En teoría de la información , el teorema de Cheung-Marks , [1] llamado así por KF Cheung y Robert J. Marks II , especifica las condiciones [2] en las que la restauración de una señal mediante el teorema de muestreo puede volverse incorrecta . Ofrece condiciones en las que "se produce un error de reconstrucción con varianza ilimitada cuando se añade un ruido de varianza limitada a las muestras". [3]
En el teorema de muestreo, la incertidumbre de la interpolación medida por la varianza del ruido es la misma que la incertidumbre de los datos de muestra cuando el ruido es iid [4]. En su clásico artículo de 1948 sobre la fundación de la teoría de la información , Claude Shannon ofreció la siguiente generalización del teorema de muestreo: [5]
Los 2 números TW utilizados para especificar la función no necesitan ser las muestras igualmente espaciadas utilizadas anteriormente. Por ejemplo, las muestras pueden estar espaciadas de manera desigual, aunque, si hay un agrupamiento considerable, las muestras deben conocerse con mucha precisión para dar una buena reconstrucción de la función. El proceso de reconstrucción también es más complejo con espaciado desigual. Se puede demostrar además que el valor de la función y su derivada en cada otro punto de muestra son suficientes. El valor y las derivadas primera y segunda en cada tercer punto de muestra dan un conjunto aún diferente de parámetros que determinan de manera única la función. En términos generales, cualquier conjunto de 2 números TW independientes asociados con la función se puede utilizar para describirla.
Aunque son ciertas en ausencia de ruido, muchas de las expansiones propuestas por Shannon resultan incorrectas . Una cantidad arbitrariamente pequeña de ruido en los datos hace que la restauración sea inestable. Estas expansiones de muestreo no son útiles en la práctica, ya que el ruido de muestreo, como el ruido de cuantificación , descarta la interpolación estable y, por lo tanto, cualquier uso práctico.
La sugerencia de Shannon de muestrear simultáneamente la señal y su derivada a la mitad de la tasa de Nyquist da como resultado una interpolación con buen comportamiento. [6] El teorema de Cheung-Marks muestra, de manera contraintuitiva, que entrelazar muestras de la señal y la derivada hace que el problema de restauración esté mal planteado. [1] [2]
El teorema también muestra que la sensibilidad aumenta con el orden de la derivada. [7]
En general, el teorema de Cheung-Marks muestra que el teorema de muestreo se vuelve impreciso cuando el área ( integral ) de la magnitud al cuadrado de la función de interpolación en todo el tiempo no es finita. [1] [2] "Si bien el concepto de muestreo generalizado es relativamente sencillo, la reconstrucción no siempre es factible debido a posibles inestabilidades". [8]