Teorema de Liouville-Arnold

En la teoría de sistemas dinámicos , el teorema de Liouville-Arnold establece que si, en un sistema dinámico hamiltoniano con n grados de libertad , también hay n primeras integrales de movimiento independientes, con conmutación de Poisson , y el conjunto de niveles de energía es compacto, entonces existe una transformación canónica a coordenadas de ángulo de acción en la que el hamiltoniano transformado depende sólo de las coordenadas de acción y las coordenadas de los ángulos evolucionan linealmente en el tiempo. Por tanto, las ecuaciones de movimiento del sistema se pueden resolver en cuadraturas si se pueden separar las condiciones establecidas simultáneamente a nivel. El teorema lleva el nombre de Joseph Liouville y Vladimir Arnold . ^{[1] [2] [3] [4] [5] : 270–272}

Historia

El teorema fue demostrado en su forma original por Liouville en 1853 para funciones con estructura simpléctica canónica . Arnold lo generalizó al contexto de variedades simplécticas , quien dio una prueba en su libro de texto Métodos matemáticos de la mecánica clásica publicado en 1974. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Declaración

Definiciones preliminares

Sea una variedad simpléctica -dimensional con estructura simpléctica . ${\displaystyle (M^{2n},\omega )}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \omega }$

Un sistema integrable es un conjunto de funciones , etiquetadas , que satisfacen ${\displaystyle M^{2n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M^{2n}}$ ${\displaystyle F=(F_{1},\cdots ,F_{n})}$

• Independencia lineal (genérica): en un conjunto denso ${\displaystyle dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}\neq 0}$
• Conmutación mutua de Poisson: el corchete de Poisson desaparece para cualquier par de valores . ${\displaystyle (F_{i},F_{j})}$ ${\displaystyle i,j}$

El corchete de Poisson es el corchete de Lie de los campos vectoriales del campo vectorial hamiltoniano correspondiente a cada uno . En su totalidad, si el campo vectorial hamiltoniano corresponde a una función suave , entonces, para dos funciones suaves , el corchete de Poisson es . ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle H:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F,G}$ ${\displaystyle (F,G)=[X_{F},X_{G}]}$

Un punto es un punto regular si . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle df_{1}\wedge \cdots \wedge df_{n}(p)\neq 0}$

El sistema integrable define una función . Denotar por el conjunto de niveles de las funciones , o alternativamente, . ${\displaystyle F:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L_{\mathbf {c} }}$ ${\displaystyle F_{i}}$ $${\displaystyle L_{\mathbf {c} }=\{x:F_{i}(x)=c_{i}\},}$$ ${\displaystyle L_{\mathbf {c} }=F^{-1}(\mathbf {c} )}$

Ahora bien, si se le da la estructura adicional de una función distinguida , el sistema hamiltoniano es integrable si se puede completar en un sistema integrable, es decir, existe un sistema integrable . ${\displaystyle M^{2n}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (M^{2n},\omega ,H)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F=(F_{1}=H,F_{2},\cdots ,F_{n})}$

Teorema

Si es un sistema hamiltoniano integrable y es un punto regular, el teorema caracteriza el conjunto de niveles de la imagen del punto regular : ${\displaystyle (M^{2n},\omega ,F)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle c=F(p)}$

• ${\displaystyle L_{c}}$es una variedad suave que es invariante bajo el flujo hamiltoniano inducido por (y por lo tanto bajo el flujo hamiltoniano inducido por cualquier elemento del sistema integrable). ${\displaystyle H=F_{1}}$
• Si además es compacto y conexo, es difeomorfo al N-toro . ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle T^{n}}$
• Existen coordenadas (locales) tales que son constantes en el nivel establecido mientras . Estas coordenadas se llaman coordenadas de ángulo de acción . ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle (\theta _{1},\cdots ,\theta _{n},\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})}$ ${\displaystyle \omega _{i}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{i}:=(H,\theta _{i})=\omega _{i}}$

Ejemplos de sistemas integrables en Liouville

Un sistema hamiltoniano que es integrable se denomina "integrable en el sentido de Liouville" o "integrable de Liouville". En esta sección se dan ejemplos famosos.

Alguna notación es estándar en la literatura. Cuando la variedad simpléctica considerada es , sus coordenadas a menudo se escriben y la forma simpléctica canónica es . A menos que se indique lo contrario, estos se asumen para esta sección. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$ ${\displaystyle \omega =\sum _{i}dq_{i}\wedge dp_{i}}$

• Oscilador armónico :con. Definiendo, el sistema integrable es. ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega ,H)}$ ${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)}$ ${\displaystyle H_{i}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}}$ ${\displaystyle (H,H_{1},\cdots ,H_{n-1})}$

• Sistema de fuerza central :conalgunafunción potencial. Definiendo el momento angular, el sistema integrable es. ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{6},\omega ,H)}$ ${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-U(\mathbf {q} ^{2})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} }$ ${\displaystyle (H,\mathbf {L} ^{2},L_{3})}$

• Tapas integrables : Las tapas de Lagrange, Euler y Kovalevskaya son integrables en el sentido de Liouville.

Ver también

• Integrabilidad de Frobenius : una noción más general de integrabilidad.
• Sistemas integrables

Referencias

1. J. Liouville, «Note sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique, présentée au Bureau des Longitudes le 29 juin 1853», JMPA , 1855, p. 137-138, pdf.
2. Fabio Benatti (2009). Dinámica, Información y Complejidad en Sistemas Cuánticos. Medios de ciencia y negocios de Springer . pag. 16.ISBN​ 978-1-4020-9306-7.
3. P. Tempesta; P. Winternitz; J. Harnad; W. Miller hijo; G. Pogosyan; M. Rodríguez, eds. (2004). Superintegrabilidad en sistemas clásicos y cuánticos. Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 48.ISBN​ 978-0-8218-7032-7.
4. Christopher KRT Jones; Alejandro I. Khibnik, eds. (2012). Sistemas dinámicos de múltiples escalas de tiempo. Medios de ciencia y negocios de Springer . pag. 1.ISBN​ 978-1-4613-0117-2.
5. Arnold, VI (1989). Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica . Saltador. ISBN 9780387968902.