En la teoría de cuerdas y teorías relacionadas (como las teorías de supergravedad ), una brana es un objeto físico que generaliza la noción de una partícula puntual de dimensión cero, una cuerda unidimensional o una membrana bidimensional a objetos de dimensiones superiores. Las branas son objetos dinámicos que pueden propagarse a través del espacio-tiempo según las reglas de la mecánica cuántica . Tienen masa y pueden tener otros atributos como carga .
Matemáticamente, las branas se pueden representar dentro de categorías y se estudian en matemáticas puras para comprender la simetría especular homológica y la geometría no conmutativa .
La palabra "brana" se originó en 1987 como una contracción de " membrana ". [1]
Una partícula puntual es una 0-brana, de dimensión cero; una cuerda, llamada así por cuerdas musicales vibrantes , es una 1-brana; una membrana, llamada así por membranas vibrantes como los parches de los tambores , es una 2-brana. [2] El objeto correspondiente de dimensión arbitraria p se llama p -brana, un término acuñado por MJ Duff et al. en 1988. [3]
Una brana p barre un volumen de dimensión ( p +1) en el espacio-tiempo llamado su volumen mundial . Los físicos a menudo estudian campos análogos al campo electromagnético , que viven en el volumen mundial de una brana. [4]
En la teoría de cuerdas , una cuerda puede ser abierta (formando un segmento con dos puntos finales) o cerrada (formando un bucle cerrado). Las D-branas son una clase importante de branas que surgen cuando se consideran cuerdas abiertas. A medida que una cuerda abierta se propaga a través del espacio-tiempo, se requiere que sus puntos finales se encuentren en una D-brana. La letra "D" en D-brana se refiere a la condición de contorno de Dirichlet , que satisface la D-brana. [5]
Un punto crucial sobre las D-branas es que la dinámica en el volumen del mundo de la D-brana se describe mediante una teoría de calibre , un tipo de teoría física altamente simétrica que también se utiliza para describir el comportamiento de partículas elementales en el modelo estándar de física de partículas . Esta conexión ha llevado a importantes conocimientos sobre la teoría de calibre y la teoría cuántica de campos . Por ejemplo, condujo al descubrimiento de la correspondencia AdS/CFT , una herramienta teórica que los físicos utilizan para traducir problemas difíciles en la teoría de calibre en problemas matemáticamente más manejables en la teoría de cuerdas. [6]
Matemáticamente, las branas se pueden describir utilizando la noción de categoría . [7] Esta es una estructura matemática que consiste en objetos , y para cualquier par de objetos, un conjunto de morfismos entre ellos. En la mayoría de los ejemplos, los objetos son estructuras matemáticas (como conjuntos , espacios vectoriales o espacios topológicos ) y los morfismos son funciones entre estas estructuras. [8] Asimismo, se pueden considerar categorías donde los objetos son D-branas y los morfismos entre dos branas y son estados de cuerdas abiertas estiradas entre y . [9]
En una versión de la teoría de cuerdas conocida como el modelo B topológico , las D-branas son subvariedades complejas de ciertas formas de seis dimensiones llamadas variedades de Calabi-Yau , junto con datos adicionales que surgen físicamente de tener cargas en los puntos finales de las cuerdas. [10] Intuitivamente, uno puede pensar en una subvariedad como una superficie incrustada dentro de una variedad de Calabi-Yau, aunque las subvariedades también pueden existir en dimensiones diferentes a dos. [11] En lenguaje matemático, la categoría que tiene estas branas como sus objetos se conoce como la categoría derivada de haces coherentes en la variedad de Calabi-Yau. [12] En otra versión de la teoría de cuerdas llamada el modelo A topológico , las D-branas pueden verse nuevamente como subvariedades de una variedad de Calabi-Yau. En términos generales, son lo que los matemáticos llaman subvariedades lagrangianas especiales . [13] Esto significa, entre otras cosas, que tienen la mitad de la dimensión del espacio en el que se encuentran y que minimizan la longitud, el área o el volumen. [14] La categoría que tiene estas branas como sus objetos se llama categoría de Fukaya . [15]
La categoría derivada de haces coherentes se construye utilizando herramientas de la geometría compleja , una rama de las matemáticas que describe formas geométricas en términos algebraicos y resuelve problemas geométricos utilizando ecuaciones algebraicas . [16] Por otro lado, la categoría de Fukaya se construye utilizando la geometría simpléctica , una rama de las matemáticas que surgió de los estudios de la física clásica . La geometría simpléctica estudia los espacios equipados con una forma simpléctica , una herramienta matemática que se puede utilizar para calcular el área en ejemplos bidimensionales. [17]
La conjetura de simetría especular homológica de Maxim Kontsevich establece que la categoría derivada de haces coherentes en una variedad de Calabi-Yau es equivalente en cierto sentido a la categoría de Fukaya de una variedad de Calabi-Yau completamente diferente. [18] Esta equivalencia proporciona un puente inesperado entre dos ramas de la geometría, a saber, la geometría compleja y la simpléctica. [19]
