Teorema de Krein-Rutman

Una generalización del teorema de Perron-Frobenius a espacios de Banach

En análisis funcional , el teorema de Krein-Rutman es una generalización del teorema de Perron-Frobenius a espacios de Banach de dimensión infinita . ^[1] Fue demostrado por Kerin y Rutman en 1948. ^[2]

Declaración

Sea un espacio de Banach , y sea un cono convexo tal que , y sea denso en , es decir, la clausura del conjunto . También se conoce como cono total . Sea un operador compacto distinto de cero y supongamos que es positivo , es decir , y que su radio espectral es estrictamente positivo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K\subset X}$ ${\displaystyle K\cap -K=\{0\}}$ ${\displaystyle K-K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{u-v:u,\,v\in K\}=X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T:X\to X}$ ${\displaystyle T(K)\subset K}$ ${\displaystyle r(T)}$

Entonces es un valor propio de con un vector propio positivo , lo que significa que existe tal que . ${\displaystyle r(T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle u\in K\setminus {0}}$ ${\displaystyle T(u)=r(T)u}$

Teorema de De Pagter

Si se supone que el operador positivo es ideal irreducible , es decir, no existe un ideal de tal que , entonces el teorema de De Pagter ^[3] afirma que . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle J\neq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle TJ\subset J}$ ${\displaystyle r(T)>0}$

Por lo tanto, para operadores irreducibles ideales esta suposición no es necesaria. ${\displaystyle r(T)>0}$

Referencias

1. Du, Y. (2006). "1. Teorema de Krein-Rutman y el valor propio principal". Estructura de orden y métodos topológicos en ecuaciones diferenciales parciales no lineales. vol. 1. Principios máximos y aplicaciones . Series en ecuaciones diferenciales parciales y aplicaciones. Hackensack, Nueva Jersey: World Scientific Publishing Co. Pte. ISBN limitado 981-256-624-4. SEÑOR  2205529.
2. Kreĭn, MG; Rutman, MA (1948). "Operadores lineales dejando invariante un cono en un espacio de Banach". Estera Uspekhi. Nauk . Nueva Serie (en ruso). 3 (1(23)): 1–95. SEÑOR  0027128.. Traducción al inglés: Kreĭn, MG; Rutman, MA (1950). "Operadores lineales dejando invariante un cono en un espacio de Banach". América. Matemáticas. Soc. Traducción​ 1950 (26). SEÑOR  0038008.
3. de Pagter, B. (1986). "Operadores compactos irreductibles". Matemáticas. Z.​ 192 (1): 149-153. doi :10.1007/bf01162028. SEÑOR  0835399.