En el estudio matemático de la geometría diferencial de superficies , una tangente desarrollable es un tipo particular de superficie desarrollable obtenida a partir de una curva en el espacio euclidiano como la superficie barrida por las líneas tangentes a la curva. Dicha superficie es también la envolvente de los planos tangentes a la curva.
Sea una parametrización de una curva espacial suave. Es decir, es una función dos veces diferenciable con derivada que no desaparece en ninguna parte y que asigna su argumento (un número real ) a un punto en el espacio; la curva es la imagen de . Entonces una superficie bidimensional, la tangente desarrollable de , puede ser parametrizada por el mapa
La curva original forma un límite de la tangente desarrollable y se llama directriz o borde de regresión. Esta curva se obtiene desarrollando primero la superficie en el plano y luego considerando la imagen en el plano de los generadores de la regla sobre la superficie. La envolvente de esta familia de rectas es una curva plana cuya imagen inversa bajo el desarrollo es el borde de regresión. Intuitivamente, se trata de una curva a lo largo de la cual es necesario plegar la superficie durante el proceso de desarrollo del plano.
La tangente desarrollable es una superficie desarrollable ; es decir, es una superficie con curvatura gaussiana nula . Es uno de los tres tipos fundamentales de superficie urbanizable; los otros dos son los conos generalizados (la superficie trazada por una familia unidimensional de líneas que pasan por un punto fijo), y los cilindros (superficies trazadas por una familia unidimensional de líneas paralelas ). (El plano a veces se presenta como un cuarto tipo, o puede verse como un caso especial de cualquiera de estos dos tipos). Cada superficie desarrollable en un espacio tridimensional puede formarse pegando piezas de estos tres tipos; de esto se deduce que toda superficie desarrollable es una superficie reglada , una unión de una familia unidimensional de líneas. [2] Sin embargo, no todas las superficies regladas son urbanizables; el helicoidal proporciona un contraejemplo.
La tangente desarrollable de una curva que contiene un punto de torsión cero contendrá una autointersección.
Las superficies desarrollables tangentes fueron estudiadas por primera vez por Leonhard Euler en 1772. [3] Hasta ese momento, las únicas superficies desarrollables conocidas eran los conos generalizados y los cilindros. Euler demostró que los desarrollables tangentes son desarrollables y que toda superficie desarrollable es de uno de estos tipos. [2]
