Resultado en economía matemática sobre la existencia de un vector de producción de equilibrio no negativo
La condición de Hawkins-Simon se refiere a un resultado en economía matemática , atribuido a David Hawkins y Herbert A. Simon , [1] que garantiza la existencia de un vector de producción no negativo que resuelve la relación de equilibrio en el modelo insumo-producto donde la demanda es igual a la oferta . Más precisamente, establece una condición bajo la cual el sistema insumo-producto![{\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]\cdot \mathbf {x} =\mathbf {d} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
tiene una solución para cualquier . Aquí está la matriz de identidad y se llama matriz insumo-producto o matriz de Leontief en honor a Wassily Leontief , quien la estimó empíricamente en la década de 1940. [2] Juntos, describen un sistema en el que![{\displaystyle \mathbf {\hat {x}} \geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {d} \geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {I} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {A} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}+d_{i}=x_{i}\quad i=1,2,\ldots,n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde es la cantidad del i- ésimo bien utilizada para producir una unidad del j -ésimo bien, es la cantidad del j -ésimo bien producido y es la cantidad de demanda final del bien i . Reorganizado y escrito en notación vectorial, esto da la primera ecuación.![{\displaystyle a_{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{j}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle d_ {i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Defina dónde está una matriz con . [3] Entonces el teorema de Hawkins-Simon establece que las dos condiciones siguientes son equivalentes![{\displaystyle [\mathbf {I} -\mathbf {A} ]=\mathbf {B} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {B} =\left[b_{ij}\right]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b_{ij}\leq 0,i\neq j}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- (i) Existe tal que .
![{\displaystyle \mathbf {x} \geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathbf {x} >0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- (ii) Todos los principales menores principales sucesivos de son positivos, es decir
![{\displaystyle \mathbf {B} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b_{11}>0,{\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{vmatrix}}>0,\ldots ,{\begin{ vmatrix}b_{11}&b_{12}&\dots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\dots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_ {n1}&b_{n2}&\dots &b_{nn}\end{vmatrix}}>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para una prueba, véase Morishima (1964), [4] Nikaido (1968), [3] o Murata (1977). [5] La condición (ii) se conoce como condición de Hawkins-Simon . Este teorema fue descubierto de forma independiente por David Kotelyanskiĭ, [6] como lo denomina Felix Gantmacher como lema de Kotelyanskiĭ . [7]
Ver también
Referencias
- ^ Hawkins, David; Simón, Herbert A. (1949). "Algunas condiciones de estabilidad macroeconómica". Econométrica . 17 (3/4): 245–248. JSTOR 1905526.
- ^ Leontief, Wassily (1986). Economía insumo-producto (2ª ed.). Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-503525-9.
- ^ ab Nikaido, Hukukane (1968). Estructuras convexas y teoría económica. Prensa académica. págs. 90–92.
- ^ Morishima, Michio (1964). Equilibrio, estabilidad y crecimiento: un análisis multisectorial. Londres: Oxford University Press. págs. 15-17.
- ^ Murata, Yasuo (1977). Matemáticas para la estabilidad y optimización de los sistemas económicos. Nueva York: Academic Press. págs. 52–53.
- ^ Kotelyanskiĭ, DM (1952). "О некоторых свойствах матриц с положительными элементами" [Sobre algunas propiedades de matrices con elementos positivos] (PDF) . Estera. SB. NS 31 (3): 497–506.
- ^ Gantmacher, Félix (1959). La teoría de matrices. vol. 2. Nueva York: Chelsea. págs. 71–73.
Otras lecturas
- McKenzie, Lionel (1960). "Matrices con diagonales dominantes y teoría económica". En Arrow, Kenneth J .; Karlín, Samuel ; Suppes, Patrick (eds.). Métodos Matemáticos en las Ciencias Sociales . Prensa de la Universidad de Stanford. págs. 47–62. OCLC 25792438.
- Takayama, Akira (1985). "Teoremas de Frobenius, matrices diagonales dominantes y aplicaciones". Economía Matemática (Segunda ed.). Nueva York: Cambridge University Press. págs. 359–409.