Conjunto cuyos elementos pertenecen todos a otro conjunto
En matemáticas, un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si todos los elementos de A son también elementos de B ; B es entonces un superconjunto de A . Es posible que A y B sean iguales; si son desiguales, entonces A es un subconjunto propio de B. La relación de un conjunto con un subconjunto de otro se llama inclusión (o, a veces, contención ). A es un subconjunto de B también puede expresarse como B incluye (o contiene) A o A está incluido (o contenido) en B. Un k -subconjunto es un subconjunto con k elementos.
Si A y B son conjuntos y cada elemento de A es también elemento de B , entonces:
A es un subconjunto de B , denotado por , o equivalentemente,
B es un superconjunto de A , denotado por
Si A es un subconjunto de B , pero A no es igual a B (es decir, existe al menos un elemento de B que no es un elemento de A ), entonces:
A es un subconjunto propio (o estricto ) de B , denotado por , o equivalentemente,
B es un superconjunto propio (o estricto ) de A , denotado por
El conjunto vacío , escrito o es un subconjunto de cualquier conjunto X y un subconjunto propio de cualquier conjunto excepto él mismo, la relación de inclusión es un orden parcial en el conjunto (el conjunto potencia de S —el conjunto de todos los subconjuntos de S [1] ) definido por . También podemos ordenar parcialmente mediante inclusión de conjunto inverso definiendo
Cuando se cuantifica, se representa como [2]
Podemos probar la afirmación aplicando una técnica de prueba conocida como argumento de elemento [3] :
Sean dados los conjuntos A y B. para probar que
supongamos que a es un elemento particular pero elegido arbitrariamente de A
Demuestre que a es un elemento de B.
La validez de esta técnica puede verse como una consecuencia de la generalización universal : la técnica muestra para un elemento elegido arbitrariamente c . La generalización universal implica entonces lo que es equivalente a lo dicho anteriormente.
El conjunto de todos los subconjuntos de se llama conjunto potencia y se denota por . El conjunto de todos los subconjuntos de se denota por , de forma análoga a la notación de coeficientes binomiales , que cuenta el número de subconjuntos de un conjunto de elementos. En la teoría de conjuntos , la notación también es común, especialmente cuando se trata de un número cardinal transfinito .
Propiedades
Un conjunto A es un subconjunto de B si y sólo si su intersección es igual a A.
Formalmente:
Un conjunto A es subconjunto de B si y sólo si su unión es igual a B.
Formalmente:
Un conjunto finito A es un subconjunto de B , si y sólo si la cardinalidad de su intersección es igual a la cardinalidad de A.
Formalmente:
Símbolos ⊂ y ⊃
Algunos autores utilizan los símbolos y para indicar subconjunto y superconjunto respectivamente; es decir, con el mismo significado que y en lugar de los símbolos y [4] Por ejemplo, para estos autores, es cierto para todo conjunto A que (una relación reflexiva ).
Otros autores prefieren utilizar los símbolos e indicar el subconjunto propio (también llamado estricto) y el superconjunto propio respectivamente; es decir, con el mismo significado que y en lugar de los símbolos y [5] Este uso es análogo a los símbolos de desigualdad y. Por ejemplo, si entonces x puede o no ser igual a y , pero si entonces x definitivamente no es igual a y , y es menor que y (una relación irreflexiva ). De manera similar, usando la convención de subconjunto propio, si entonces A puede o no ser igual a B , pero si entonces A definitivamente no es igual a B .
Ejemplos de subconjuntos
El conjunto A = {1, 2} es un subconjunto propio de B = {1, 2, 3}, por lo tanto ambas expresiones y son verdaderas.
El conjunto D = {1, 2, 3} es un subconjunto (pero no un subconjunto propio) de E = {1, 2, 3}, por lo tanto es verdadero y no es verdadero (falso).
Cualquier conjunto es un subconjunto de sí mismo, pero no un subconjunto propiamente dicho. ( es verdadero y falso para cualquier conjunto X).
El conjunto { x : x es un número primo mayor que 10} es un subconjunto propio de { x : x es un número impar mayor que 10}
El conjunto de los números naturales es un subconjunto propio del conjunto de los números racionales ; Asimismo, el conjunto de puntos de un segmento de recta es un subconjunto propio del conjunto de puntos de una recta . Son dos ejemplos en los que tanto el subconjunto como el conjunto total son infinitos, y el subconjunto tiene la misma cardinalidad (el concepto que corresponde al tamaño, es decir, el número de elementos, de un conjunto finito) que el todo; tales casos pueden ir en contra de la intuición inicial.
El conjunto de los números racionales es un subconjunto propio del conjunto de los números reales . En este ejemplo, ambos conjuntos son infinitos, pero el último conjunto tiene una cardinalidad (o potencia ) mayor que el primero.
C es un subconjunto pero no un subconjunto propio de B.
Otras propiedades de inclusión
La inclusión es el orden parcial canónico , en el sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado es isomorfo a alguna colección de conjuntos ordenados por inclusión. Los números ordinales son un ejemplo sencillo: si cada ordinal n se identifica con el conjunto de todos los ordinales menores o iguales que n , entonces si y sólo si
Para el conjunto potencia de un conjunto S , el orden parcial de inclusión es, hasta un isomorfismo de orden , el producto cartesiano de (la cardinalidad de S ) copias del orden parcial para las cuales Esto se puede ilustrar enumerando y asociando con cada subconjunto (es decir, cada elemento de ) la k -tupla cuya i- ésima coordenada es 1 si y sólo si es miembro de T.
Ver también
Subconjunto convexo : en geometría, conjunto cuya intersección con cada línea es un solo segmento de línea.Pages displaying short descriptions of redirect targets
Orden de inclusión : orden parcial que surge como la relación de inclusión de subconjunto en alguna colección de objetos.
Región : subconjunto abierto conectado de un espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets