En matemáticas , en el campo de la teoría de grupos , un subgrupo cuasionormal , o subgrupo permutable , es un subgrupo de un grupo que conmuta (permuta) con cualquier otro subgrupo con respecto al producto de subgrupos . El término subgrupo cuasionormal fue introducido por Øystein Ore en 1937.
Se dice que dos subgrupos se permutan (o conmutan) si cualquier elemento del primer subgrupo, multiplicado por un elemento del segundo subgrupo, puede escribirse como un elemento del segundo subgrupo multiplicado por un elemento del primer subgrupo. Es decir, y como se dice que los subgrupos de conmutan si HK = KH , es decir, cualquier elemento de la forma con y puede escribirse en la forma donde y .
Todo subgrupo normal es cuasinormal, porque un subgrupo normal conmuta con cada elemento del grupo. La inversa no es cierta. Por ejemplo, cualquier extensión de un grupo cíclico por otro grupo cíclico para el mismo primo (impar) tiene la propiedad de que todos sus subgrupos son cuasinormales. Sin embargo, no todos sus subgrupos necesitan ser normales.
Todo subgrupo cuasimetrópico es un subgrupo modular , es decir, un elemento modular en la red de subgrupos . Esto se desprende de la propiedad modular de los grupos . Si todos los subgrupos son cuasimetrópicos, entonces el grupo se denomina grupo de Iwasawa —a veces también llamado grupo modular— , [1] aunque este último término tiene otros significados.
En cualquier grupo, cada subgrupo cuasinormal es ascendente .
Un subgrupo permutable conjugado es aquel que conmuta con todos sus subgrupos conjugados. Todo subgrupo cuasiconjugado es permutable conjugado.
Todo subgrupo cuasinormal de un grupo finito es un subgrupo subnormal . Esto se desprende de la afirmación algo más contundente de que todo subgrupo permutable conjugado es subnormal, lo que a su vez se desprende de la afirmación de que todo subgrupo permutable conjugado máximo es normal. (La finitud se utiliza de forma crucial en las demostraciones).
En resumen, un subgrupo H de un grupo finito G es permutable en G si y sólo si H es a la vez modular y subnormal en G. [1] [2]
La permutabilidad no es una relación transitiva en general. Los grupos en los que la permutabilidad es transitiva se denominan grupos PT, por analogía con los grupos T en los que la normalidad es transitiva. [3]
