La teoría de conjuntos internos ( IST ) es una teoría matemática de conjuntos desarrollada por Edward Nelson que proporciona una base axiomática para una parte del análisis no estándar introducido por Abraham Robinson . En lugar de añadir nuevos elementos a los números reales , el enfoque de Nelson modifica los fundamentos axiomáticos mediante el enriquecimiento sintáctico. Por lo tanto, los axiomas introducen un nuevo término, "estándar", que puede usarse para hacer discriminaciones que no son posibles según los axiomas convencionales de ZFC para conjuntos . Por lo tanto, IST es un enriquecimiento de ZFC : todos los axiomas de ZFC se satisfacen para todos los predicados clásicos, mientras que el nuevo predicado unario "estándar" satisface tres axiomas adicionales I, S y T. En particular, los elementos no estándar adecuados dentro del conjunto de valores reales Se puede demostrar que los números tienen propiedades que corresponden a las propiedades de elementos infinitesimales e ilimitados.
La formulación de Nelson se hace más accesible para el matemático profano al dejar de lado muchas de las complejidades de la lógica metamatemática que inicialmente se requerían para justificar rigurosamente la coherencia de los sistemas numéricos que contienen elementos infinitesimales.
Si bien las IST tienen un esquema axiomático perfectamente formal, que se describe a continuación, es deseable una justificación intuitiva del significado del término estándar . Esto no es parte de la teoría formal, pero es un recurso pedagógico que podría ayudar al estudiante a interpretar el formalismo. La distinción esencial, similar al concepto de números definibles , contrasta la finitud del dominio de conceptos que podemos especificar y discutir, con la infinidad ilimitada del conjunto de números; comparar el finitismo .
Por lo tanto, intuitivamente se considera que el término estándar corresponde a alguna porción necesariamente finita de números enteros "accesibles". El argumento se puede aplicar a cualquier conjunto infinito de objetos: hay un número limitado de elementos que se pueden especificar en un tiempo finito usando un conjunto finito de símbolos y siempre hay aquellos que se encuentran más allá de los límites de nuestra paciencia y resistencia, sin importar lo que ocurra. cómo perseveramos. Debemos admitir una profusión de elementos no estándar (demasiado grandes o demasiado anónimos para captarlos) dentro de cualquier conjunto infinito.
Los siguientes principios se derivan de la motivación intuitiva anterior y, por tanto, deberían ser deducibles de los axiomas formales. Por el momento consideramos que el dominio de discusión es el conocido conjunto de números enteros.
IST es una teoría axiomática en lógica de primer orden con igualdad en un lenguaje que contiene un símbolo de predicado binario ∈ y un símbolo de predicado unario st( x ). Las fórmulas que no implican st (es decir, las fórmulas del lenguaje habitual de la teoría de conjuntos) se denominan internas, otras fórmulas se denominan externas. Usamos las abreviaturas.
IST incluye todos los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC). Tenga en cuenta que los esquemas de separación y sustitución de ZFC no se extienden al nuevo lenguaje, sólo se pueden utilizar con fórmulas internas. Además, IST incluye tres nuevos esquemas de axiomas, convenientemente uno para cada inicial de su nombre: I , estandarización y transferencia .
La formulación de este axioma comprende dos implicaciones. La implicación de derecha a izquierda puede reformularse con la simple afirmación de que los elementos de conjuntos finitos estándar son estándar. La implicación más importante de izquierda a derecha expresa que la colección de todos los conjuntos estándar está contenida en un conjunto finito (no estándar) y, además, se puede considerar que este conjunto finito satisface cualquier propiedad interna dada compartida por todos los conjuntos finitos estándar.
Este esquema de axioma muy general sostiene la existencia de elementos "ideales" en circunstancias apropiadas. Tres aplicaciones particulares demuestran consecuencias importantes.
Si S es estándar y finito, tomamos como relación R ( g , f ): g y f no son iguales y g está en S. Dado que " para cada conjunto finito estándar F hay un elemento g en S tal que g ≠ f para todo f en F " es falso (no existe tal g cuando F = S ), podemos usar la idealización para decirnos que " hay una G en S tal que G ≠ f para todo estándar f " también es falsa, es decir, todos los elementos de S son estándar.
Si S es infinito, entonces tomamos como relación R ( g , f ): g y f no son iguales y g está en S. Dado que " para cada conjunto finito estándar F hay un elemento g en S tal que g ≠ f para todo f en F " (el conjunto infinito S no es un subconjunto del conjunto finito F ), podemos usar la idealización para derivar " Hay es una G en S tal que G ≠ f para todo estándar f ". En otras palabras, todo conjunto infinito contiene un elemento no estándar (muchos, de hecho).
El conjunto potencia de un conjunto finito estándar es estándar (por Transferencia) y finito, por lo que todos los subconjuntos de un conjunto finito estándar son estándar.
Si S no es estándar , tomamos como relación R ( g , f ): g y f no son iguales y g está en S. Dado que " para cada conjunto finito estándar F hay un elemento g en S tal que g ≠ f para todo f en F " (el conjunto no estándar S no es un subconjunto del conjunto estándar y finito F ), podemos usar la idealización para derivar " Hay una G en S tal que G ≠ f para todo f estándar. " En otras palabras, todo conjunto no estándar contiene un elemento no estándar.
Como consecuencia de todos estos resultados, todos los elementos de un conjunto S son estándar si y sólo si S es estándar y finito.
Dado que " Para cada conjunto finito estándar de números naturales F existe un número natural g tal que g > f para todo f en F " – digamos, g = máximo( F ) + 1 – podemos usar la idealización para derivar " Hay un número natural G tal que G > f para todos los números naturales estándar f ." En otras palabras, existe un número natural mayor que cada número natural estándar.
Más precisamente tomamos para R ( g , f ): g es un conjunto finito que contiene el elemento f . Dado que " Para cada estándar, conjunto finito F, existe un conjunto finito g tal que f ∈ g para todo f en F " (digamos, eligiendo g = F mismo), podemos usar la idealización para derivar " Existe un conjunto finito G tal que f ∈ G para todo estándar f ". Para cualquier conjunto S , la intersección de S con el conjunto G es un subconjunto finito de S que contiene todos los elementos estándar de S. G es necesariamente no estándar.
Aparte de las motivaciones intuitivas sugeridas anteriormente, es necesario justificar que los axiomas adicionales de las IST no conducen a errores o inconsistencias en el razonamiento. Los errores y las debilidades filosóficas en el razonamiento sobre números infinitesimales en el trabajo de Gottfried Leibniz , Johann Bernoulli , Leonhard Euler , Augustin-Louis Cauchy y otros fueron la razón por la que originalmente fueron abandonados por argumentos más engorrosos basados en números reales . desarrollado por Georg Cantor , Richard Dedekind y Karl Weierstrass , que fueron percibidos como más rigurosos por los seguidores de Weierstrass.
El enfoque para la teoría de conjuntos internos es el mismo que para cualquier sistema axiomático nuevo: construimos un modelo para los nuevos axiomas utilizando los elementos de un esquema de axiomas más simple y confiable. Esto es bastante similar a justificar la consistencia de los axiomas de la geometría elíptica no euclidiana señalando que pueden modelarse mediante una interpretación apropiada de los círculos máximos en una esfera en el espacio tridimensional ordinario.
De hecho, mediante un modelo adecuado se puede demostrar la relativa consistencia de IST en comparación con ZFC: si ZFC es consistente, entonces IST es consistente. De hecho, se puede hacer una afirmación más contundente: IST es una extensión conservadora de ZFC: cualquier fórmula interna que pueda probarse dentro de la teoría de conjuntos internos puede probarse en los axiomas de Zermelo-Fraenkel solo con el axioma de elección. [1]
Karel Hrbaček y otros desarrollaron teorías relacionadas .
