Teoría de Lindhard

En física de la materia condensada , la teoría de Lindhard ^[1] es un método para calcular los efectos del apantallamiento del campo eléctrico por parte de los electrones en un sólido. Se basa en la mecánica cuántica (teoría de perturbaciones de primer orden) y en la aproximación de fase aleatoria . Recibe su nombre en honor al físico danés Jens Lindhard , quien desarrolló la teoría por primera vez en 1954. ^{[2] [3] [4]}

El apantallamiento de Thomas-Fermi y las oscilaciones del plasma se pueden derivar como un caso especial de la fórmula más general de Lindhard. En particular, el apantallamiento de Thomas-Fermi es el límite de la fórmula de Lindhard cuando el vector de onda (el recíproco de la escala de longitud de interés) es mucho menor que el vector de onda de Fermi, es decir, el límite de larga distancia. ^[1] La expresión de Lorentz-Drude para las oscilaciones del plasma se recupera en el caso dinámico (longitudes de onda largas, frecuencia finita).

Este artículo utiliza unidades cgs-gaussianas .

Fórmula

La fórmula de Lindhard para la función dieléctrica longitudinal viene dada por

Aquí, es una constante infinitesimal positiva, es y es la función de distribución de portadores, que es la función de distribución de Fermi-Dirac para electrones en equilibrio termodinámico. Sin embargo, esta fórmula de Lindhard también es válida para funciones de distribución fuera del equilibrio. Puede obtenerse mediante la teoría de perturbaciones de primer orden y la aproximación de fase aleatoria (RPA). ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle V_{\mathbf {q} }}$ ${\displaystyle V_{\text{eff}}(\mathbf {q} )-V_{\text{ind}}(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle f_{\mathbf {k} }}$

Casos limitantes

Para comprender la fórmula de Lindhard, se deben considerar algunos casos límite en 2 y 3 dimensiones. El caso unidimensional también se considera de otras maneras.

Límite de longitud de onda larga

En el límite de longitud de onda larga ( ), la función de Lindhard se reduce a ${\displaystyle \mathbf {q} \to 0}$

${\displaystyle \epsilon (\mathbf {q} =0,\omega )\approx 1-{\frac {\omega _{\rm {pl}}^{2}}{\omega ^{2}}},}$

donde es la frecuencia del plasma tridimensional (en unidades SI, reemplace el factor por ). Para sistemas bidimensionales, ${\displaystyle \omega _{\rm {pl}}^{2}={\frac {4\pi e^{2}N}{L^{3}m}}}$ ${\displaystyle 4\pi }$ ${\displaystyle 1/\epsilon _{0}}$

${\displaystyle \omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}}$.

Este resultado recupera las oscilaciones del plasma de la función dieléctrica clásica del modelo de Drude y del modelo mecánico cuántico de electrones libres .

Derivación en 3D

Para el denominador de la fórmula de Lindhard, obtenemos

${\displaystyle E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} +q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}$,

y para el numerador de la fórmula de Lindhard, obtenemos

${\displaystyle f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }}$.

Insertando estos en la fórmula de Lindhard y tomando el límite, obtenemos ${\displaystyle \delta \to 0}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (\mathbf {q} =0,\omega _{0})&\simeq 1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}}\\&=1-V_{\mathbf {q} }{\frac {q^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{\mathbf {k} }{f_{\mathbf {k} }}\\&=1-V_{\mathbf {q} }{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}N}{m\omega _{0}^{2}}}\\&=1-{\frac {\omega _{\rm {pl}}^{2}}{\omega _{0}^{2}}}.\end{alignedat}}}$,

donde usamos y . ${\displaystyle E_{\mathbf {k} }=\hbar \omega _{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle V_{\mathbf {q} }={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}}$

Derivación en 2D

En primer lugar, considere el límite de longitud de onda larga ( ). ${\displaystyle q\to 0}$

Para el denominador de la fórmula de Lindhard,

${\displaystyle E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(k^{2}-2\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} +q^{2})-{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\simeq -{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}$,

y para el numerador,

${\displaystyle f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }=f_{\mathbf {k} }-\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }+\cdots -f_{\mathbf {k} }\simeq -\mathbf {q} \cdot \nabla _{\mathbf {k} }f_{\mathbf {k} }}$.

Insertando estos en la fórmula de Lindhard y tomando el límite de , obtenemos ${\displaystyle \delta \to 0}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (0,\omega )&\simeq 1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\hbar \omega _{0}-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}(1+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}})\\&\simeq 1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}\sum _{\mathbf {k} ,i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{\mathbf {q} }}{\hbar \omega _{0}}}2\int d^{2}k({\frac {L}{2\pi }})^{2}\sum _{i,j}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar k_{j}q_{j}}{m\omega _{0}}}\\&=1+{\frac {V_{\mathbf {q} }L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}k_{j}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}\\&=1+{\frac {V_{\mathbf {q} }L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}2\int {\frac {d^{2}k}{(2\pi )^{2}}}k_{j}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}\\&=1-{\frac {V_{\mathbf {q} }L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}\sum _{i,j}{q_{i}q_{j}n\delta _{ij}}\\&=1-{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {L^{2}}{m\omega _{0}^{2}}}q^{2}n\\&=1-{\frac {\omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )}{\omega _{0}^{2}}},\end{alignedat}}}$

donde usamos , y . ${\displaystyle E_{\mathbf {k} }=\hbar \epsilon _{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle V_{\mathbf {q} }={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {pl}}^{2}(\mathbf {q} )={\frac {2\pi e^{2}nq}{\epsilon m}}}$

Límite estático

Considere el límite estático ( ). ${\displaystyle \omega +i\delta \to 0}$

La fórmula de Lindhard se convierte en

${\displaystyle \epsilon (\mathbf {q} ,\omega =0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}}$.

Insertando las igualdades anteriores para el denominador y numerador, obtenemos

${\displaystyle \epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}$.

Suponiendo una distribución de portadores de Fermi-Dirac en equilibrio térmico, obtenemos

${\displaystyle \sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}{\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}}$

Aquí usamos y . ${\displaystyle E_{\mathbf {k} }={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}={\frac {\hbar ^{2}k_{i}}{m}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (\mathbf {q} ,0)&=1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}=1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {1}{L^{3}}}\sum _{\mathbf {k} }{f_{\mathbf {k} }}\\&=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{3}}}=1+{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa ^{2}}{q^{2}}}.\end{alignedat}}}$

Aquí, el número de onda de detección 3D (longitud de detección inversa 3D) se define como ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}}}$.

Entonces, el potencial de Coulomb apantallado estáticamente en 3D se da por

${\displaystyle V_{\rm {s}}(\mathbf {q} ,\omega =0)\equiv {\frac {V_{\mathbf {q} }}{\epsilon (\mathbf {q} ,0)}}={\frac {\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon q^{2}L^{3}}}{\frac {q^{2}+\kappa ^{2}}{q^{2}}}}={\frac {4\pi e^{2}}{\epsilon L^{3}}}{\frac {1}{q^{2}+\kappa ^{2}}}}$.

Y la transformada de Fourier inversa de este resultado da

${\displaystyle V_{\rm {s}}(r)=\sum _{\mathbf {q} }{{\frac {4\pi e^{2}}{L^{3}(q^{2}+\kappa ^{2})}}e^{i\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} }}={\frac {e^{2}}{r}}e^{-\kappa r}}$

conocido como el potencial de Yukawa . Nótese que en esta transformación de Fourier, que es básicamente una suma de todos los valores de , usamos la expresión para que sea pequeño para cada valor de , lo cual no es correcto. ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle |\mathbf {q} |}$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

Potencial apantallado estáticamente (superficie curva superior) y potencial de Coulomb (superficie curva inferior) en tres dimensiones

Para un gas de Fermi degenerado ( T = 0), la energía de Fermi está dada por

${\displaystyle E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(3\pi ^{2}n)^{\frac {2}{3}}}$,

Entonces la densidad es

${\displaystyle n={\frac {1}{3\pi ^{2}}}\left({\frac {2m}{\hbar ^{2}}}E_{\rm {F}}\right)^{\frac {3}{2}}}$.

En T = 0, , entonces . ${\displaystyle E_{\rm {F}}\equiv \mu }$ ${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial \mu }}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{\rm {F}}}}}$

Insertando esto en la ecuación del número de onda de detección 3D anterior, obtenemos

Este resultado recupera el número de onda 3D del análisis de Thomas-Fermi .

Como referencia, el cribado de Debye-Hückel describe el caso límite no degenerado. El resultado es , conocido como el número de onda del cribado de Debye-Hückel 3D. ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\frac {4\pi e^{2}n\beta }{\epsilon }}}}$

En dos dimensiones, el número de onda de detección es

Nótese que este resultado es independiente de n .

Derivación en 2D

Consideremos el límite estático ( ). La fórmula de Lindhard se convierte en ${\displaystyle \omega +i\delta \to 0}$

${\displaystyle \epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {f_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-f_{\mathbf {k} }}{E_{\mathbf {k} -\mathbf {q} }-E_{\mathbf {k} }}}}$.

Insertando las igualdades anteriores para el denominador y numerador, obtenemos

${\displaystyle \epsilon (\mathbf {q} ,0)=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {-q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{-{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}=1-V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}{\frac {\partial f}{\partial k_{i}}}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}}$.

Suponiendo una distribución de portadores de Fermi-Dirac en equilibrio térmico, obtenemos

${\displaystyle \sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}{\frac {\partial E_{\mathbf {k} }}{\partial k_{i}}}}=-\sum _{i}{q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}}$.

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\epsilon (\mathbf {q} ,0)&=1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} ,i}{\frac {q_{i}k_{i}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}}{\frac {\hbar ^{2}\mathbf {k} \cdot \mathbf {q} }{m}}}=1+V_{\mathbf {q} }\sum _{\mathbf {k} }{\frac {\partial f_{\mathbf {k} }}{\partial \mu }}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\sum _{\mathbf {k} }{f_{\mathbf {k} }}\\&=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}{\frac {N}{L^{2}}}=1+{\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon q}}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}\equiv 1+{\frac {\kappa }{q}}.\end{alignedat}}}$

${\displaystyle \kappa }$¿El número de onda de detección 2D (longitud de detección inversa 2D) se define como

${\displaystyle \kappa ={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon }}{\frac {\partial n}{\partial \mu }}}$.

Entonces, el potencial de Coulomb apantallado estáticamente en 2D se da por

${\displaystyle V_{\rm {s}}(\mathbf {q} ,\omega =0)\equiv {\frac {V_{\mathbf {q} }}{\epsilon (\mathbf {q} ,0)}}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon qL^{2}}}{\frac {q}{q+\kappa }}={\frac {2\pi e^{2}}{\epsilon L^{2}}}{\frac {1}{q+\kappa }}}$.

Se sabe que el potencial químico del gas de Fermi bidimensional está dado por

${\displaystyle \mu (n,T)={\frac {1}{\beta }}\ln {(e^{\hbar ^{2}\beta \pi n/m}-1)}}$,

y . ${\displaystyle {\frac {\partial \mu }{\partial n}}={\frac {\hbar ^{2}\pi }{m}}{\frac {1}{1-e^{-\hbar ^{2}\beta \pi n/m}}}}$

Experimentos en sistemas unidimensionales

Esta vez, considere un caso generalizado para reducir la dimensión. Cuanto menor sea la dimensión, más débil será el efecto de apantallamiento. En una dimensión menor, algunas de las líneas de campo pasan a través del material de barrera, en cuyo caso el apantallamiento no tiene efecto. Para el caso unidimensional, podemos suponer que el apantallamiento afecta solo a las líneas de campo que están muy cerca del eje del cable.

En un experimento real, también deberíamos tener en cuenta el efecto de apantallamiento en masa 3D aunque tratemos con un caso 1D como el de un solo filamento. El apantallamiento de Thomas-Fermi se ha aplicado a un gas de electrones confinado en un filamento y un cilindro coaxial. ^[5] Para un filamento de K ₂ Pt(CN) ₄ Cl _0,32 ·2,6H ₂ 0, se encontró que el potencial dentro de la región entre el filamento y el cilindro varía según y su longitud de apantallamiento efectiva es aproximadamente 10 veces la del platino metálico . ^[5] ${\displaystyle e^{-k_{\rm {eff}}r}/r}$

Véase también

• Anomalía de Kohn
• Inestabilidad de Pomeranchuk
• Oscilaciones de Friedel

Referencias

1. NW Ashcroft y ND Mermin, Física del estado sólido (Thomson Learning, Toronto, 1976)
2. Lindhard, Jens (1954). «Sobre las propiedades de un gas de partículas cargadas» (PDF) . Danske Matematisk-fysiske Meddelelser . 28 (8): 1–57 . Consultado el 28 de septiembre de 2016 .
3. Andersen, Jens Ulrik; Sigmund, Peter (septiembre de 1998). "Jens Lindhard". Física hoy . 51 (9): 89–90. Código bibliográfico : 1998PhT....51i..89A. doi : 10.1063/1.882460. ISSN  0031-9228.
4. Smith, Henrik (1983). "La función Lindhard y la enseñanza de la física del estado sólido". Physica Scripta . 28 (3): 287–293. Bibcode :1983PhyS...28..287S. doi :10.1088/0031-8949/28/3/005. ISSN  1402-4896. S2CID  250798690.
5. Davis, D. (1973). "Proyección de Thomas-Fermi en una dimensión". Physical Review B . 7 (1): 129–135. Código Bibliográfico :1973PhRvB...7..129D. doi :10.1103/PhysRevB.7.129.

General

• Haug, Hartmut; W. Koch, Stephan (2004). Teoría cuántica de las propiedades ópticas y electrónicas de los semiconductores (4.ª ed.) . World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. ISBN 978-981-238-609-0.