Teorema de Bertrand-Diguet-Puiseux

Da la curvatura gaussiana de una superficie a partir de la longitud de un círculo geodésico o su área.

En el estudio matemático de la geometría diferencial de superficies , el teorema de Bertrand-Diguet-Puiseux expresa la curvatura gaussiana de una superficie en términos de la circunferencia de un círculo geodésico o del área de un disco geodésico. El teorema recibe su nombre en honor a Joseph Bertrand , Victor Puiseux y Charles François Diguet.

Sea p un punto de una superficie lisa M . El círculo geodésico de radio r centrado en p es el conjunto de todos los puntos cuya distancia geodésica a p es igual a  r . Sea C ( r ) la circunferencia de este círculo y A ( r ) el área del disco contenido dentro del círculo. El teorema de Bertrand-Diguet-Puiseux afirma que

${\displaystyle K(p)=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}.}$

El teorema está estrechamente relacionado con el teorema de Gauss-Bonnet .

Referencias

• Berger, Marcel (2004), Una visión panorámica de la geometría de Riemann , Springer-Verlag, ISBN 3-540-65317-1
• Bertrand, J; Diguet, CF; Puiseux, V (1848), "Démonstration d'un théorème de Gauss" (PDF) , Journal de Mathématiques , 13 : 80–90
• Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial, Volumen II , Publish or Perish Press, ISBN 0-914098-71-3