En morfología matemática , la granulometría es un enfoque para calcular una distribución de tamaño de granos en imágenes binarias , utilizando una serie de operaciones de apertura morfológica . Fue introducido por Georges Matheron en la década de 1960 y es la base para la caracterización del concepto de tamaño en morfología matemática.
Granulometría generada por un elemento estructurante.
Sea B un elemento estructurante en un espacio o cuadrícula euclidiana E , y considere la familia , , dada por: ![{\displaystyle \{B_{k}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k=0,1,\ldots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
donde denota dilatación morfológica . Por convención, es el conjunto que contiene sólo el origen de E , y .![{\displaystyle \oplus}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle B_ {0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B_{1}=B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sea X un conjunto (es decir, una imagen binaria en morfología matemática), y considere la serie de conjuntos , , dada por:![{\displaystyle \{\gamma _ {k}(X)\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k=0,1,\ldots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
donde denota la apertura morfológica.![{\displaystyle\circ}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La función de granulometría es la cardinalidad (es decir, área o volumen , en espacio euclidiano continuo, o número de elementos, en cuadrículas) de la imagen :![{\displaystyle G_{k}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma _ {k}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
El espectro de patrones o distribución de tamaños de X es la colección de conjuntos , , dada por:![{\displaystyle \{PS_{k}(X)\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k=0,1,\ldots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
.
El parámetro k se conoce como tamaño , y el componente k del espectro del patrón proporciona una estimación aproximada de la cantidad de granos de tamaño k en la imagen X. Los picos de indican cantidades relativamente grandes de granos de los tamaños correspondientes.![{\displaystyle PS_{k}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle PS_{k}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Axiomas de tamizado
El método común anterior es un caso particular del enfoque más general derivado de Georges Matheron . El matemático francés se inspiró en el tamizado como medio para caracterizar el tamaño . En el tamizado, una muestra granular se pasa a través de una serie de tamices con tamaños de orificios decrecientes. Como consecuencia, los diferentes granos de la muestra se separan según su tamaño.
La operación de pasar una muestra a través de un tamiz de cierto tamaño de orificio " k " puede describirse matemáticamente como un operador que devuelve el subconjunto de elementos en X con tamaños menores o iguales a k . Esta familia de operadores satisface las siguientes propiedades:![{\displaystyle \Psi _ {k}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Anti-extensividad : Cada tamiz reduce la cantidad de granos, es decir ,
![{\displaystyle \Psi _ {k}(X)\subseteq X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Incremento : El resultado del tamizado de un subconjunto de una muestra es un subconjunto del tamizado de esa muestra, es decir ,
![{\displaystyle X\subseteq Y\Rightarrow \Psi _ {k}(X)\subseteq \Psi _ {k}(Y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- " Estabilidad ": El resultado de pasar por dos tamices lo determina el tamiz con el tamaño de orificio más pequeño. Es decir, .
![{\displaystyle \Psi _{k}\Psi _{m}(X)=\Psi _{m}\Psi _{k}(X)=\Psi _{\min(k,m)}(X) }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una familia de operadores generadores de granulometría debe satisfacer los tres axiomas anteriores.
En el caso anterior (granulometría generada por un elemento estructurante), .![{\displaystyle \Psi _ {k}(X)=\gamma _ {k}(X)=X\circ B_ {k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Otro ejemplo de familia generadora de granulometría es cuando , donde es un conjunto de elementos estructurantes lineales con diferentes direcciones.![{\displaystyle \Psi _{k}(X)=\bigcup _{i=1}^{N}X\circ (B^{(i)})_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{B^{(i)}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- Conjuntos aleatorios y geometría integral , de Georges Matheron, Wiley 1975, ISBN 0-471-57621-2 .
- Análisis de imágenes y morfología matemática de Jean Serra, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
- Segmentación de imágenes mediante granulometrías morfológicas locales, Dougherty, ER, Kraus, EJ y Pelz, JB., Simposio de geociencias y teledetección, 1989. IGARSS'89, doi :10.1109/IGARSS.1989.576052 (1989)
- Introducción al procesamiento de imágenes morfológicas por Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992)
- Análisis de Imágenes Morfológicas; Principios y aplicaciones de Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999)