En matemáticas , la función sucesora u operación sucesora envía un número natural al siguiente. La función sucesora se denota por S , por lo que S ( n ) = n + 1. Por ejemplo, S (1) = 2 y S (2) = 3. La función sucesora es uno de los componentes básicos que se utilizan para construir una función recursiva primitiva .
Las operaciones sucesoras también se conocen como puesta a cero en el contexto de una hiperoperación cero : H 0 ( a , b ) = 1 + b . En este contexto, la extensión de la puesta a cero es la adición , que se define como una sucesión repetida.
La función sucesora es parte del lenguaje formal utilizado para enunciar los axiomas de Peano , que formalizan la estructura de los números naturales. En esta formalización, la función sucesora es una operación primitiva sobre los números naturales, en términos de la cual se definen los números naturales estándar y la adición. [1] Por ejemplo, 1 se define como S (0), y la adición sobre números naturales se define recursivamente mediante:
Esto se puede utilizar para calcular la suma de dos números naturales cualesquiera. Por ejemplo, 5 + 2 = 5 + S (1) = S (5 + 1) = S (5 + S (0)) = S ( S (5 + 0)) = S ( S (5)) = S (6) = 7.
Se han propuesto varias construcciones de los números naturales dentro de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, John von Neumann construye el número 0 como el conjunto vacío {}, y el sucesor de n , S ( n ), como el conjunto n ∪ { n }. El axioma de infinito garantiza entonces la existencia de un conjunto que contiene a 0 y es cerrado con respecto a S . El conjunto más pequeño de estos se denota por N , y sus miembros se denominan números naturales. [2]
La función sucesora es la base de nivel 0 de la jerarquía infinita de hiperoperaciones de Grzegorczyk , utilizada para construir la suma , la multiplicación , la exponenciación , la tetración , etc. Se estudió en 1986 en una investigación que implicaba la generalización del patrón para hiperoperaciones. [3]
También es una de las funciones primitivas utilizadas en la caracterización de la computabilidad mediante funciones recursivas .