Teoría de perturbación variacional

En matemáticas , la teoría de perturbación variacional ( TPV ) es un método matemático para convertir series de potencias divergentes en un pequeño parámetro de expansión, digamos

${\displaystyle s=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}g^{n}}$,

en una serie convergente en potencias

${\displaystyle s=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}/(g^{\omega })^{n}}$,

donde es un exponente crítico (el llamado índice de "aproximación al escalamiento" introducido por Franz Wegner ). Esto es posible con la ayuda de parámetros variacionales , que se determinan mediante la optimización orden por orden en . Las sumas parciales se convierten en sumas parciales convergentes mediante un método desarrollado en 1992. ^[1] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle g}$

La mayoría de las expansiones de perturbación en mecánica cuántica son divergentes para cualquier pequeña fuerza de acoplamiento . Pueden hacerse convergentes mediante VPT (para más detalles, consulte el primer libro de texto citado a continuación). La convergencia es exponencialmente rápida. ^{[2] [3]} ${\displaystyle g}$

Después de su éxito en la mecánica cuántica, la VPT se ha desarrollado aún más para convertirse en una herramienta matemática importante en la teoría cuántica de campos con sus dimensiones anómalas . ^[4] Las aplicaciones se centran en la teoría de fenómenos críticos . Ha llevado a las predicciones más precisas de exponentes críticos . Se pueden leer más detalles aquí.

Referencias

1. Kleinert, H. (1995). "Correcciones sistemáticas al cálculo variacional del potencial clásico efectivo" (PDF) . Physics Letters A . 173 (4–5): 332–342. Bibcode :1993PhLA..173..332K. doi :10.1016/0375-9601(93)90246-V.
2. Kleinert, H. ; Janke, W. (1993). "Comportamiento de convergencia de la expansión de perturbación variacional: un método para localizar singularidades de Bender-Wu" (PDF) . Physics Letters A . 206 (5–6): 283–289. arXiv : quant-ph/9509005 . Código Bibliográfico :1995PhLA..206..283K. doi :10.1016/0375-9601(95)00521-4.
3. Guida, R.; Konishi, K.; Suzuki, H. (1996). "Correcciones sistemáticas al cálculo variacional del potencial clásico efectivo". Anales de Física . 249 (1): 109–145. arXiv : hep-th/9505084 . Código Bibliográfico :1996AnPhy.249..109G. doi :10.1006/aphy.1996.0066.
4. Kleinert, H. (1998). "Comportamiento de acoplamiento fuerte de teorías φ^4 y exponentes críticos" (PDF) . Physical Review D . 57 (4): 2264. Bibcode :1998PhRvD..57.2264K. doi :10.1103/PhysRevD.57.2264.

Enlaces externos

• Kleinert H. , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , 3.ª edición, World Scientific (Singapur, 2004) (se puede leer en línea aquí) (véase el capítulo 5)
• Kleinert H. y Verena Schulte-Frohlinde, Propiedades críticas de las teorías φ ⁴ , World Scientific (Singapur, 2001); Tapa blanda ISBN 981-02-4658-7 (legible en línea aquí) (ver Capítulo 19) 
• Feynman, RP ; Kleinert, H. (1986). "Funciones de partición clásicas efectivas" (PDF) . Physical Review A . 34 (6): 5080–5084. Bibcode :1986PhRvA..34.5080F. doi :10.1103/PhysRevA.34.5080. PMID  9897894.