Campo de la geometría algebraica
En geometría algebraica , la teoría de Brill-Noether , introducida por Alexander von Brill y Max Noether (1874), es el estudio de los divisores especiales , ciertos divisores en una curva C que determinan funciones más compatibles de lo que se podría predecir. En lenguaje clásico, los divisores especiales se mueven en la curva en un sistema lineal de divisores "más grande de lo esperado" .
En este artículo, consideramos una curva suave proyectiva sobre los números complejos (o sobre algún otro campo algebraicamente cerrado ).
La condición para ser un divisor especial D puede formularse en términos de cohomología de haces , como la no desaparición de la cohomología H 1 del haz de secciones del haz invertible o fibrado lineal asociado a D . Esto significa que, por el teorema de Riemann-Roch , la cohomología H 0 o espacio de secciones holomorfas es mayor de lo esperado.
Alternativamente, por la dualidad de Serre , la condición es que existan diferenciales holomorfos con divisor ≥ – D en la curva.
Principales teoremas de la teoría de Brill-Noether
Para un género g dado , el espacio de módulos para las curvas C del género g debería contener un subconjunto denso que parametrice esas curvas con el mínimo en forma de divisores especiales. Un objetivo de la teoría es "contar constantes" para esas curvas: predecir la dimensión del espacio de divisores especiales (hasta equivalencia lineal ) de un grado dado d , como función de g , que deben estar presentes en una curva de ese género.
El enunciado básico puede formularse en términos de la variedad de Picard Pic( C ) de una curva suave C , y el subconjunto de Pic( C ) correspondiente a las clases divisorias de divisores D , con valores dados d de deg( D ) y r de l ( D ) – 1 en la notación del teorema de Riemann-Roch . Existe un límite inferior ρ para la dimensión dim( d , r , g ) de este subesquema en Pic( C ) :
Se denomina número de Brill-Noether . La fórmula se puede memorizar mediante la regla mnemotécnica (utilizando el número deseado y el de Riemann-Roch).
Para curvas suaves C y para d ≥ 1 , r ≥ 0 los resultados básicos sobre el espacio de sistemas lineales en C de grado d y dimensión r son los siguientes.
- George Kempf demostró que si ρ ≥ 0 entonces no está vacío y cada componente tiene una dimensión al menos ρ .
- William Fulton y Robert Lazarsfeld demostraron que si ρ ≥ 1 entonces está conexo.
- Griffiths y Harris (1980) demostraron que si C es genérico entonces se reduce y todos los componentes tienen dimensión exactamente ρ (por lo que en particular está vacío si ρ < 0 ).
- David Gieseker demostró que si C es genérico entonces es suave. Por el resultado de conexidad esto implica que es irreducible si ρ > 0 .
Otros resultados más recientes no necesariamente en términos espaciales de sistemas lineales son:
- Eric Larson (2017) demostró que si ρ ≥ 0 , r ≥ 3 y n ≥ 1 , los mapas de restricción son de rango máximo, también conocido como conjetura de rango máximo. [1] [2]
- Eric Larson e Isabel Vogt (2022) demostraron que si ρ ≥ 0 entonces existe una curva C que interpola a través de n puntos generales en si y solo si excepto en 4 casos excepcionales: ( d , g , r ) ∈ {(5,2,3),(6,4,3),(7,2,5),(10,6,5)}. [3] [4]
Referencias
- Barbon, Andrea (2014). Teoría algebraica de Brill-Noether (PDF) (tesis de maestría). Universidad Radboud de Nijmegen.
- Arbarello, Enrico; Cornalba, Mauricio; Griffiths, Philip A.; Harris, Joe (1985). "Los resultados básicos de la teoría de Brill-Noether". Geometría de Curvas Algebraicas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 267. vol. Yo págs. 203-224. doi :10.1007/978-1-4757-5323-3_5. ISBN 0-387-90997-4.
- von Brill, Alejandro; Noether, Max (1874). "Ueber die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie". Annalen Matemáticas . 7 (2): 269–316. doi :10.1007/BF02104804. JFM 06.0251.01. S2CID 120777748 . Consultado el 22 de agosto de 2009 .
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1980). "Sobre la variedad de sistemas lineales especiales en una curva algebraica general". Duke Mathematical Journal . 47 (1): 233–272. doi :10.1215/s0012-7094-80-04717-1. MR 0563378.
- Eduardo Casas-Alvero (2019). Curvas algebraicas, al estilo de Brill y Noether . Universitext. Springer. ISBN 9783030290153.
- Philip A. Griffiths y Joe Harris (1994). Principios de geometría algebraica . Biblioteca Wiley Classics. Wiley Interscience. pág. 245. ISBN 978-0-471-05059-9.
Notas
- ^ Larson, Eric (18 de septiembre de 2018). "La conjetura del rango máximo". arXiv : 1711.04906 [math.AG].
- ^ Hartnett, Kevin (5 de septiembre de 2018). "Los modelos Tinkertoy producen nuevos conocimientos geométricos". Revista Quanta . Consultado el 28 de agosto de 2022 .
- ^ Larson, Eric; Vogt, Isabel (5 de mayo de 2022). "Interpolación para curvas de Brill-Noether". arXiv : 2201.09445 [math.AG].
- ^ "El viejo problema de las curvas algebraicas recae en manos de jóvenes matemáticos". Quanta Magazine . 2022-08-25 . Consultado el 2022-08-28 .