Secuencia multiplicativa

En matemáticas , una sucesión multiplicativa o m -secuencia es una secuencia de polinomios asociados a una estructura de grupo formal . Tienen aplicación en el anillo de cobordismo en topología algebraica .

Definición

Sean K _n polinomios sobre un anillo A en indeterminados p ₁ , ... ponderados de modo que p _i tiene peso i (con p ₀ = 1) y todos los términos en K _n tienen peso n (en particular K _n es un polinomio en p ₁ , ...,  p _n ). La secuencia K _n es multiplicativa si la función

${\displaystyle K:\sum _{n=0}^{\infty }q_{n}z^{n}\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }K_{n}(q_{1},\cdots ,q_{n})z^{n}}$

es un endomorfismo del monoide multiplicativo , donde . ${\displaystyle (A[x_{1},x_{2},\cdots ][[z]],\cdot )}$ ${\displaystyle q_{n}\in A[x_{1},x_{2},\cdots ]}$

La serie de potencia

${\displaystyle K(1+z)=\sum K_{n}(1,0,\ldots ,0)z^{n}}$

es la serie de potencias característica de  K _n . Una secuencia multiplicativa está determinada por su serie de potencias característica Q ( z ), y toda serie de potencias con término constante 1 da lugar a una secuencia multiplicativa.

Para recuperar una secuencia multiplicativa de una serie de potencias característica Q ( z ) consideramos el coeficiente de z ^j en el producto

${\displaystyle \prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}z)\ }$

para cualquier  m  >  j . Esta es simétrica en el β _i y homogénea de peso j : por lo que se puede expresar como un polinomio K _j ( p ₁ , ...,  p _j ) en las funciones simétricas elementales p del  β . Entonces K _j define una secuencia multiplicativa.

Ejemplos

A modo de ejemplo, la secuencia K _n = p _n es multiplicativa y tiene una serie de potencias característica 1 +  z .

Considere la serie de potencias

${\displaystyle Q(z)={\frac {\sqrt {z}}{\tanh {\sqrt {z}}}}=1-\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {2^{2k}}{(2k)!}}B_{k}z^{k}\ }$

donde B _k es el k - ésimo número de Bernoulli . La secuencia multiplicativa con Q como serie de potencias característica se denota L _j ( p ₁ , ...,  p _j ).

La sucesión multiplicativa con serie de potencias características

${\displaystyle Q(z)={\frac {2{\sqrt {z}}}{\sinh 2{\sqrt {z}}}}\ }$

se denota A _j ( p ₁ ,..., p _j ).

La sucesión multiplicativa con serie de potencias características

${\displaystyle Q(z)={\frac {z}{1-\exp(-z)}}=1+{\frac {x}{2}}-\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {B_{k}}{(2k)!}}z^{2k}\ }$

se denota T _j ( p ₁ ,..., p _j ): estos son los polinomios de Todd .

Género

El género de una secuencia multiplicativa es un homomorfismo de anillo , desde el anillo de cobordismo de variedades compactas de orientación suave a otro anillo, normalmente el anillo de números racionales .

Por ejemplo, el género Todd está asociado a los polinomios de Todd con series de potencia características . ${\displaystyle {\frac {z}{1-\exp(-z)}}}$

Referencias

• Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978]. Métodos topológicos en geometría algebraica . Clásicos de las matemáticas. Traducción del alemán y apéndice uno de RLE Schwarzenberger. Apéndice dos de A. Borel (reimpresión de la 2.ª edición, corrección de la 3.ª edición). Berlín: Springer-Verlag . ISBN. 3-540-58663-6.Zbl 0843.14009  .