Teoría de los tres pisos

La teoría de triple piso es una teoría que describe una estructura de capa límite de tres capas cuando hay perturbaciones suficientemente grandes en la capa límite. Esta teoría puede explicar con éxito el fenómeno de la separación de la capa límite , pero también ha encontrado aplicaciones en muchas otras configuraciones de flujo, ^[1] incluido el escalado de la inestabilidad de la rama inferior ( TS ) del flujo de Blasius , ^{[2] [3]} etc. James Lighthill , Lev Landau y otros fueron los primeros en darse cuenta de que para explicar la separación de la capa límite, se deben introducir escalas diferentes a las escalas clásicas de capa límite. Estas escalas fueron introducidas por primera vez de forma independiente por James Lighthill y EA Müller en 1953. ^{[4] [5]} La estructura de triple capa en sí fue descubierta de forma independiente por Keith Stewartson (1969) ^[6] y VY Neiland (1969) ^[7] y por AF Messiter (1970). ^[8] Stewartson y Messiter consideraron el flujo separado cerca del borde posterior de una placa plana, mientras que Neiland estudió el caso de un choque que incide sobre una capa límite.

Supongamos que y son las coordenadas en el sentido de la corriente y transversales con respecto a la pared y es el número de Reynolds , el espesor de la capa límite es entonces . La coordenada de la capa límite es . Entonces el espesor de cada capa es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Re}$ ${\displaystyle \delta =Re^{-1/2}}$ ${\displaystyle \eta =yRe^{1/2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Lower deck}}:&\quad y\sim Re^{-5/8}\\{\text{Middle deck}}:&\quad y\sim Re^{-4/8}\\{\text{Upper deck}}:&\quad y\sim Re^{-3/8}.\end{aligned}}}$

La capa inferior se caracteriza por perturbaciones viscosas y rotacionales, mientras que la capa intermedia (de igual espesor que la capa límite) se caracteriza por perturbaciones no viscosas y rotacionales. La capa superior, que se extiende hacia la región de flujo potencial, se caracteriza por perturbaciones no viscosas e irrotacionales.

La zona de interacción identificada por Lighthill en la dirección de la corriente es

${\displaystyle {\text{Interaction zone}}:\quad x\sim Re^{-3/8}.}$

El aspecto más importante de la formulación de triple capa es que no se prescribe la presión, por lo que debe resolverse como parte del problema de la capa límite. Este acoplamiento entre velocidad y presión reintroduce la elipticidad en el problema, lo que contrasta con la naturaleza parabólica de la capa límite clásica de Prandtl . ^[9]

Flujo cerca del borde posterior de una placa plana

Supongamos que las escalas de longitud se normalizan con la longitud de la placa y la escala de velocidad por la velocidad de corriente libre ; entonces, el único parámetro en el problema es el número de Reynolds . Supongamos que el origen del sistema de coordenadas se encuentra en el borde posterior de la placa. Además, sean los componentes de velocidad adimensionales, el campo de presión adimensional y la función de corriente adimensional tales que y . Para abreviar la notación, introduzcamos el pequeño parámetro . La coordenada para la interacción horizontal y para las tres cubiertas se puede definir entonces mediante ^[10] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle Re=UL/\nu }$ ${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$ ${\displaystyle (u,v)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle u=\partial \psi /\partial y}$ ${\displaystyle v=-\partial \psi /\partial x}$ ${\displaystyle \varepsilon =1/Re^{1/8}}$

${\displaystyle \chi =x/\varepsilon ^{3},\quad \xi =y/\varepsilon ^{5},\quad \eta =y/\varepsilon ^{4},\quad \zeta =y/\varepsilon ^{3}.}$

Como (o ), la solución debe aproximarse al comportamiento asintótico de la solución de Blasius , que viene dada por ${\displaystyle \chi \to -\infty }$ ${\displaystyle x\to 0^{-}}$

${\displaystyle {\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}={\sqrt {2}}f_{B}\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {x}{\sqrt {2}}}\left[f_{B}\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)-{\frac {\eta }{\sqrt {2}}}f_{B}'\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)\right]+\cdots }$

donde es la función de Blasis que satisface sujeta a . Como (o ), la solución debería aproximarse al comportamiento asintótico de la estela cercana de Goldstein, que está dada por ${\displaystyle f_{B}(\eta )}$ ${\displaystyle f_{B}'''+f_{B}f_{B}''=0}$ ${\displaystyle f_{B}(0)=f_{B}'(0)=f_{B}'(\infty )-1=0}$ ${\displaystyle \chi \to +\infty }$ ${\displaystyle x\to 0^{+}}$

${\displaystyle {\text{Outer wake}}:{\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}={\sqrt {2}}f_{B}\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\mu x^{1/3}}{\lambda }}f_{B}'\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+\cdots }$

donde y . La solución de estela interna de Goldstein no es necesaria aquí. ${\displaystyle \mu =1.1321}$ ${\displaystyle \lambda =0.8789}$

Cubierta intermedia

Se encontró que la solución en la cubierta intermedia es

${\displaystyle {\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}={\sqrt {2}}f_{B}\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+\varepsilon A(\chi )f_{B}'\left({\frac {\eta }{\sqrt {2}}}\right)+\varepsilon ^{2}\Phi (\chi ,\eta )+\cdots ,\quad p=\varepsilon ^{2}P(\chi )+\cdots }$

donde se denomina función de desplazamiento y se denomina función de presión , que se determinará a partir de los problemas de la cubierta superior e inferior. Nótese que la corrección de la función de corriente de Blasius es del orden de , aunque la perturbación de presión es solo del orden de . ${\displaystyle A(\chi )}$ ${\displaystyle P(\chi )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}.}$

Cubierta superior

En el piso superior, la solución se encuentra dada por

${\displaystyle {\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}={\frac {\zeta }{\varepsilon }}-{\sqrt {2}}\beta -{\frac {\varepsilon }{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }A'(\chi )\left[\tan ^{-1}\left({\frac {\chi -{\hat {\chi }}}{\zeta }}\right)+{\frac {\pi }{2}}\right]d{\hat {\chi }}+\cdots ,\quad p=\varepsilon ^{2}P(\chi )+\cdots }$

donde . Además, el problema de la cubierta superior también proporciona la relación entre el desplazamiento y la función de presión como ${\displaystyle \beta =1.2168}$

${\displaystyle P(\chi )=\mathrm {p.v.} {\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {A'({\hat {\chi }})}{\chi -{\hat {\chi }}}}d{\hat {\chi }}\quad {\text{and}}\quad A'(\chi )=-\mathrm {p.v.} {\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {P({\hat {\chi }})}{\chi -{\hat {\chi }}}}d{\hat {\chi }}.}$

donde representa el valor principal de Cauchy . Se puede observar que la función de presión y la derivada de la función de desplazamiento (también conocida como velocidad transversal) forman un par de transformada de Hilbert . ${\displaystyle \mathrm {p.v.} }$

Cubierta inferior

En el piso inferior, la solución viene dada por

${\displaystyle {\frac {\psi }{\varepsilon ^{4}}}=\varepsilon ^{2}\Psi (\chi ,\xi )+\cdots ,\quad p=\varepsilon ^{2}P(\chi )+\cdots }$

donde satisfará una ecuación de tipo capa límite impulsada por el gradiente de presión y la velocidad de deslizamiento de orden generada por la cubierta intermedia. Es conveniente introducir y , donde y deben satisfacer ${\displaystyle \Psi (\chi ,\xi )}$ ${\displaystyle dP/d\chi }$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$ ${\displaystyle {\hat {u}}=\partial \Psi /\partial \xi }$ ${\displaystyle {\hat {v}}=-\partial \Psi /\partial \chi }$ ${\displaystyle {\hat {u}}}$ ${\displaystyle {\hat {v}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial \chi }}+{\frac {\partial {\hat {v}}}{\partial \xi }}&=0,\\{\hat {u}}{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial \chi }}+{\hat {v}}{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial \xi }}&=-\mathrm {p.v.} {\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {A''({\hat {\chi }})}{\chi -{\hat {\chi }}}}d{\hat {\chi }}+{\frac {\partial ^{2}{\hat {u}}}{\partial \xi ^{2}}}.\end{aligned}}}$

Estas ecuaciones están sujetas a las condiciones

${\displaystyle \xi =0:\,\,\,{\begin{cases}{\hat {u}}={\hat {v}}=0,\,\,\chi \leq 0,\\{\frac {\partial {\hat {u}}}{\partial \xi }}={\hat {v}}=0,\,\,\chi >0,\end{cases}}\quad {\text{and}}\quad \xi \to \infty :{\hat {u}}\to {\frac {\xi +A(\chi )}{\sqrt {2\alpha ^{3}}}},}$

${\displaystyle \chi \to -\infty :\,\,\,A\to 0,\quad {\text{and}}\quad \chi \to +\infty :\,\,\,A\to {\frac {\mu }{\lambda }}\chi ^{1/3}}$

donde . La función de desplazamiento y por lo tanto debe obtenerse como parte de la solución. El conjunto de ecuaciones anterior puede parecerse a las ecuaciones de capa límite normales, sin embargo tiene un carácter elíptico ya que el término de gradiente de presión ahora no es local, es decir, el gradiente de presión en una ubicación depende también de otras ubicaciones. Debido a esto, estas ecuaciones a veces se denominan ecuaciones de capa límite interactivas . La solución numérica de estas ecuaciones fue obtenida por Jobe y Burggraf en 1974. ^[11] ${\displaystyle \alpha =1.6552}$ ${\displaystyle A(\chi )}$ ${\displaystyle P(\chi )}$ ${\displaystyle \chi }$

Véase también

• Separación de flujo
• Capa límite

Referencias

1. Smith, FT (1982). "Sobre la teoría de los flujos laminares con números de Reynolds elevados". IMA J. Appl. Math . 28 (3): 207–281. doi :10.1093/imamat/28.3.207.
2. Smith, FT (1979). "Sobre la estabilidad del flujo no paralelo de la capa límite de Blasius". Proc. R. Soc. Lond . 366 (1724): 91–109. Bibcode :1979RSPSA.366...91S. doi :10.1098/rspa.1979.0041. S2CID  112228524.
3. Lin, CC (1946). "Sobre la estabilidad de flujos paralelos bidimensionales. III. Estabilidad en un fluido viscoso". Quart. Appl. Math . 3 (4): 277–301. doi : 10.1090/qam/14894 .
4. Lighthill, Michael James (1953). "Sobre las capas límite y la influencia aguas arriba II. Flujos supersónicos sin separación". Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias matemáticas y físicas . 217 (1131): 478–507. Bibcode :1953RSPSA.217..478L. doi :10.1098/rspa.1953.0075. S2CID  95497146.
5. EA Müller (1953) Tesis doctoral, Universidad de Göttingen.
6. Stewartson, K. (1969). "Sobre el flujo cerca del borde de salida de una placa plana II". Mathematika . 16 (1): 106–121. doi :10.1112/S0025579300004678.
7. Neiland, V. Ya. (1969). "Teoría de la separación de la capa límite laminar en el flujo supersónico". Fluid Dynamics . 4 (4): 33–35. doi : 10.1007/BF01094681 .
8. Messiter, AF (1970). "Flujo de capa límite cerca del borde de salida de una placa plana". Revista SIAM de Matemáticas Aplicadas . 18 (1): 241–257. doi :10.1137/0118020.
9. Prandtl, L. (1904). "Uber Flussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung". Verh. III. Int. Matemáticas. Kongr. : 484–491.
10. Sobey, IJ (2000). Introducción a la teoría de la capa límite interactiva (Vol. 3). Textos de Oxford en inglés y aplicado.
11. Jobe, CE y Burggraf, OR (1974). La solución numérica de las ecuaciones asintóticas del flujo de borde de salida. Actas de la Royal Society de Londres. A. Mathematical and Physical Sciences, 340(1620), 91-111.