Superficie del canal

Superficie formada por esferas centradas a lo largo de una curva.

Superficie del canal: la directriz es una hélice , con sus esferas generadoras.

Superficie de la tubería: la directriz es una hélice, con esferas generadoras.

superficie de la tubería: la directriz es una hélice

En geometría y topología , un canal o superficie de canal es una superficie formada como la envoltura de una familia de esferas cuyos centros se encuentran en una curva espacial , su directriz . Si los radios de las esferas generadoras son constantes, la superficie del canal se denomina superficie de tubería . Ejemplos simples son:

• cilindro circular recto (superficie de la tubería, la directriz es una línea, el eje del cilindro)
• toro (superficie de la tubería, la directriz es un círculo),
• cono circular recto (superficie del canal, directriz es una línea (el eje), radios de las esferas no constantes),
• superficie de revolución (superficie del canal, directriz es una línea),

Las superficies de los canales juegan un papel esencial en la geometría descriptiva, porque en el caso de una proyección ortográfica su curva de nivel se puede dibujar como la envoltura de círculos.

• En el área técnica, las superficies de los canales se pueden utilizar para mezclar superficies suavemente.

Envoltura de un lápiz de superficies implícitas.

Dado el lápiz de superficies implícitas.

${\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]}$,

dos superficies vecinas y se cortan en una curva que cumple las ecuaciones ${\displaystyle \Phi _{c}}$ ${\displaystyle \Phi _{c+\Delta c}}$

${\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0}$y . ${\displaystyle f({\mathbf {x} },c+\Delta c)=0}$

Por el límite que uno obtiene . La última ecuación es el motivo de la siguiente definición. ${\displaystyle \Delta c\to 0}$ ${\displaystyle f_{c}({\mathbf {x} },c)=\lim _{\Delta c\to \ 0}{\frac {f({\mathbf {x} },c)-f({\mathbf {x} },c+\Delta c)}{\Delta c}}=0}$

• Sea un lápiz de 1 parámetro de superficies implícitas regulares ( siendo al menos dos veces continuamente diferenciable). La superficie definida por las dos ecuaciones. ${\displaystyle \Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle f}$

  ${\displaystyle f({\mathbf {x} },c)=0,\quad f_{c}({\mathbf {x} },c)=0}$

es la envolvente del lápiz de superficies dado. ^[1]

Superficie del canal

Sea una curva espacial regular y una función con y . La última condición significa que la curvatura de la curva es menor que la de la esfera correspondiente. La envolvente del lápiz de esferas de 1 parámetro. ${\displaystyle \Gamma :{\mathbf {x} }={\mathbf {c} }(u)=(a(u),b(u),c(u))^{\top }}$ ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle |{\dot {r}}|<\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}$

${\displaystyle f({\mathbf {x} };u):={\big \|}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big \|}^{2}-r^{2}(u)=0}$

se llama superficie del canal y su directriz . Si los radios son constantes, se llama superficie de tubería . ${\displaystyle \Gamma }$

Representación paramétrica de la superficie de un canal.

La condición del sobre

${\displaystyle f_{u}({\mathbf {x} },u)=2{\Big (}-{\big (}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big )}^{\top }{\dot {\mathbf {c} }}(u)-r(u){\dot {r}}(u){\Big )}=0}$

de la superficie del canal de arriba es para cualquier valor de la ecuación de un plano, que es ortogonal a la tangente de la directriz. Por tanto, la envoltura es una colección de círculos. Esta propiedad es la clave para una representación paramétrica de la superficie del canal. El centro del círculo (para el parámetro ) tiene la distancia (ver condición anterior) del centro de la esfera correspondiente y su radio es . Por eso ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}(u)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle d:={\frac {r{\dot {r}}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}}<r}$ ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}-d^{2}}}}$

• ${\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)-{\frac {r(u){\dot {r}}(u)}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}{\dot {\mathbf {c} }}(u)+r(u){\sqrt {1-{\frac {{\dot {r}}(u)^{2}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}}}{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )},}$

donde los vectores y el vector tangente forman una base ortonormal, es una representación paramétrica de la superficie del canal. ^[2] ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {c} }}/\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}$

Se obtiene la representación paramétrica de la superficie de una tubería : ${\displaystyle {\dot {r}}=0}$

• ${\displaystyle {\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)+r{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )}.}$

nudo de tubería

superficie del canal: ciclide de Dupin

Ejemplos

a) La primera imagen muestra la superficie de un canal con

1. la hélice como directriz y ${\displaystyle (\cos(u),\sin(u),0.25u),u\in [0,4]}$
2. la función del radio . ${\displaystyle r(u):=0.2+0.8u/2\pi }$
3. La elección es la siguiente: ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}}$

${\displaystyle {\mathbf {e} }_{1}:=({\dot {b}},-{\dot {a}},0)/\|\cdots \|,\ {\mathbf {e} }_{2}:=({\mathbf {e} }_{1}\times {\dot {\mathbf {c} }})/\|\cdots \|}$.

b) Para la segunda imagen el radio es constante: , es decir, la superficie del canal es una superficie de tubería. ${\displaystyle r(u):=0.2}$

c) Para la 3. imagen, la superficie de la tubería b) tiene el parámetro . ${\displaystyle u\in [0,7.5]}$

d) La 4. imagen muestra un nudo de tubería. Su directriz es una curva sobre un toroide.

e) La 5. imagen muestra un ciclido de Dupin (superficie del canal).

Referencias

1. Geometría y algoritmos para DISEÑO AYUDADO POR COMPUTADORA, p. 115
2. Geometría y algoritmos para DISEÑO AYUDADO POR COMPUTADORA, p. 117

• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometría e imaginación (2ª ed.). Chelsea. pag. 219.ISBN​ 0-8284-1087-9.

enlaces externos

• M. Peternell y H. Pottmann: Computación de parametrizaciones racionales de superficies de canales