Suma de dos cubos

Fórmula polinómica matemática

Prueba visual de las fórmulas para la suma y diferencia de dos cubos

En matemáticas , la suma de dos cubos es un número al cubo sumado a otro número al cubo.

Factorización

Toda suma de cubos puede factorizarse según la identidad en álgebra elemental . ^[1] $${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}$$

Los números binomiales generalizan esta factorización a potencias impares mayores.

Método "SOAP"

El acrónimo "SOAP", que significa "Igual, Opuesto, Siempre Positivo", se utiliza a veces para memorizar la colocación correcta de los símbolos de suma y resta al factorizar cubos. ^[2] Al aplicar este método a la factorización, "Igual" representa el primer término con el mismo signo que la expresión original, "Opuesto" representa el segundo término con el signo opuesto a la expresión original y "Siempre Positivo" representa el tercer término y siempre es positivo.

Prueba

Comenzando con la expresión, y multiplicando por a + b ^[1] distribuyendo a y b sobre , ^[1] y cancelando los términos semejantes, ^[1] . ${\displaystyle a^{2}-ab+b^{2}}$ $${\displaystyle (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a(a^{2}-ab+b^{2})+b(a^{2}-ab+b^{2}).}$$ ${\displaystyle a^{2}-ab+b^{2}}$ $${\displaystyle a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}}$$ $${\displaystyle a^{3}+b^{3}}$$

De manera similar para la diferencia de cubos, $${\displaystyle {\begin{aligned}(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})&=a(a^{2}+ab+b^{2})-b(a^{2}+ab+b^{2})\\&=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}\;-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}\\&=a^{3}-b^{3}.\end{aligned}}}$$

El último teorema de Fermat

El último teorema de Fermat en el caso del exponente 3 establece que la suma de dos cubos enteros distintos de cero no da como resultado un cubo entero distinto de cero. La primera demostración registrada del caso del exponente 3 fue dada por Euler . ^[3]

Números de taxis y Cabtaxi

Un número de taxi es el número positivo más pequeño que se puede expresar como suma de dos cubos enteros positivos de n maneras distintas. El número de taxi más pequeño después de Ta(1) = 1, es Ta(2) = 1729, ^[4] expresado como

${\displaystyle 1^{3}+12^{3}}$o ${\displaystyle 9^{3}+10^{3}}$

Ta(3), el número de taxi más pequeño expresado de tres maneras diferentes, es 87.539.319, expresado como

${\displaystyle 436^{3}+167^{3}}$, o ${\displaystyle 423^{3}+228^{3}}$ ${\displaystyle 414^{3}+255^{3}}$

Un número Cabtaxi es el número positivo más pequeño que se puede expresar como suma de dos cubos enteros de n maneras, lo que permite que los cubos sean negativos o cero, así como positivos. El número Cabtaxi más pequeño después de Cabtaxi(1) = 0, es Cabtaxi(2) = 91, ^[5] expresado como:

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}}$o ${\displaystyle 6^{3}-5^{3}}$

Cabtaxi(3), el número Cabtaxi más pequeño expresado de 3 maneras diferentes, es 4104, ^[6] expresado como

${\displaystyle 16^{3}+2^{3}}$, o ${\displaystyle 15^{3}+9^{3}}$ ${\displaystyle -12^{3}+18^{3}}$

Véase también

• Diferencia de dos cuadrados
• Número binomial
• La identidad de Sophie Germain
• Factorización aurifeuilleana
• El último teorema de Fermat

Referencias

1. McKeague, Charles P. (1986). Álgebra elemental (3.ª ed.). Academic Press. pág. 388. ISBN 0-12-484795-1.
2. Kropko, Jonathan (2016). Matemáticas para científicos sociales . Los Ángeles, LA: Sage. p. 30. ISBN 9781506304212.
3. Dickson, LE (1917). "El último teorema de Fermat y el origen y la naturaleza de la teoría de los números algebraicos". Anales de Matemáticas . 18 (4): 161–187. doi :10.2307/2007234. ISSN  0003-486X. JSTOR  2007234.
4. "A001235 - OEIS". oeis.org . Consultado el 4 de enero de 2023 .
5. Schumer, Peter (2008). "Suma de dos cubos de dos maneras diferentes". Math Horizons . 16 (2): 8–9. doi :10.1080/10724117.2008.11974795. JSTOR  25678781.
6. Silverman, Joseph H. (1993). "Taxicabs and Sums of Two Cubes" (Taxi y sumas de dos cubos). The American Mathematical Monthly (Mensaje mensual matemático americano ). 100 (4): 331–340. doi :10.2307/2324954. ISSN  0002-9890. JSTOR  2324954.

Lectura adicional

• Broughan, Kevin A. (enero de 2003). "Caracterización de la suma de dos cubos" (PDF) . Journal of Integer Sequences . 6 (4): 46. Bibcode :2003JIntS...6...46B.