En matemáticas , en el ámbito de la teoría de grupos , se dice que un grupo es superperfecto cuando sus dos primeros grupos de homología son triviales : H 1 ( G , Z ) = H 2 ( G , Z ) = 0. Esto es más fuerte que un grupo perfecto, que es aquel cuyo primer grupo de homología se anula. En términos más clásicos, un grupo superperfecto es aquel cuya abelianización y multiplicador de Schur se anulan; la abelianización es igual a la primera homología, mientras que el multiplicador de Schur es igual a la segunda homología.
El primer grupo de homología de un grupo es la abelianización del propio grupo, ya que la homología de un grupo G es la homología de cualquier espacio de Eilenberg–MacLane de tipo K ( G , 1); el grupo fundamental de un K ( G , 1) es G , y la primera homología de K ( G , 1) es entonces la abelianización de su grupo fundamental. Por tanto, si un grupo es superperfecto, entonces es perfecto .
Un grupo perfecto finito es superperfecto si y sólo si es su propia extensión central universal (ECU), ya que el segundo grupo de homología de un grupo perfecto parametriza las extensiones centrales.
Por ejemplo, si G es el grupo fundamental de una esfera de homología , entonces G es superperfecto. El grupo superperfecto finito no trivial más pequeño es el grupo icosaédrico binario (el grupo fundamental de la esfera de homología de Poincaré ).
El grupo alternante A 5 es perfecto pero no superperfecto: tiene una extensión central no trivial, el grupo icosaédrico binario (que de hecho es su UCE) es superperfecto. De manera más general, los grupos lineales especiales proyectivos PSL( n , q ) son simples (por lo tanto perfectos) excepto PSL(2, 2) y PSL(2, 3), pero no superperfectos, con los grupos lineales especiales SL( n , q ) como extensiones centrales. Esta familia incluye el grupo icosaédrico binario (pensado como SL(2, 5)) como UCE de A 5 (pensado como PSL(2, 5)).
Todo grupo acíclico es superperfecto, pero lo inverso no es cierto: el grupo icosaédrico binario es superperfecto, pero no acíclico.