Las supermembranas son objetos hipotéticos que viven en la teoría de 11 dimensiones llamada teoría M y también deberían existir en la supergravedad de once dimensiones . Las supermembranas son una generalización de las supercuerdas a otra dimensión. Las supermembranas son superficies bidimensionales. Por ejemplo, pueden ser esféricas o tener forma de toro . Como en la teoría de supercuerdas, las vibraciones de las supermembranas corresponden a diferentes partículas. Las supermembranas también exhiben una simetría llamada supersimetría sin la cual las vibraciones solo corresponderían a bosones y no a fermiones .
La energía de una supermembrana clásica está dada por su área de superficie. Una consecuencia de esto es que no hay diferencia entre una o dos membranas, ya que dos membranas pueden estar conectadas por una larga cuerda unidimensional de área cero. Por lo tanto, la idea de "número de membrana" no tiene sentido. Una segunda consecuencia es que, a diferencia de las cuerdas, las vibraciones de una supermembrana pueden representar varias partículas a la vez. En términos técnicos, esto significa que ya está "cuantizada en segundo lugar". Se puede pensar que todas las partículas del Universo surgen como vibraciones de una sola membrana.
Al pasar de la teoría clásica a la teoría cuántica de las supermembranas se encuentra que éstas sólo pueden existir en 11 dimensiones, al igual que las supercuerdas sólo pueden existir en 10 dimensiones. Al examinar el espectro de energía (las frecuencias permitidas en las que puede vibrar una cuerda) se encontró que sólo pueden estar en valores discretos correspondientes a las masas de las diferentes partículas.
Se ha demostrado:
Al principio se pensó que el descubrimiento de que el espectro era continuo significaba que la teoría no tenía sentido. Pero luego se comprendió que significaba que las supermembranas en realidad corresponden a múltiples partículas (los grados de libertad continuos corresponden a las coordenadas/momentos de las partículas adicionales).
La acción de una membrana clásica es simplemente el área de la superficie de la lámina del mundo. La versión cuántica es más difícil de escribir, no es lineal y muy difícil de resolver. A diferencia de la acción de supercuerdas, que es cuadrática, la acción de supermembrana es cuártica, lo que la hace exponencialmente más difícil. Si a esto le sumamos el hecho de que una membrana puede representar muchas partículas a la vez, no se ha avanzado mucho en las supermembranas.
Se ha demostrado que las vibraciones de baja energía de la supermembrana corresponden a las partículas en la supergravedad de 11 dimensiones .
Una supermembrana puede tener múltiples tubos o cuerdas que salen de ella con poco o ningún costo adicional de energía, ya que las cuerdas, por ejemplo, no tienen área. Esto significa que todas las topologías orientables de membranas son físicamente iguales. Además, las supermembranas unidas y disjuntas son físicamente iguales. Por lo tanto, la topología de una supermembrana no tiene significado físico.
La supermembrana infinita puede describirse en términos de un número infinito de parches. Las coordenadas de (cada parche de) una supermembrana en cualquier porción casual de tiempo son 11-dimensionales y dependen de dos parámetros continuos y un tercer parámetro entero (k) que denota el número de parche:
Por lo tanto, la supermembrana puede describir un número infinito de partículas si asociamos de alguna manera la coordenada de cada partícula con alguna propiedad topológica de los parches (quizás agujeros en la membrana o bucles cerrados).
Dado que las supermembranas corresponden a múltiples partículas, la teoría de campos de las membranas corresponde a un espacio de Fock . De manera informal, sea a (x) el que denota los grados de libertad continuos en el espectro de energía:
La acción se puede escribir como
donde Q es el operador cinético. No se necesitan términos de interacción ya que no existe el concepto de número de membrana. Todo es la misma membrana. La acción no es exactamente del mismo tipo que la de las supercuerdas o partículas, ya que involucra términos con múltiples partículas. Los términos relacionados con campos individuales deben recuperar las ecuaciones de campo clásicas de Dirac , Maxwell y Einstein . El propagador para llegar desde un estado con membrana X a otro corte conforme con membrana Y es:
Y como cada membrana corresponde a cualquier número de partículas idénticas, esto es equivalente a todas las funciones de Green para muchas colisiones de partículas a la vez.
Aunque parece que muchas cosas se simplifican en la imagen de la supermembrana, la forma real del operador cinético Q aún es desconocida y debe ser un operador muy complicado que actúa en un espacio infinito de tipo Fock. Por lo tanto, la aparente simplicidad de la teoría se esconde en este operador.
Dado que las vibraciones de una supermembrana de energía infinita pueden corresponder a cada partícula del Universo a la vez, es posible interpretar la supermembrana como equivalente al Universo, es decir, todo lo que existe es la supermembrana. No hay diferencia entre decir que vivimos en esta supermembrana o que estamos en un espacio-tiempo de 11 dimensiones. Cada estado del Universo corresponde a una supermembrana y cada historia del Universo corresponde a un volumen mundial de supermembrana. Lo que consideramos coordenadas del espacio-tiempo también se puede considerar como campos vectoriales en la supermembrana de 2+1 dimensiones.
Para una supermembrana que se mueve a la velocidad de la luz, su volumen mundial puede ser cero debido a la métrica (+++-) [ aclaración necesaria ] . Por lo tanto, el Big Bang puede considerarse como una membrana esférica que se expande a la velocidad de la luz. Esto tiene interpretaciones interesantes en términos del principio holográfico .
Como la(s) supermembrana(s) corresponde(n) a todas las partículas en un intervalo temporal causal particular, también corresponde(n) a todas las partículas gravitones (que son modos vibracionales particulares). Por lo tanto, la geometría de la supermembrana 2+1D contiene dentro de sí la descripción de la geometría del espacio-tiempo (macroscópico) 10+1D. Pero como es una teoría cuántica, da probabilidades para diferentes espacios-tiempos consistentes con la observación. Los diferentes espacios-tiempos pueden diferir solo microscópicamente, mientras que el espacio-tiempo macroscópico es uniforme. En otras palabras, la geometría de la membrana determina la geometría del espacio-tiempo (macroscópico). Esto es diferente de la teoría de cuerdas, donde solo los condensados de muchas cuerdas separadas pueden determinar macroscópicamente el espacio-tiempo.
La teoría M y la supergravedad de once dimensiones también predicen objetos 5+1D llamados super-5- branas . Una teoría cosmológica alternativa es que vivimos en una de estas branas.
Compactar una dimensión del espacio-tiempo en un círculo y envolver la membrana alrededor de este círculo nos da la teoría de supercuerdas. Para volver a nuestro universo de 3+1 dimensiones, las coordenadas del espacio-tiempo deben compactarse en una variedad de 7 dimensiones (de holonomía G2). No se sabe mucho sobre este tipo de formas.
La teoría de matrices es una forma particular de formular la teoría de supermembranas. Todavía se encuentra en desarrollo. Las entradas diagonales de una matriz de dimensión infinita pueden considerarse como diferentes supermembranas (partes) conectadas por cuerdas unidimensionales.
![{\displaystyle \Phi [X]=\Phi [x,\mathbf {a} ,..]=\phi (x)+\int \mathbf {a} (y)\phi (x,y)dy+\int \mathbf {a} (y)\mathbf {a} (z)\phi (x,y,z)dydz+...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159aa7e8620da550f848d39ab700d40228029e09)
![{\displaystyle S=\int \Phi[X]\mathbf {Q} \Phi[X]D[X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bef1c2b78b3a5b2bbaad6748019041dd703c935)
