Teoría del campo medio dinámico

Método para determinar la estructura electrónica de materiales fuertemente correlacionados

La teoría del campo medio dinámico ( DMFT ) es un método para determinar la estructura electrónica de materiales fuertemente correlacionados . En tales materiales, la aproximación de electrones independientes, que se utiliza en la teoría funcional de la densidad y en los cálculos habituales de estructura de bandas , no funciona. La teoría del campo medio dinámico, un tratamiento no perturbativo de las interacciones locales entre electrones, cierra la brecha entre el límite de gas de electrones casi libres y el límite atómico de la física de la materia condensada . ^[1]

La DMFT consiste en mapear un problema de red de muchos cuerpos a un problema local de muchos cuerpos , llamado modelo de impurezas. ^[2] Si bien el problema de red es en general intratable, el modelo de impurezas suele resolverse mediante varios esquemas. El mapeo en sí mismo no constituye una aproximación. La única aproximación realizada en esquemas DMFT ordinarios es asumir que la autoenergía de la red es una cantidad independiente del momento (local). Esta aproximación se vuelve exacta en el límite de redes con una coordinación infinita . ^[3]

Uno de los principales logros de la DMFT es describir la transición de fase entre un metal y un aislante de Mott cuando se incrementa la fuerza de las correlaciones electrónicas . Se ha aplicado con éxito a materiales reales, en combinación con la aproximación de densidad local de la teoría del funcional de la densidad. ^{[4] [5]}

Relación con la teoría del campo medio

El tratamiento DMFT de los modelos cuánticos de red es similar al tratamiento de la teoría del campo medio (MFT) de los modelos clásicos como el modelo de Ising . ^[6] En el modelo de Ising, el problema de la red se asigna a un problema de sitio único efectivo, cuya magnetización debe reproducir la magnetización de la red a través de un "campo medio" efectivo. Esta condición se denomina condición de autoconsistencia. Estipula que los observables de sitio único deben reproducir los observables "locales" de la red por medio de un campo efectivo. Si bien el hamiltoniano de Ising de N sitios es difícil de resolver analíticamente (hasta la fecha, solo existen soluciones analíticas para el caso 1D y 2D), el problema de sitio único se resuelve fácilmente.

Del mismo modo, DMFT asigna un problema de red ( por ejemplo , el modelo de Hubbard ) a un problema de sitio único. En DMFT, el observable local es la función de Green local . Por lo tanto, la condición de autoconsistencia para DMFT es que la función de Green de impureza reproduzca la función de Green local de red a través de un campo medio efectivo que, en DMFT, es la función de hibridación del modelo de impureza. DMFT debe su nombre al hecho de que el campo medio depende del tiempo o es dinámico. Esto también señala la principal diferencia entre la MFT de Ising y DMFT: la MFT de Ising asigna el problema de N-espín a un problema de sitio único, espín único. DMFT asigna el problema de red a un problema de sitio único, pero este último sigue siendo fundamentalmente un problema de N-cuerpos que captura las fluctuaciones temporales debidas a las correlaciones electrón-electrón. ${\displaystyle \Delta (\tau )}$ ${\displaystyle \Delta (\tau )}$

Descripción de DMFT para el modelo Hubbard

El mapeo DMFT

Modelo Hubbard de órbita única

El modelo de Hubbard ^[7] describe la interacción in situ entre electrones de espín opuesto mediante un único parámetro, . El hamiltoniano de Hubbard puede adoptar la siguiente forma: ${\displaystyle U}$

${\displaystyle H_{\text{Hubbard}}=t\sum _{\langle ij\rangle \sigma }c_{i\sigma }^{\dagger }c_{j\sigma }+U\sum _{i}n_{i\uparrow }n_{i\downarrow }}$

donde, al suprimir los índices de espín 1/2 , denotan los operadores de creación y aniquilación de un electrón en un orbital localizado en el sitio , y . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle c_{i}^{\dagger },c_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n_{i}=c_{i}^{\dagger }c_{i}}$

Se han hecho las siguientes suposiciones:

• sólo un orbital contribuye a las propiedades electrónicas (como podría ser el caso de los átomos de cobre en los cupratos superconductores , cuyas bandas no están degeneradas), ${\displaystyle d}$
• Los orbitales están tan localizados que solo se tienen en cuenta los saltos entre vecinos más cercanos. ${\displaystyle t}$

El problema auxiliar: el modelo de impurezas de Anderson

El modelo de Hubbard es, en general, intratable bajo las técnicas usuales de expansión de perturbaciones. DMFT mapea este modelo de red sobre el llamado modelo de impureza de Anderson (AIM). Este modelo describe la interacción de un sitio (la impureza) con un "baño" de niveles electrónicos (descrito por los operadores de aniquilación y creación y ) a través de una función de hibridación. El modelo de Anderson correspondiente a nuestro modelo de sitio único es un modelo de impureza de Anderson de orbital único, cuya formulación hamiltoniana, al suprimir algunos índices de espín 1/2 , es: ${\displaystyle a_{p\sigma }}$ ${\displaystyle a_{p\sigma }^{\dagger }}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle H_{\text{AIM}}=\underbrace {\sum _{p}\epsilon _{p}a_{p}^{\dagger }a_{p}} _{H_{\text{bath}}}+\underbrace {\sum _{p\sigma }\left(V_{p}^{\sigma }c_{\sigma }^{\dagger }a_{p\sigma }+h.c.\right)} _{H_{\text{mix}}}+\underbrace {Un_{\uparrow }n_{\downarrow }-\mu \left(n_{\uparrow }+n_{\downarrow }\right)} _{H_{\text{loc}}}}$

dónde

• ${\displaystyle H_{\text{bath}}}$describe los niveles electrónicos no correlacionados del baño ${\displaystyle \epsilon _{p}}$
• ${\displaystyle H_{\text{loc}}}$describe la impureza, donde dos electrones interactúan con el costo energético ${\displaystyle U}$
• ${\displaystyle H_{\text{mix}}}$describe la hibridación (o acoplamiento) entre la impureza y el baño a través de términos de hibridación ${\displaystyle V_{p}^{\sigma }}$

La función de Green de Matsubara de este modelo, definida por , está completamente determinada por los parámetros y la llamada función de hibridación , que es la transformada de Fourier de tiempo imaginario de . ${\displaystyle G_{\text{imp}}(\tau )=-\langle Tc(\tau )c^{\dagger }(0)\rangle }$ ${\displaystyle U,\mu }$ ${\displaystyle \Delta _{\sigma }(i\omega _{n})=\sum _{p}{\frac {|V_{p}^{\sigma }|^{2}}{i\omega _{n}-\epsilon _{p}}}}$ ${\displaystyle \Delta _{\sigma }(\tau )}$

Esta función de hibridación describe la dinámica de los electrones que entran y salen del baño. Debería reproducir la dinámica de la red de modo que la función de Green de la impureza sea la misma que la función de Green de la red local. Está relacionada con la función de Green que no interactúa mediante la relación:

${\displaystyle ({\mathcal {G}}_{0})^{-1}(i\omega _{n})=i\omega _{n}+\mu -\Delta (i\omega _{n})}$(1)

La solución del modelo de impurezas de Anderson consiste en calcular observables como la función de Green interactuante para una función de hibridación dada y . Es un problema difícil pero no insoluble. Existen varias formas de resolver el AIM, como ${\displaystyle G(i\omega _{n})}$ ${\displaystyle \Delta (i\omega _{n})}$ ${\displaystyle U,\mu }$

• Grupo de renormalización numérica
• Diagonalización exacta
• Teoría de perturbaciones iterativas
• Aproximación sin cruce
• Algoritmos de Monte Carlo cuántico de tiempo continuo

Ecuaciones de autoconsistencia

La condición de autoconsistencia requiere que la función de Green de la impureza coincida con la función de Green de la red local : ${\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(\tau )}$ ${\displaystyle G_{ii}(\tau )=-\langle Tc_{i}(\tau )c_{i}^{\dagger }(0)\rangle }$

${\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})=G_{ii}(i\omega _{n})=\sum _{k}{\frac {1}{i\omega _{n}+\mu -\epsilon (k)-\Sigma (k,i\omega _{n})}}}$

donde denota la autoenergía reticular. ${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})}$

Aproximación DMFT: localidad de la autoenergía reticular

La única aproximación DMFT (aparte de la aproximación que se puede realizar para resolver el modelo de Anderson) consiste en descuidar las fluctuaciones espaciales de la autoenergía reticular , equiparándola a la autoenergía de las impurezas:

${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})\approx \Sigma _{imp}(i\omega _{n})}$

Esta aproximación se vuelve exacta en el límite de las redes con coordinación infinita, es decir, cuando el número de vecinos de cada sitio es infinito. De hecho, se puede demostrar que en la expansión diagramática de la autoenergía de la red, solo sobreviven los diagramas locales cuando se entra en el límite de coordinación infinita.

Por lo tanto, al igual que en las teorías clásicas de campo medio, se supone que la DMFT se vuelve más precisa a medida que aumenta la dimensionalidad (y, por lo tanto, el número de vecinos). Dicho de otro modo, para dimensiones bajas, las fluctuaciones espaciales harán que la aproximación DMFT sea menos confiable.

Las fluctuaciones espaciales también se vuelven relevantes en las proximidades de las transiciones de fase . En este caso, las teorías DMFT y de campo medio clásicas dan como resultado exponentes críticos de campo medio ; los cambios pronunciados antes de la transición de fase no se reflejan en la energía propia de DMFT.

El bucle DMFT

Para encontrar la función de Green de red local, hay que determinar la función de hibridación de manera que la función de Green de la impureza correspondiente coincida con la función de Green de red local buscada. La forma más extendida de resolver este problema es mediante un método de recursión hacia adelante, es decir, para un , y una temperatura dados : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

1. Comience con una suposición para (normalmente, ) ${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})}$ ${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})=0}$
2. Realizar la aproximación DMFT: ${\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})\approx \Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})}$
3. Calcular la función de Green local ${\displaystyle G_{\mathrm {loc} }(i\omega _{n})}$
4. Calcular el campo medio dinámico ${\displaystyle \Delta (i\omega )=i\omega _{n}+\mu -G_{\mathrm {loc} }^{-1}(i\omega _{n})-\Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})}$
5. Resuelva el AIM para una nueva función de Green de impureza , extraiga su autoenergía: ${\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})}$ ${\displaystyle \Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})=({\mathcal {G}}_{0})^{-1}(i\omega _{n})-(G_{\mathrm {imp} })^{-1}(i\omega _{n})}$
6. Regrese al paso 2 hasta la convergencia, es decir, cuando . ${\displaystyle G_{\mathrm {imp} }^{n}=G_{\mathrm {imp} }^{n+1}}$

Aplicaciones

La función de Green de la red local y otros observables de impurezas se pueden utilizar para calcular una serie de cantidades físicas en función de correlaciones , ancho de banda, llenado (potencial químico ) y temperatura : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

• la función espectral (que da la estructura de la banda)
• La energía cinética
• la doble ocupación de un sitio
• Funciones de respuesta (compresibilidad, conductividad óptica, calor específico)

En particular, la caída de la ocupación doble a medida que aumenta es una característica de la transición de Mott. ${\displaystyle U}$

Extensiones de DMFT

DMFT tiene varias extensiones, que extienden el formalismo anterior a problemas multiorbitales y multisitio, correlaciones de largo alcance y no equilibrio.

Extensión multiorbital

La DMFT se puede extender a los modelos de Hubbard con múltiples orbitales, es decir, con interacciones electrón-electrón de la forma donde y denotan orbitales diferentes. La combinación con la teoría del funcional de la densidad (DFT+DMFT) ^{[4] [8]} permite entonces un cálculo realista de materiales correlacionados. ^[9] ${\displaystyle U_{\alpha \beta }n_{\alpha }n_{\beta }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

DMFT extendido

La DMFT extendida produce una energía propia de impureza local para interacciones no locales y, por lo tanto, nos permite aplicar DMFT para modelos más generales, como el modelo tJ .

Clúster DMFT

Para mejorar la aproximación DMFT, el modelo de Hubbard se puede aplicar a un problema de impurezas (cúmulos) de sitios múltiples, lo que permite agregar cierta dependencia espacial a la autoenergía de las impurezas. Los cúmulos contienen de 4 a 8 sitios a baja temperatura y hasta 100 sitios a alta temperatura.

La aproximación de cúmulos dinámicos medios típicos (TMDCA) es un enfoque no perturbativo para obtener el estado electrónico fundamental de sistemas de muchos cuerpos fuertemente correlacionados, basado en la aproximación de cúmulos dinámicos (DCA). ^[10]

Extensiones diagramáticas

Las dependencias espaciales de la energía propia más allá de DMFT, incluidas las correlaciones de largo alcance en la proximidad de una transición de fase , también se pueden obtener a través de extensiones diagramáticas de DMFT ^[11] utilizando una combinación de técnicas analíticas y numéricas. El punto de partida de la aproximación de vértice dinámico ^[12] y del enfoque de fermiones duales es el vértice local de dos partículas .

No equilibrio

La DMFT se ha utilizado para estudiar el transporte fuera de equilibrio y las excitaciones ópticas. ^[13] En este sentido, el cálculo fiable de la función de Green del AIM fuera de equilibrio sigue siendo un gran desafío. La DMFT también se ha aplicado a modelos ecológicos para describir la dinámica del campo medio de una comunidad con un número termodinámico de especies. ^[14]

Referencias y notas

1. A. Georges; G. Kotliar; W. Krauth; M. Rozenberg (1996). "Teoría dinámica del campo medio de sistemas fermiónicos fuertemente correlacionados y el límite de dimensiones infinitas". Reseñas de Física Moderna . 68 (1): 13. Bibcode :1996RvMP...68...13G. doi :10.1103/RevModPhys.68.13.
2. A. Georges y G. Kotliar (1992). "Modelo de Hubbard en dimensiones infinitas". Physical Review B . 45 (12): 6479–6483. Bibcode :1992PhRvB..45.6479G. doi :10.1103/PhysRevB.45.6479. PMID  10000408.
3. W. Metzner; D. Vollhardt (1989). "Fermiones reticulares correlacionados en dimensiones d = ∞". Physical Review Letters . 62 (3): 324–327. Bibcode :1989PhRvL..62..324M. doi :10.1103/PhysRevLett.62.324. PMID  10040203.
4. G. Kotliar; SY Savrasov; K. Haule; VS Oudovenko; O. Parcollet; CA Marianetti (2006). "Cálculos de estructura electrónica con teoría dinámica del campo medio". Reseñas de Física Moderna . 78 (3): 865. arXiv : cond-mat/0511085 . Código Bibliográfico :2006RvMP...78..865K. doi :10.1103/RevModPhys.78.865. S2CID  119099745.
5. D. Vollhardt (2012). "Teoría dinámica del campo medio para electrones correlacionados". Annalen der Physik . 524 (1): 1–19. Código Bib : 2012AnP...524....1V. doi : 10.1002/andp.201100250 .
6. Antoine Georges (2004). "Materiales electrónicos fuertemente correlacionados: teoría dinámica del campo medio y estructura electrónica". Actas de la conferencia AIP . Lecciones sobre la física de sistemas electrónicos altamente correlacionados VIII. Vol. 715. Instituto Americano de Física. págs. 3–74. arXiv : cond-mat/0403123 . doi :10.1063/1.1800733.
7. John Hubbard (1963). "Correlaciones electrónicas en bandas de energía estrechas". Actas de la Royal Society A . 276 (1365): 238–257. Código Bibliográfico :1963RSPSA.276..238H. doi :10.1098/rspa.1963.0204. S2CID  35439962.
8. K. Held (2007). "Cálculos de estructura electrónica utilizando la teoría del campo medio dinámico". Adv. Phys. 56 (6): 829–926. arXiv : cond-mat/0511293 . Código Bibliográfico :2007AdPhy..56..829H. doi :10.1080/00018730701619647. S2CID  15466043.
9. "Teoría de campo medio dinámico incorporado, un paquete de estructura electrónica que implementa DFT + DMFT".
10. Ekuma, CE; Terletska, H.; Tam, K.-M.; Meng, Z.-Y.; Moreno, J.; Jarrell, M. (2014). "Aproximación típica de cúmulos dinámicos medios para el estudio de la localización de Anderson en tres dimensiones". Physical Review B . 89 (8): 081107(R). arXiv : 1402.4190 . Código Bibliográfico :2014PhRvB..89h1107E. doi :10.1103/PhysRevB.89.081107.
11. G. Rohringer; H. Hafermann; A. Toschi; A. Katanin; AE Antipov; MI Katsnelson; AI Lichtenstein; AN Rubtsov; K. Held (2018). "Rutas diagramáticas hacia correlaciones no locales más allá de la teoría del campo medio dinámico". Reseñas de Física Moderna . 90 (4): 025003. arXiv : 1705.00024 . Código Bibliográfico :2018RvMP...90b5003R. doi :10.1103/RevModPhys.90.025003. S2CID  119186041.
12. A. Toschi; A. Katanin; K. Held (2007). "Aproximación dinámica de vértices: Un paso más allá de la teoría dinámica del campo medio". Physical Review B . 75 (4): 045118. arXiv : cond-mat/0603100 . Código Bibliográfico :2007PhRvB..75d5118T. doi :10.1103/PhysRevB.75.045118. S2CID  119538856.
13. Aoki, Hideo; Tsuji, Naoto; Eckstein, Martin; Kollar, Marcus; Oka, Takashi; Werner, Philipp (24 de junio de 2014). "Teoría del campo medio dinámico de no equilibrio y sus aplicaciones". Reseñas de Física Moderna . 86 (2): 779–837. arXiv : 1310.5329 . Código Bibliográfico :2014RvMP...86..779A. doi :10.1103/RevModPhys.86.779. ISSN  0034-6861. S2CID  119213862.
14. Roy, F; Biroli, G; Bunin, G; Cammarota, C (29 de noviembre de 2019). "Implementación numérica de la teoría del campo medio dinámico para sistemas desordenados: aplicación al modelo Lotka-Volterra de ecosistemas". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 52 (48): 484001. arXiv : 1901.10036 . Código Bibliográfico :2019JPhA...52V4001R. doi :10.1088/1751-8121/ab1f32. ISSN  1751-8113.

Véase también

• Material fuertemente correlacionado

Enlaces externos

• Materiales fuertemente correlacionados: perspectivas de la teoría dinámica del campo medio G. Kotliar y D. Vollhardt
• Notas de clase sobre el enfoque LDA+DMFT para materiales fuertemente correlacionados Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt y Alexander Lichtenstein (eds.)
• Apuntes de conferencias DMFT a los 25: Dimensiones infinitas Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt y Alexander Lichtenstein (eds.)
• Notas de la conferencia DMFT: De dimensiones infinitas a materiales reales Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt y Alexander Lichtenstein (eds.)
• Notas de clase Teoría dinámica del campo medio de electrones correlacionados Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt y Alexander Lichtenstein (eds.)
• DMFT para dímero de Hubbard de dos sitios: en Teoría dinámica del campo medio para materiales, Eva Pavarini
• https://www.cond-mat.de/events/correl21/manuscripts/pavarini.pdf
• DMFT para el dímero de Hubbard de dos sitios: en Solución del problema de correlación fuerte en materiales, Eva Pavarini
• https://doi.org/10.1007/s40766-021-00025-8