Teorema de Slutsky

Teorema de la teoría de la probabilidad

En teoría de probabilidad , el teorema de Slutsky extiende algunas propiedades de las operaciones algebraicas sobre secuencias convergentes de números reales a secuencias de variables aleatorias . ^[1]

El teorema debe su nombre a Eugen Slutsky . ^[2] El teorema de Slutsky también se atribuye a Harald Cramér . ^[3]

Declaración

Sean secuencias de elementos aleatorios escalares/vectoriales/matriciales . Si converge en distribución a un elemento aleatorio y converge en probabilidad a una constante , entonces ${\displaystyle X_{n},Y_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y_{n}}$ ${\displaystyle c}$

• ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X+c;}$
• ${\displaystyle X_{n}Y_{n}\ \xrightarrow {d} \ Xc;}$
• ${\displaystyle X_{n}/Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X/c,}$   siempre que c sea invertible,

donde denota convergencia en la distribución . ${\displaystyle {\xrightarrow {d}}}$

Notas:

1. El requisito de que Y _n converja a una constante es importante: si convergiera a una variable aleatoria no degenerada, el teorema ya no sería válido. Por ejemplo, sea y . La suma de todos los valores de n . Además, , pero no converge en distribución a , donde , , y y son independientes. ^[4] ${\displaystyle X_{n}\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$ ${\displaystyle Y_{n}=-X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}=0}$ ${\displaystyle Y_{n}\,\xrightarrow {d} \,{\rm {Uniform}}(-1,0)}$ ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}}$ ${\displaystyle X+Y}$ ${\displaystyle X\sim {\rm {Uniform}}(0,1)}$ ${\displaystyle Y\sim {\rm {Uniform}}(-1,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
2. El teorema sigue siendo válido si reemplazamos todas las convergencias en distribución por convergencias en probabilidad.

Prueba

Este teorema se deduce del hecho de que si X _n converge en distribución a X e Y _n converge en probabilidad a una constante c , entonces el vector conjunto ( X _n , Y _n ) converge en distribución a ( X ,  c ) ( ver aquí ).

A continuación aplicamos el teorema de aplicación continua , reconociendo que las funciones g ( x , y ) =  x  +  y , g ( x , y ) =  xy y g ( x , y ) =  x y ⁻¹ son continuas (para que la última función sea continua, y tiene que ser invertible).

Véase también

• Convergencia de variables aleatorias

Referencias

1. Goldberger, Arthur S. (1964). Teoría econométrica . Nueva York: Wiley. pp. 117–120.
2. Slutsky, E. (1925). "Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte". Metron (en alemán). 5 (3): 3–89. JFM  51.0380.03.
3. El teorema de Slutsky también se denomina teorema de Cramér según la Observación 11.1 (pág. 249) de Gut, Allan (2005). Probabilidad: un curso de posgrado . Springer-Verlag. ISBN 0-387-22833-0.
4. Véase Zeng, Donglin (otoño de 2018). "Teoría de variables aleatorias para muestras grandes (diapositivas de la clase)" (PDF) . Probabilidad avanzada e inferencia estadística I (BIOS 760) . Universidad de Carolina del Norte en Chapel Hill. Diapositiva 59.

Lectura adicional

• Casella, George; Berger, Roger L. (2001). Inferencia estadística . Pacific Grove: Duxbury. págs. 240–245. ISBN. 0-534-24312-6.
• Grimmett, G.; Stirzaker, D. (2001). Probabilidad y procesos aleatorios (3.ª ed.). Oxford.
• Hayashi, Fumio (2000). Econometría. Princeton University Press. Págs. 92-93. ISBN. 0-691-01018-8.