Teorema de Bernstein (teoría de aproximación)

En teoría de aproximación, un reverso del teorema de Jackson

En teoría de aproximación , el teorema de Bernstein es un inverso del teorema de Jackson . ^[1] Los primeros resultados de este tipo fueron demostrados por Sergei Bernstein en 1912. ^[2]

Para la aproximación por polinomios trigonométricos , el resultado es el siguiente:

Sea f : [0, 2π] → C una función periódica de 2 π y supongamos que r es un número natural y 0 < α < 1. Si existe un número C ( f ) > 0 y una secuencia de polinomios trigonométricos { P _n } _{n ≥ n 0} tales que

${\displaystyle \deg \,P_{n}=n~,\quad \sup _{0\leq x\leq 2\pi }|f(x)-P_{n}(x)|\leq {\frac {C(f)}{n^{r+\alpha }}}~,}$

entonces f = P _{n 0} + φ , donde φ tiene una derivada r -ésima acotada que es continua en el sentido α-Hölder .

Véase también

• Teorema del letargo de Bernstein
• Teoría de la función constructiva

Referencias

1. Achieser, NI (1956). Teoría de la aproximación . Nueva York: Frederick Ungar Publishing Co.
2. Bernstein, SN (1952). Obras completas, 1. Moscú. Págs. 11-104.{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )