Teorema de Bohr-Mollerup

Teorema en análisis complejo

En análisis matemático , el teorema de Bohr-Mollerup ^{[1] [2]} es un teorema demostrado por los matemáticos daneses Harald Bohr y Johannes Mollerup . ^[3] El teorema caracteriza la función gamma , definida para x > 0 por

${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$

como única función positiva  f  , con dominio en el intervalo x > 0 , que tiene simultáneamente las siguientes tres propiedades:

•  f  (1) = 1 , y
•  f  ( x + 1) = x  f  ( x ) para x > 0 y
•  f  es logarítmicamente convexa .

Un tratamiento de este teorema se encuentra en el libro de Artin The Gamma Function , ^[4] que ha sido reimpreso por la AMS en una colección de escritos de Artin. ^[5]

El teorema se publicó por primera vez en un libro de texto sobre análisis complejo , ya que Bohr y Mollerup pensaban que ya había sido demostrado. ^[3]

El teorema admite una generalización de gran alcance a una amplia variedad de funciones (que tienen propiedades de convexidad o concavidad de cualquier orden). ^[6]

Declaración

Teorema de Bohr-Mollerup.     Γ( x ) es la única función que satisface f  ( x + 1) = x f  ( x ) con log(  f  ( x )) convexo y también con f  (1) = 1 .   

Prueba

Sea Γ( x ) una función con las propiedades asumidas establecidas anteriormente: Γ( x + 1) = x Γ( x ) y log(Γ( x )) es convexo, y Γ(1) = 1 . De Γ( x + 1) = x Γ( x ) podemos establecer

${\displaystyle \Gamma (x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots (x+1)x\Gamma (x)}$

El propósito de la estipulación de que Γ(1) = 1 obliga a la propiedad Γ( x + 1) = x Γ( x ) a duplicar los factoriales de los números enteros, por lo que ahora podemos concluir que Γ( n ) = ( n − 1) ! si n ∈ N y si Γ( x ) existe. Debido a nuestra relación para Γ( x + n ) , si podemos entender completamente Γ( x ) para 0 < x ≤ 1 entonces entendemos Γ( x ) para todos los valores de x .

Para x ₁ , x ₂ , la pendiente S ( x ₁ , x ₂ ) del segmento de línea que conecta los puntos ( x ₁ , log(Γ ( x ₁ ))) y ( x ₂ , log(Γ ( x ₂ )) ) aumenta monótonamente en cada argumento con x ₁ < x ₂ ya que hemos estipulado que log(Γ( x )) es convexo. Así, sabemos que

${\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n,n+x)\leq S(n,n+1)\quad {\text{for all }}x\in (0,1].}$

Después de simplificar usando las diversas propiedades del logaritmo y luego exponenciar (lo que preserva las desigualdades ya que la función exponencial aumenta monótonamente) obtenemos

${\displaystyle (n-1)^{x}(n-1)!\leq \Gamma (n+x)\leq n^{x}(n-1)!.}$

Del trabajo anterior esto se expande a

${\displaystyle (n-1)^{x}(n-1)!\leq (x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x\Gamma (x)\leq n^{x}(n-1)!,}$

y entonces

${\displaystyle {\frac {(n-1)^{x}(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}}\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right).}$

La última línea es una declaración contundente. En particular, es cierto para todos los valores de n . Es decir, Γ( x ) no es mayor que el lado derecho para cualquier elección de n y de la misma manera, Γ( x ) no es menor que el lado izquierdo para cualquier otra elección de n . Cada desigualdad es independiente y puede interpretarse como una afirmación independiente. Debido a este hecho, somos libres de elegir diferentes valores de n para el lado derecho y el lado izquierdo. En particular, si mantenemos n para el lado derecho y elegimos n + 1 para el lado izquierdo, obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {((n+1)-1)^{x}((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\\{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}&\leq \Gamma (x)\leq {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\left({\frac {n+x}{n}}\right)\end{aligned}}}$

De esta última línea se desprende claramente que una función se intercala entre dos expresiones, una técnica de análisis común para probar varias cosas, como la existencia de un límite o la convergencia. Sea n → ∞ :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n+x}{n}}=1}$

por lo que el lado izquierdo de la última desigualdad se hace igual al lado derecho en el límite y

${\displaystyle {\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

está intercalado en el medio. Esto sólo puede significar que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}=\Gamma (x).}$

En el contexto de esta prueba esto significa que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

tiene las tres propiedades especificadas que pertenecen a Γ( x ) . Además, la prueba proporciona una expresión específica para Γ( x ) . Y la última parte crítica de la prueba es recordar que el límite de una secuencia es único. Esto significa que para cualquier elección de 0 < x ≤ 1 sólo puede existir un número posible Γ( x ) . Por lo tanto, no existe otra función con todas las propiedades asignadas a Γ( x ) .

El cabo suelto que queda es la cuestión de demostrar que Γ( x ) tiene sentido para todo x donde

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}}$

existe. El problema es que nuestra primera doble desigualdad

${\displaystyle S(n-1,n)\leq S(n+x,n)\leq S(n+1,n)}$

se construyó con la restricción 0 < x ≤ 1 . Si, digamos, x > 1, entonces el hecho de que S aumente monótonamente haría que S ( n + 1, n ) < S ( n + x , n ) , contradijera la desigualdad sobre la cual se construye toda la prueba. Sin embargo,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x+1)&=\lim _{n\to \infty }x\cdot \left({\frac {n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}}\right){\frac {n}{n+x+1}}\\\Gamma (x)&=\left({\frac {1}{x}}\right)\Gamma (x+1)\end{aligned}}}$

que demuestra cómo arrancar Γ( x ) a todos los valores de x donde se define el límite.

Ver también

• teorema de wielandt

Referencias

1. "Teorema de Bohr-Mollerup", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
2. Weisstein, Eric W. "Teorema de Bohr-Mollerup". MundoMatemático .
3. Mollerup, J., Bohr, H. (1922). Lærebog i Kompleks Analizar vol. III, Copenhague .{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )
4. Artín, Emil (1964). La función gamma . Holt, Rinehart, Winston.
5. Rosen, Michael (2006). Exposición de Emil Artin: Una selección . Sociedad Matemática Estadounidense.
6. J.-L. Marichal; N. Zenaïdi (2022). Una generalización del teorema de Bohr-Mollerup para funciones convexas de orden superior. Desarrollos en matemáticas, vol. 70. Springer, Cham, Suiza.