los tipos de convergencia de variables aleatorias .

Este teorema fue demostrado por primera vez por Henry Mann y Abraham Wald en 1943, ^[1] y por eso a veces se lo llama teorema de Mann-Wald . ^[2] Mientras tanto, Denis Sargan se refiere a él como el teorema de transformación general . ^[3]

Declaración

Sean { X _n }, X elementos aleatorios definidos en un espacio métrico S . Supóngase que una función g : S → S′ (donde S′ es otro espacio métrico) tiene el conjunto de puntos de discontinuidad D _g tales que Pr[ X  ∈  D _g ] = 0 . Entonces ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{n}\ {\xrightarrow {\text{d}}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\text{d}}}\ g(X);\\[6pt]X_{n}\ {\xrightarrow {\text{p}}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\text{p}}}\ g(X);\\[6pt]X_{n}\ {\xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!}}\ X\quad &\Rightarrow \quad g(X_{n})\ {\xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!}}\ g(X).\end{aligned}}}$

donde los superíndices "d", "p" y "as" denotan convergencia en distribución , convergencia en probabilidad y convergencia casi segura respectivamente.

Prueba

Esta prueba ha sido adoptada de (van der Vaart 1998, Teorema 2.3)

Los espacios S y S′ están dotados de ciertas métricas. Para simplificar, denotaremos ambas métricas utilizando la notación | x  −  y | , aunque las métricas pueden ser arbitrarias y no necesariamente euclidianas.

Convergencia en la distribución

Necesitaremos una afirmación particular del teorema del acrónimo : que la convergencia en la distribución es equivalente a ${\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {d}}X}$

${\displaystyle \mathbb {E} f(X_{n})\to \mathbb {E} f(X)}$para cada función continua acotada f .

Por lo tanto, basta con demostrar que para cada función continua acotada f . Nótese que es en sí misma una función continua acotada. Y por lo tanto, la afirmación se desprende de la afirmación anterior. ${\displaystyle \mathbb {E} f(g(X_{n}))\to \mathbb {E} f(g(X))}$ ${\displaystyle F=f\circ g}$

Convergencia en probabilidad

Fije un ε > 0 arbitrario  . Luego, para cualquier δ  > 0, considere el conjunto B _δ definido como

${\displaystyle B_{\delta }={\big \{}x\in S\mid x\notin D_{g}:\ \exists y\in S:\ |x-y|<\delta ,\,|g(x)-g(y)|>\varepsilon {\big \}}.}$

Este es el conjunto de puntos de continuidad x de la función g (·) para los cuales es posible encontrar, dentro de la vecindad δ de x , un punto que se proyecta fuera de la vecindad ε de g ( x ). Por definición de continuidad, este conjunto se contrae cuando δ tiende a cero, de modo que lim _{δ  → 0} B _δ  = ∅.

Ahora supongamos que | g ( X ) −  g ( X _n )| >  ε . Esto implica que al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera: o bien | X − X _n | ≥  δ , o bien X  ∈  D _g , o bien X ∈ B _δ . En términos de probabilidades, esto se puede escribir como

${\displaystyle \Pr {\big (}{\big |}g(X_{n})-g(X){\big |}>\varepsilon {\big )}\leq \Pr {\big (}|X_{n}-X|\geq \delta {\big )}+\Pr(X\in B_{\delta })+\Pr(X\in D_{g}).}$

En el lado derecho, el primer término converge a cero cuando n  → ∞ para cualquier δ fijo , por la definición de convergencia en probabilidad de la secuencia { X _n }. El segundo término converge a cero cuando δ  → 0, ya que el conjunto B _δ se reduce a un conjunto vacío. Y el último término es idénticamente igual a cero por suposición del teorema. Por lo tanto, la conclusión es que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr {\big (}{\big |}g(X_{n})-g(X){\big |}>\varepsilon {\big )}=0,}$

lo que significa que g ( X _n ) converge a g ( X ) en probabilidad.

Convergencia casi segura

Por definición de la continuidad de la función g (·),

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\quad \Rightarrow \quad \lim _{n\to \infty }g(X_{n}(\omega ))=g(X(\omega ))}$

en cada punto X ( ω ) donde g (·) es continua. Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(\lim _{n\to \infty }g(X_{n})=g(X)\right)&\geq \Pr \left(\lim _{n\to \infty }g(X_{n})=g(X),\ X\notin D_{g}\right)\\&\geq \Pr \left(\lim _{n\to \infty }X_{n}=X,\ X\notin D_{g}\right)=1,\end{aligned}}}$

porque la intersección de dos eventos casi seguros es casi segura.

Por definición, concluimos que g ( X _n ) converge a g ( X ) casi con seguridad.

Véase también

• Teorema de Slutsky
• Teorema de Portmanteau
• Medida de impulso

Referencias

1. Mann, HB; Wald, A. (1943). "Sobre límites estocásticos y relaciones de orden". Anales de estadística matemática . 14 (3): 217–226. doi : 10.1214/aoms/1177731415 . JSTOR  2235800.
2. Amemiya, Takeshi (1985). Econometría avanzada. Cambridge, MA: Harvard University Press. pág. 88. ISBN 0-674-00560-0.
3. Sargan, Denis (1988). Lecciones sobre teoría econométrica avanzada . Oxford: Basil Blackwell. pp. 4-8. ISBN 0-631-14956-2.
4. Billingsley, Patrick (1969). Convergencia de medidas de probabilidad . John Wiley & Sons. pág. 31 (Corolario 1). ISBN 0-471-07242-7.
5. van der Vaart, AW (1998). Estadísticas asintóticas. Nueva York: Cambridge University Press. pag. 7 (Teorema 2.3). ISBN 0-521-49603-9.