von Mises yield criterion

Teoría del fallo en mecánica continua.

In continuum mechanics, the maximum distortion energy criterion (also von Mises yield criterion^[1]) states that yielding of a ductile material begins when the second invariant of deviatoric stress ${\displaystyle J_{2}}$ reaches a critical value.^[2] It is a part of plasticity theory that mostly applies to ductile materials, such as some metals. Prior to yield, material response can be assumed to be of a nonlinear elastic, viscoelastic, or linear elastic behavior.

In materials science and engineering, the von Mises yield criterion is also formulated in terms of the von Mises stress or equivalent tensile stress, ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$. This is a scalar value of stress that can be computed from the Cauchy stress tensor. In this case, a material is said to start yielding when the von Mises stress reaches a value known as yield strength, ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$. The von Mises stress is used to predict yielding of materials under complex loading from the results of uniaxial tensile tests. The von Mises stress satisfies the property where two stress states with equal distortion energy have an equal von Mises stress.

Because the von Mises yield criterion is independent of the first stress invariant, ${\displaystyle I_{1}}$, it is applicable for the analysis of plastic deformation for ductile materials such as metals, as onset of yield for these materials does not depend on the hydrostatic component of the stress tensor.

Although it has been believed it was formulated by James Clerk Maxwell in 1865, Maxwell only described the general conditions in a letter to William Thomson (Lord Kelvin).^[3] Richard Edler von Mises rigorously formulated it in 1913.^[2][4] Tytus Maksymilian Huber (1904), in a paper written in Polish, anticipated to some extent this criterion by properly relying on the distortion strain energy, not on the total strain energy as his predecessors.^[5][6][7] Heinrich Hencky formulated the same criterion as von Mises independently in 1924.^[8] For the above reasons this criterion is also referred to as the "Maxwell–Huber–Hencky–von Mises theory".

Mathematical formulation

Las superficies de fluencia de von Mises en coordenadas de tensión principales circunscriben un cilindro con radio alrededor del eje hidrostático. También se muestra la superficie de fluencia hexagonal de Tresca . ${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$

Matemáticamente el criterio de rendimiento de von Mises se expresa como:

${\displaystyle J_{2}=k^{2}\,\!}$

Aquí está el límite elástico del material en corte puro. Como se muestra más adelante en este artículo, al inicio de la fluencia, la magnitud del límite elástico de corte en corte puro es √3 veces menor que el límite elástico de tracción en el caso de tensión simple. Así, tenemos: ${\displaystyle k}$

${\displaystyle k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}}$

donde es el límite elástico a la tracción del material. Si igualamos la tensión de von Mises al límite elástico y combinamos las ecuaciones anteriores, el criterio de fluencia de von Mises se escribe como: ${\displaystyle \sigma _{y}}$

${\displaystyle \sigma _{v}=\sigma _{y}={\sqrt {3J_{2}}}}$

o

${\displaystyle \sigma _{v}^{2}=3J_{2}=3k^{2}}$

Sustituyendo con los componentes del tensor de tensión de Cauchy , obtenemos ${\displaystyle J_{2}}$

${\displaystyle \sigma _{\text{v}}^{2}={\frac {1}{2}}\left[(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6\left(\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}+\sigma _{12}^{2}\right)\right]={\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}$,

donde se llama estrés desviatorio. Esta ecuación define la superficie de fluencia como un cilindro circular (ver figura) cuya curva de fluencia, o intersección con el plano desviador, es un círculo con radio , o . Esto implica que la condición de fluencia es independiente de las tensiones hidrostáticas. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}k}$ ${\textstyle {\sqrt {\frac {2}{3}}}\sigma _{y}}$

Ecuación de von Mises reducida para diferentes condiciones de tensión

Criterio de fluencia de Von Mises en condiciones de carga 2D (planares): si la tensión en la tercera dimensión es cero ( ), no se predice que se produzca fluencia para las coordenadas de tensión dentro del área roja. Debido a que el criterio de Tresca para ceder está dentro del área roja, el criterio de Von Mises es más laxo. ${\displaystyle \sigma _{3}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}}$

Tensión uniaxial (1D)

En el caso de tensión uniaxial o tensión simple, el criterio de von Mises simplemente se reduce a ${\displaystyle \sigma _{1}\neq 0,\sigma _{3}=\sigma _{2}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\text{y}}\,\!}$,

lo que significa que el material comienza a ceder cuando alcanza el límite elástico del material , de acuerdo con la definición de límite elástico a la tracción (o compresión). ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

Tensión multiaxial (2D o 3D)

Se utiliza una tensión de tracción equivalente o una tensión de von-Mises equivalente para predecir la fluencia de materiales bajo condiciones de carga multiaxial utilizando resultados de ensayos de tracción uniaxiales simples. Así, definimos ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\text{v}}&={\sqrt {3J_{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+\left(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+6(\sigma _{12}^{2}+\sigma _{23}^{2}+\sigma _{31}^{2}\right)}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}\\&={\sqrt {{\frac {3}{2}}s_{ij}s_{ij}}}\end{aligned}}\,\!}$

donde están los componentes del tensor desviador de tensión : ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{\text{dev}}={\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {\sigma }}\right)}{3}}\mathbf {I} \,\!}$.

En este caso, la fluencia ocurre cuando la tensión equivalente, , alcanza el límite elástico del material en tensión simple, . Por ejemplo, el estado de tensión de una viga de acero en compresión difiere del estado de tensión de un eje de acero en torsión, incluso si ambas muestras son del mismo material. En vista del tensor de tensión, que describe completamente el estado de tensión, esta diferencia se manifiesta en seis grados de libertad , porque el tensor de tensión tiene seis componentes independientes. Por lo tanto, es difícil decir cuál de los dos ejemplares está más cerca del límite elástico o incluso lo ha alcanzado. Sin embargo, mediante el criterio de rendimiento de von Mises, que depende únicamente del valor de la tensión escalar de von Mises, es decir, un grado de libertad, esta comparación es sencilla: un valor de von Mises mayor implica que el material está más cerca del rendimiento. punto. ${\displaystyle \sigma _{\text{v}}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{y}}}$

En el caso del esfuerzo cortante puro , mientras que todos los demás , el criterio de von Mises se convierte en: ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma _{ij}=0}$

${\displaystyle \sigma _{12}=k={\frac {\sigma _{y}}{\sqrt {3}}}\,\!}$.

Esto significa que, al inicio de la fluencia, la magnitud del esfuerzo cortante en corte puro es veces menor que el esfuerzo cortante en el caso de tensión simple. El criterio de fluencia de von Mises para el esfuerzo cortante puro, expresado en esfuerzos principales, es ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle (\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}=2\sigma _{y}^{2}\,\!}$

En el caso de tensión en el plano principal, y , el criterio de von Mises se convierte en: ${\displaystyle \sigma _{3}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{23}=\sigma _{31}=0}$

${\displaystyle \sigma _{1}^{2}-\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{2}=3k^{2}=\sigma _{y}^{2}\,\!}$

Esta ecuación representa una elipse en el plano . ${\displaystyle \sigma _{1}-\sigma _{2}}$

Resumen

Interpretación física del criterio de rendimiento de von Mises

Hencky (1924) ofreció una interpretación física del criterio de von Mises sugiriendo que la fluencia comienza cuando la energía elástica de distorsión alcanza un valor crítico. ^[6] Por esta razón, el criterio de von Mises también se conoce como criterio de energía de deformación de máxima distorsión. Esto proviene de la relación entre y la energía de deformación elástica de distorsión : ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle W_{\text{D}}}$

${\displaystyle W_{\text{D}}={\frac {J_{2}}{2G}}\,\!}$con el módulo de corte elástico . ${\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\nu )}}\,\!}$

En 1937 ^[9] Arpad L. Nadai sugirió que la fluencia comienza cuando el esfuerzo cortante octaédrico alcanza un valor crítico, es decir, el esfuerzo cortante octaédrico del material en fluencia en tensión simple. En este caso, el criterio de fluencia de von Mises también se conoce como criterio de esfuerzo cortante octaédrico máximo en vista de la proporcionalidad directa que existe entre y el esfuerzo cortante octaédrico, que por definición es ${\displaystyle J_{2}}$ ${\displaystyle \tau _{\text{oct}}}$

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}J_{2}}}\,\!}$

así tenemos

${\displaystyle \tau _{\text{oct}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\sigma _{\text{y}}\,\!}$

La densidad de energía de deformación consta de dos componentes: volumétrica o dialacional y distorsional. El componente volumétrico es responsable del cambio de volumen sin ningún cambio de forma. El componente distorcional es responsable de la deformación por corte o del cambio de forma.

Uso práctico en ingeniería del criterio de rendimiento de von Mises

Como se muestra en las ecuaciones anteriores, el uso del criterio de von Mises como criterio de rendimiento solo es exactamente aplicable cuando las siguientes propiedades del material son homogéneas y tienen una proporción de:

${\displaystyle {\frac {F_{sy}}{F_{ty}}}={\frac {\sigma _{\text{shear.yielding}}}{\sigma _{\text{tensile.yielding}}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0.577\!}$

Dado que ningún material tendrá esta relación exactamente, en la práctica es necesario utilizar el criterio de ingeniería para decidir qué teoría de falla es apropiada para un material dado. Alternativamente, para utilizar la teoría de Tresca, la misma proporción se define como 1/2.

El margen de rendimiento de seguridad se escribe como

${\displaystyle MS_{\text{yld}}={\frac {F_{y}}{\sigma _{\text{v}}}}-1}$

Ver también

• Superficie de rendimiento
• ecuación de huber
• Henri Tresca
• Esteban Timoshenko
• Teoría de Mohr-Coulomb
• Criterio de fallo de Hoek-Brown
• Rendimiento (ingeniería)
• Estrés
• Cepa
• elasticidad tridimensional

Referencias

1. "Criterio de Von Mises (Criterio de energía de distorsión máxima)". La ventaja del ingeniero . Consultado el 8 de febrero de 2018 .
2. von Mises, R. (1913). "Mechanik der festen Körper im plastisch-deformablen Zustand". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen . Clase matemática-física. 1913 (1): 582–592.
3. Jones, Robert Millard (2009). Teoría de la deformación de la plasticidad, pag. 151, Sección 4.5.6. Corporación Bull Ridge. ISBN 9780978722319. Consultado el 11 de junio de 2017 .
4. Vado (1963). Mecánica Avanzada de Materiales . Londres: Longmans.
5. Huber, MT (1904). "Właściwa praca odkształcenia jako miara wytezenia materiału". Czasopismo Techniczne . Lwow. 22 .Traducido como "Trabajo específico de tensión como medida del esfuerzo material". Archivos de Mecánica . 56 : 173-190. 2004.
6. Hill, R. (1950). La teoría matemática de la plasticidad . Oxford: Prensa de Clarendon.
7. Timoshenko, S. (1953). Historia de la resistencia de los materiales . Nueva York: McGraw-Hill.
8. Hencky, H. (1924). "Zur Theorie plastischer Deformationen und der hierdurch im Material hervorgerufenen Nachspannngen". Z. Angew. Matemáticas. Mec . 4 (4): 323–334. Código Bib : 1924ZaMM....4..323H. doi :10.1002/zamm.19240040405.
9. SMA Kazimi. (mil novecientos ochenta y dos). Mecánica de Sólidos. Tata McGraw-Hill. ISBN 0-07-451715-5