En matemáticas , el teorema de Bussgang es un teorema del análisis estocástico . El teorema establece que la correlación cruzada entre una señal gaussiana antes y después de haber pasado por una operación no lineal es igual a la autocorrelación de la señal hasta una constante. Fue publicado por primera vez por Julian J. Bussgang en 1952 mientras estaba en el Instituto de Tecnología de Massachusetts . [1]
Declaración
Sea un proceso aleatorio gaussiano estacionario de media cero y donde sea una distorsión de amplitud no lineal.
Si es la función de autocorrelación de , entonces la función de correlación cruzada de y es
donde es una constante que depende sólo de .
Se puede demostrar además que
Derivación para cuantificación de un bit
Es una propiedad de la distribución normal bidimensional que la densidad conjunta de y depende sólo de su covarianza y viene dada explícitamente por la expresión
donde y son variables aleatorias gaussianas estándar con correlación .
Supongamos que , la correlación entre y es,
- .
Desde
- ,
la correlación se puede simplificar como
- .
Se ve que la integral anterior depende sólo de la característica de distorsión y es independiente de .
Recordando eso , observamos que para una característica de distorsión dada , la relación es .
Por lo tanto, la correlación se puede reescribir en la forma
.
La ecuación anterior es la expresión matemática del "teorema de Bussgang" indicado.
Si , o se llama cuantificación de un bit, entonces .
[2] [3] [1] [4]
Ley del arcoseno
Si las dos variables aleatorias están distorsionadas, es decir , la correlación de y es
.
Cuando , la expresión se convierte en,
dónde .
notando que
,
y , ,
podemos simplificar la expresión de como
Además, conviene introducir la coordenada polar . Se encuentra así que
.
La integración da
,
Esto se llama "ley del arcoseno", que fue encontrada por primera vez por JH Van Vleck en 1943 y republicada en 1966. [2] [3] La "ley del arcoseno" también se puede demostrar de una manera más sencilla aplicando el teorema de Price. [4] [5]
La función se puede aproximar como cuando es pequeña.
Teorema del precio
Dadas dos variables aleatorias conjuntamente normales y con función de probabilidad conjunta
,
formamos la media
de alguna función de . Si como , entonces
.
Prueba. La función característica conjunta de las variables aleatorias y es por definición la integral.
.
De la fórmula de inversión bidimensional de la transformada de Fourier, se deduce que
.
Por lo tanto, reemplazando la expresión de en y derivando con respecto a , obtenemos
Después de repetidas integraciones por partes y usando la condición en , obtenemos el teorema de Price.
[4] [5]
Prueba de la ley del arcoseno mediante el teorema de Price
Si , entonces ¿dónde está la función delta de Dirac?
Sustituyendo el teorema de Price, obtenemos,
.
Cuando , . De este modo
,
que es el conocido resultado de Van Vleck de la "ley del arcoseno".
[2] [3]
Solicitud
Este teorema implica que se puede diseñar un correlacionador simplificado. [ se necesita aclaración ] En lugar de tener que multiplicar dos señales, el problema de correlación cruzada se reduce a la sincronización [ se necesita aclaración ] de una señal con otra. [ cita necesaria ]
Referencias
- ^ ab JJ Bussgang, "Función de correlación cruzada de señales gaussianas con amplitud distorsionada", Res. Laboratorio. Elec., Mas. Inst. Technol., Cambridge MA, Tecnología. Rep. 216, marzo de 1952.
- ^ abc Vleck, JH Van. "El espectro del ruido recortado". Informe del laboratorio de investigación de radio de la Universidad de Harvard (51).
- ^ abc Vleck, JH Van; Middleton, D. (enero de 1966). "El espectro del ruido recortado". Actas del IEEE . 54 (1): 2–19. doi :10.1109/PROC.1966.4567. ISSN 1558-2256.
- ^ abc Price, R. (junio de 1958). "Un teorema útil para dispositivos no lineales que tienen entradas gaussianas". Transacciones IRE sobre teoría de la información . 4 (2): 69–72. doi :10.1109/TIT.1958.1057444. ISSN 2168-2712.
- ^ ab Papoulis, Atanasios (2002). Probabilidad, variables aleatorias y procesos estocásticos . McGraw-Hill. pag. 396.ISBN 0-07-366011-6.
Otras lecturas
- EW Bai; V. Cerone; D. Regruto (2007) "Entradas separables para la identificación de sistemas no lineales orientados a bloques", Actas de la Conferencia Estadounidense de Control de 2007 (Nueva York, 11 al 13 de julio de 2007) 1548-1553