En matemáticas , o más específicamente en teoría de grupos , los subgrupos omega y agemo describen la denominada "estructura de potencia" de un p -grupo finito . Fueron introducidos en (Hall 1933) donde se utilizaron para describir una clase de p -grupos finitos cuya estructura era suficientemente similar a la de los p -grupos abelianos finitos , los denominados p-grupos regulares . La relación entre la potencia y la estructura del conmutador constituye un tema central en el estudio moderno de los p -grupos, como se ejemplifica en el trabajo sobre p-grupos uniformemente potentes .
La palabra "agemo" es simplemente "omega" escrito al revés, y el subgrupo agemo se denota con un omega invertido (℧).
Los subgrupos omega son las series de subgrupos de un p-grupo finito, G , indexados por los números naturales:
Los subgrupos agemo son la serie de subgrupos:
Cuando i = 1 y p es impar, normalmente se omite i de la definición. Cuando p es par, una i omitida puede significar i = 1 o i = 2, según la convención local. En este artículo, utilizamos la convención de que una i omitida siempre indica i = 1.
El grupo diedro de orden 8 , G , satisface: ℧( G ) = Z( G ) = [ G , G ] = Φ( G ) = Soc( G ) es el único subgrupo normal de orden 2, típicamente realizado como el subgrupo que contiene la identidad y una rotación de 180°. Sin embargo, Ω( G ) = G es el grupo entero, ya que G se genera por reflexiones. Esto muestra que Ω( G ) no necesita ser el conjunto de elementos de orden p .
El grupo de cuaterniones de orden 8 , H , satisface Ω( H ) = ℧( H ) = Z( H ) = [ H , H ] = Φ( H ) = Soc( H ) es el único subgrupo de orden 2, normalmente realizado como el subgrupo que contiene solo 1 y −1.
El subgrupo p de Sylow , P , del grupo simétrico en p 2 puntos es el producto en corona de dos grupos cíclicos de orden primo. Cuando p = 2, este es simplemente el grupo diedro de orden 8. También satisface Ω( P ) = P . Nuevamente, ℧( P ) = Z( P ) = Soc( P ) es cíclico de orden p , pero [ P , P ] = Φ( G ) es abeliano elemental de orden p p −1 .
El producto semidirecto de un grupo cíclico de orden 4 que actúa de manera no trivial sobre un grupo cíclico de orden 4,
tiene ℧( K ) abeliano elemental de orden 4, pero el conjunto de cuadrados es simplemente { 1, aa , bb }. Aquí el elemento aabb de ℧( K ) no es un cuadrado, lo que demuestra que ℧ no es simplemente el conjunto de cuadrados.
En esta sección, sea G un p -grupo finito de orden | G | = p n y exponente exp( G ) = p k . Entonces las familias omega y agemo satisfacen una serie de propiedades útiles.
Si H ≤ G es un subgrupo de G y N ⊲ G es un subgrupo normal de G , entonces:
La primera aplicación de los subgrupos omega y agemo fue establecer la analogía de los p -grupos regulares con los p -grupos abelianos en (Hall 1933).
Los grupos en los que Ω( G ) ≤ Z( G ) fueron estudiados por John G. Thompson y han tenido varias aplicaciones más recientes.
La noción dual, grupos con [ G , G ] ≤ ℧( G ) se denominan p-grupos potentes y fueron introducidos por Avinoam Mann. Estos grupos fueron fundamentales para la prueba de las conjeturas de coclase que introdujeron una forma importante de entender la estructura y la clasificación de los p -grupos finitos.
