Filtro Savitzky-Golay

Algoritmo para suavizar puntos de datos

Animación que muestra la aplicación del suavizado, pasando por los datos de izquierda a derecha. La línea roja representa el polinomio local que se utiliza para ajustar un subconjunto de datos. Los valores suavizados se muestran como círculos.

Un filtro Savitzky-Golay es un filtro digital que se puede aplicar a un conjunto de puntos de datos digitales con el fin de suavizar los datos, es decir, aumentar la precisión de los datos sin distorsionar la tendencia de la señal. Esto se logra, en un proceso conocido como convolución , ajustando subconjuntos sucesivos de puntos de datos adyacentes con un polinomio de bajo grado mediante el método de mínimos cuadrados lineales . Cuando los puntos de datos están igualmente espaciados, se puede encontrar una solución analítica a las ecuaciones de mínimos cuadrados, en forma de un único conjunto de "coeficientes de convolución" que se puede aplicar a todos los subconjuntos de datos, para dar estimaciones de los puntos suavizados. señal (o derivadas de la señal suavizada) en el punto central de cada subconjunto. El método, basado en procedimientos matemáticos establecidos, ^{[1] [2]} fue popularizado por Abraham Savitzky y Marcel JE Golay , quienes publicaron tablas de coeficientes de convolución para varios polinomios y tamaños de subconjuntos en 1964. ^{[3] [4]} Algunos errores en las tablas han sido corregidas. ^[5] El método se ha ampliado para el tratamiento de datos bidimensionales y tridimensionales.

El artículo de Savitzky y Golay es uno de los más citados en la revista Analytical Chemistry ^[6] y está clasificado por esa revista como uno de sus "diez artículos seminales", diciendo que "se puede argumentar que los albores de la tecnología analítica controlada por computadora El origen del instrumento se remonta a este artículo". ^[7]

Aplicaciones

Los datos constan de un conjunto de puntos , , donde es una variable independiente y es un valor observado. Se tratan con un conjunto de coeficientes de convolución, según la expresión ${\displaystyle \{x_{j}}$ ${\displaystyle y_{j}\};j=1,...,n}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle C_{i}}$

${\displaystyle Y_{j}=\sum _{i={\tfrac {1-m}{2}}}^{\tfrac {m-1}{2}}C_{i}\,y_{j+i},\qquad {\frac {m+1}{2}}\leq j\leq n-{\frac {m-1}{2}}}$

Los coeficientes de convolución seleccionados se muestran en las tablas siguientes. Por ejemplo, para suavizar mediante un polinomio cuadrático de 5 puntos y el punto de datos suavizado, viene dado por ${\displaystyle m=5,i=-2,-1,0,1,2}$ ${\displaystyle j^{th}}$ ${\displaystyle Y_{j}}$

${\displaystyle Y_{j}={\frac {1}{35}}(-3y_{j-2}+12y_{j-1}+17y_{j}+12y_{j+1}-3y_{j+2})}$,

donde, , etc. Existen numerosas aplicaciones del suavizado, como evitar la propagación del ruido a través de una cadena de algoritmos o, a veces, simplemente hacer que los datos parezcan menos ruidosos de lo que realmente son. ${\displaystyle C_{-2}=-3/35,C_{-1}=12/35}$

Las siguientes son aplicaciones de diferenciación numérica de datos. ^[8] Nota Al calcular la enésima derivada, se puede aplicar un factor de escala adicional a todos los puntos de datos calculados para obtener valores absolutos (consulte las expresiones de , a continuación, para obtener más detalles). ${\displaystyle {\frac {n!}{h^{n}}}}$ ${\displaystyle {\frac {d^{n}Y}{dx^{n}}}}$

1. Ubicación de máximos y mínimos en curvas de datos experimentales. Esta fue la solicitud que motivó por primera vez a Savitzky. ^[4] La primera derivada de una función es cero en su máximo o mínimo. El diagrama muestra puntos de datos que pertenecen a una curva de Lorentz sintética , con ruido añadido (diamantes azules). Los datos se trazan en una escala de media anchura, en relación con el pico máximo en cero. La curva suavizada (línea roja) y la primera derivada (verde) se calcularon con filtros Savitzky-Golay cúbicos de 7 puntos. La interpolación lineal de los valores de la primera derivada en posiciones a ambos lados del cruce por cero da la posición del pico máximo. También se pueden utilizar terceras derivadas para este propósito.
2. Ubicación de un punto final en una curva de titulación . Un punto final es un punto de inflexión donde la segunda derivada de la función es cero. ^[9] La curva de valoración del ácido malónico ilustra el poder del método. El primer punto final en 4 ml es apenas visible, pero la segunda derivada permite determinar fácilmente su valor mediante interpolación lineal para encontrar el cruce por cero.
3. Aplanamiento de la línea base. En química analítica a veces es necesario medir la altura de una banda de absorción frente a una línea de base curva. ^[10] Debido a que la curvatura de la línea de base es mucho menor que la curvatura de la banda de absorción, la segunda derivada efectivamente aplana la línea de base. Tres medidas de la altura derivada, que es proporcional a la altura de la banda de absorción, son las distancias "pico-valle" h1 y h2, y la altura desde la línea de base, h3. ^[11]
4. Mejora de la resolución en espectroscopia. Las bandas de la segunda derivada de una curva espectroscópica son más estrechas que las bandas del espectro: tienen un ancho medio reducido . Esto permite "resolver" bandas parcialmente superpuestas en picos separados (negativos). ^[12] El diagrama ilustra cómo esto se puede utilizar también para análisis químicos , utilizando la medición de distancias "pico-valle". En este caso los valles son propiedad de la segunda derivada de un Lorentziano. ( La posición del eje x es relativa a la posición del pico máximo en una escala de mitad de ancho a mitad de altura ).
5. Mejora de la resolución con cuarta derivada (picos positivos). Los mínimos son una propiedad de la cuarta derivada de un Lorentziano.

Media móvil

El "filtro de media móvil" es un ejemplo trivial de un filtro Savitzky-Golay que se utiliza comúnmente con datos de series temporales para suavizar las fluctuaciones a corto plazo y resaltar tendencias o ciclos a largo plazo. Cada subconjunto del conjunto de datos se ajusta con una línea recta horizontal en lugar de un polinomio de orden superior. Un filtro de media móvil no ponderada es el filtro de convolución más simple.

La media móvil se utiliza a menudo para un análisis técnico rápido de datos financieros, como precios de acciones, rentabilidades o volúmenes de negociación. También se utiliza en economía para examinar el producto interno bruto, el empleo u otras series de tiempo macroeconómicas.

No se incluyó en algunas tablas de coeficientes de convolución de Savitzky-Golay ya que todos los valores de los coeficientes son idénticos, con el valor . ${\displaystyle {\frac {1}{m}}}$

Derivación de coeficientes de convolución.

Cuando los puntos de datos están igualmente espaciados, se puede encontrar una solución analítica a las ecuaciones de mínimos cuadrados. ^[2] Esta solución forma la base del método de convolución de suavizado y diferenciación numérica. Supongamos que los datos constan de un conjunto de n puntos ( x _j , y _j ) ( j = 1, ..., n ), donde x _j es una variable independiente y y _j es un valor de referencia. Un polinomio se ajustará mediante mínimos cuadrados lineales a un conjunto de m (un número impar) puntos de datos adyacentes, cada uno de ellos separado por un intervalo h . En primer lugar se realiza un cambio de variable.

${\displaystyle z={{x-{\bar {x}}} \over h}}$

¿Dónde está el valor del punto central? z toma los valores (por ejemplo, m = 5 → z = −2, −1, 0, 1, 2). ^{[nota 1]} El polinomio, de grado k , se define como ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1-m}{2}},\cdots ,0,\cdots ,{\tfrac {m-1}{2}}}$

${\displaystyle Y=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}\cdots +a_{k}z^{k}.}$^{[nota 2]}

Los coeficientes a ₀ , a ₁ , etc. se obtienen resolviendo las ecuaciones normales ( a en negrita representa un vector , J en negrita representa una matriz ).

${\displaystyle {\mathbf {a} }=\left({{\mathbf {J} }^{\mathbf {T} }{\mathbf {J} }}\right)^{-{\mathbf {1} }}{\mathbf {J} }^{\mathbf {T} }{\mathbf {y} },}$

donde hay una matriz de Vandermonde , es decir, la fila -ésima de valores . ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle 1,z_{i},z_{i}^{2},\dots }$

Por ejemplo, para un polinomio cúbico ajustado a 5 puntos, z = −2, −1, 0, 1, 2, las ecuaciones normales se resuelven de la siguiente manera.

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}1&-2&4&-8\\1&-1&1&-1\\1&0&0&0\\1&1&1&1\\1&2&4&8\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {J^{T}J} ={\begin{pmatrix}m&\sum z&\sum z^{2}&\sum z^{3}\\\sum z&\sum z^{2}&\sum z^{3}&\sum z^{4}\\\sum z^{2}&\sum z^{3}&\sum z^{4}&\sum z^{5}\\\sum z^{3}&\sum z^{4}&\sum z^{5}&\sum z^{6}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}m&0&\sum z^{2}&0\\0&\sum z^{2}&0&\sum z^{4}\\\sum z^{2}&0&\sum z^{4}&0\\0&\sum z^{4}&0&\sum z^{6}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&0&10&0\\0&10&0&34\\10&0&34&0\\0&34&0&130\\\end{pmatrix}}}$

Ahora, las ecuaciones normales se pueden factorizar en dos conjuntos separados de ecuaciones, reorganizando filas y columnas, con

${\displaystyle \mathbf {J^{T}J} _{\text{even}}={\begin{pmatrix}5&10\\10&34\\\end{pmatrix}}\quad \mathrm {and} \quad \mathbf {J^{T}J} _{\text{odd}}={\begin{pmatrix}10&34\\34&130\\\end{pmatrix}}}$

Las expresiones para la inversa de cada una de estas matrices se pueden obtener usando la regla de Cramer.

${\displaystyle (\mathbf {J^{T}J} )_{\text{even}}^{-1}={1 \over 70}{\begin{pmatrix}34&-10\\-10&5\\\end{pmatrix}}\quad \mathrm {and} \quad (\mathbf {J^{T}J} )_{\text{odd}}^{-1}={1 \over 144}{\begin{pmatrix}130&-34\\-34&10\\\end{pmatrix}}}$

Las ecuaciones normales se convierten en

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{a_{0}}\\{a_{2}}\\\end{pmatrix}}_{j}={1 \over 70}{\begin{pmatrix}34&-10\\-10&5\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\4&1&0&1&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{j-2}\\y_{j-1}\\y_{j}\\y_{j+1}\\y_{j+2}\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{3}\\\end{pmatrix}}_{j}={1 \over 144}{\begin{pmatrix}130&-34\\-34&10\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2&-1&0&1&2\\-8&-1&0&1&8\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{j-2}\\y_{j-1}\\y_{j}\\y_{j+1}\\y_{j+2}\\\end{pmatrix}}}$

Multiplicar y eliminar factores comunes.

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0,j}&={1 \over 35}(-3y_{j-2}+12y_{j-1}+17y_{j}+12y_{j+1}-3y_{j+2})\\a_{1,j}&={1 \over 12}(y_{j-2}-8y_{j-1}+8y_{j+1}-y_{j+2})\\a_{2,j}&={1 \over 14}(2y_{j-2}-y_{j-1}-2y_{j}-y_{j+1}+2y_{j+2})\\a_{3,j}&={1 \over 12}(-y_{j-2}+2y_{j-1}-2y_{j+1}+y_{j+2})\end{aligned}}}$

Los coeficientes de y en estas expresiones se conocen como coeficientes de convolución . Son elementos de la matriz.

${\displaystyle \mathbf {C=(J^{T}J)^{-1}J^{T}} }$

En general,

${\displaystyle (C\otimes y)_{j}\ =Y_{j}=\sum _{i=-{\tfrac {m-1}{2}}}^{\tfrac {m-1}{2}}C_{i}\,y_{j+i},\qquad {\frac {m+1}{2}}\leq j\leq n-{\frac {m-1}{2}}}$

En notación matricial, este ejemplo se escribe como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}Y_{3}\\Y_{4}\\Y_{5}\\\vdots \end{pmatrix}}={1 \over 35}{\begin{pmatrix}-3&12&17&12&-3&0&0&\cdots \\0&-3&12&17&12&-3&0&\cdots \\0&0&-3&12&17&12&-3&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\\y_{5}\\y_{6}\\y_{7}\\\vdots \end{pmatrix}}}$

En 1964 se publicaron tablas de coeficientes de convolución, calculados de la misma manera para m hasta 25, para el filtro de suavizado Savitzky-Golay, ^{[3] [5]} El valor del punto central, z = 0, se obtiene a partir de un único conjunto de coeficientes, un ₀ para suavizar, un ₁ para la primera derivada , etc. Las derivadas numéricas se obtienen diferenciando Y. Esto significa que las derivadas se calculan para la curva de datos suavizada . Para un polinomio cúbico

${\displaystyle {\begin{aligned}Y&=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}=a_{0}&{\text{ at }}z=0,x={\bar {x}}\\{\frac {dY}{dx}}&={\frac {1}{h}}\left({a_{1}+2a_{2}z+3a_{3}z^{2}}\right)={\frac {1}{h}}a_{1}&{\text{ at }}z=0,x={\bar {x}}\\{\frac {d^{2}Y}{dx^{2}}}&={\frac {1}{h^{2}}}\left({2a_{2}+6a_{3}z}\right)={\frac {2}{h^{2}}}a_{2}&{\text{ at }}z=0,x={\bar {x}}\\{\frac {d^{3}Y}{dx^{3}}}&={\frac {6}{h^{3}}}a_{3}\end{aligned}}}$

En general, los polinomios de grado (0 y 1), ^{[nota 3]} (2 y 3), (4 y 5), etc. dan los mismos coeficientes para suavizado e incluso derivadas. Los polinomios de grado (1 y 2), (3 y 4), etc. dan los mismos coeficientes para derivadas impares.

Expresiones algebraicas

No es necesario utilizar siempre las tablas de Savitzky-Golay. Las sumatorias en la matriz J ^T J se pueden evaluar en forma cerrada ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{z=-{\frac {m-1}{2}}}^{\frac {m-1}{2}}z^{2}&={m(m^{2}-1) \over 12}\\\sum z^{4}&={m(m^{2}-1)(3m^{2}-7) \over 240}\\\sum z^{6}&={m(m^{2}-1)(3m^{4}-18m^{2}+31) \over 1344}\end{aligned}}}$

de modo que se puedan derivar fórmulas algebraicas para los coeficientes de convolución. ^{[13] [nota 4]} Las funciones que son adecuadas para usar con una curva que tiene un punto de inflexión son:

Suavizado, grado polinómico 2,3: (el rango de valores para i también se aplica a las expresiones siguientes) ${\displaystyle C_{0i}={\frac {\left({3m^{2}-7-20i^{2}}\right)/4}{m\left({m^{2}-4}\right)/3}};\quad {\frac {1-m}{2}}\leq i\leq {\frac {m-1}{2}}}$

1ª derivada: polinomio grado 3,4 ${\displaystyle C_{1i}={\frac {5\left({3m^{4}-18m^{2}+31}\right)i-28\left({3m^{2}-7}\right)i^{3}}{m\left({m^{2}-1}\right)\left({3m^{4}-39m^{2}+108}\right)/15}}}$

2da derivada: polinomio grado 2,3 ${\displaystyle C_{2i}={\frac {12mi^{2}-m\left({m^{2}-1}\right)}{m^{2}\left({m^{2}-1}\right)\left({m^{2}-4}\right)/30}}}$

Tercera derivada: polinomio grado 3,4 ${\displaystyle C_{3i}={\frac {-\left({3m^{2}-7}\right)i+20i^{3}}{m\left({m^{2}-1}\right)\left({3m^{4}-39m^{2}+108}\right)/420}}}$

Las expresiones más simples que se pueden usar con curvas que no tienen un punto de inflexión son:

Suavizado, grado polinómico 0,1 (media móvil): ${\displaystyle C_{0i}={\frac {1}{m}}}$

1ª derivada, polinomio de grado 1,2: ${\displaystyle C_{1i}={\frac {i}{m(m^{2}-1)/12}}}$

Se pueden obtener derivados superiores. Por ejemplo, se puede obtener una cuarta derivada realizando dos pasadas de una función de segunda derivada. ^[14]

Uso de polinomios ortogonales

Una alternativa para ajustar m puntos de datos mediante un polinomio simple en la variable subsidiaria, z , es utilizar polinomios ortogonales .

${\displaystyle Y=b_{0}P^{0}(z)+b_{1}P^{1}(z)\cdots +b_{k}P^{k}(z).}$

donde P ⁰ , ...,  P ^k es un conjunto de polinomios mutuamente ortogonales de grado 0, ...,  k . Guest proporciona todos los detalles sobre cómo obtener expresiones para los polinomios ortogonales y la relación entre los coeficientes b y a ^{. [2]} Las expresiones para los coeficientes de convolución se obtienen fácilmente porque la matriz de ecuaciones normales, J ^T J , es una matriz diagonal ya que el producto de dos polinomios ortogonales cualesquiera es cero en virtud de su ortogonalidad mutua. Por lo tanto, cada elemento distinto de cero de su inversa es simplemente el recíproco del elemento correspondiente en la matriz de la ecuación normal. El cálculo se simplifica aún más mediante el uso de recursividad para construir polinomios de Gram ortogonales . Todo el cálculo se puede codificar en unas pocas líneas de PASCAL , un lenguaje informático bien adaptado para cálculos que implican recursividad. ^[15]

Tratamiento del primer y último punto.

Los filtros Savitzky-Golay se utilizan con mayor frecuencia para obtener el valor suavizado o derivado en el punto central, z = 0, utilizando un único conjunto de coeficientes de convolución. ( m  − 1)/2 puntos al inicio y al final de la serie no se pueden calcular mediante este proceso. Se pueden emplear varias estrategias para evitar este inconveniente.

• Los datos podrían ampliarse artificialmente agregando, en orden inverso, copias de los primeros ( m  − 1)/2 puntos al principio y copias de los últimos ( m  − 1)/2 puntos al final. Por ejemplo, con m  = 5, se agregan dos puntos al inicio y al final de los datos y ₁ , ..., y _n .

y ₃ , y ₂ , y ₁ , ... , y _norte , y _{norte −1} , y _{norte −2} .

• Mirando nuevamente el polinomio de ajuste, es obvio que se pueden calcular datos para todos los valores de z usando todos los conjuntos de coeficientes de convolución para un solo polinomio, a ₀ .. a _k .

Para un polinomio cúbico

${\displaystyle {\begin{aligned}Y&=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}\\{\frac {dY}{dx}}&={\frac {1}{h}}(a_{1}+2a_{2}z+3a_{3}z^{2})\\{\frac {d^{2}Y}{dx^{2}}}&={\frac {1}{h^{2}}}(2a_{2}+6a_{3}z)\\{\frac {d^{3}Y}{dx^{3}}}&={\frac {6}{h^{3}}}a_{3}\end{aligned}}}$

• También se pueden obtener fácilmente los coeficientes de convolución para el primer y último punto faltantes. ^[15] Esto también equivale a ajustar los primeros ( m  + 1)/2 puntos con el mismo polinomio, y de manera similar para los últimos puntos.

Ponderando los datos

Está implícito en el tratamiento anterior que todos los puntos de datos reciben el mismo peso. Técnicamente, la función objetivo

${\displaystyle U=\sum _{i}w_{i}(Y_{i}-y_{i})^{2}}$

minimizado en el proceso de mínimos cuadrados tiene pesos unitarios, w _i  = 1. Cuando los pesos no son todos iguales, las ecuaciones normales se convierten en

${\displaystyle \mathbf {a} =\left(\mathbf {J^{T}W} \mathbf {J} \right)^{-1}\mathbf {J^{T}W} \mathbf {y} \qquad W_{i,i}\neq 1}$,

Si se utiliza el mismo conjunto de pesos diagonales para todos los subconjuntos de datos, se puede escribir una solución analítica a las ecuaciones normales. Por ejemplo, con un polinomio cuadrático, ${\displaystyle W={\text{diag}}(w_{1},w_{2},...,w_{m})}$

${\displaystyle \mathbf {J^{T}WJ} ={\begin{pmatrix}\sum w_{i}~~~&\sum w_{i}z_{i}&\sum w_{i}z_{i}^{2}\\\sum w_{i}z_{i}&\sum w_{i}z_{i}^{2}&\sum w_{i}z_{i}^{3}\\\sum w_{i}z_{i}^{2}&\sum w_{i}z_{i}^{3}&\sum w_{i}z_{i}^{4}\end{pmatrix}}}$

Se puede obtener una expresión explícita para la inversa de esta matriz utilizando la regla de Cramer . Luego se puede derivar un conjunto de coeficientes de convolución como

${\displaystyle \mathbf {C} =\left(\mathbf {J^{T}W} \mathbf {J} \right)^{-1}\mathbf {J^{T}W} .}$

Alternativamente, los coeficientes, C , podrían calcularse en una hoja de cálculo, empleando una rutina de inversión de matrices incorporada para obtener la inversa de la matriz de ecuaciones normales. Este conjunto de coeficientes, una vez calculado y almacenado, se puede utilizar con todos los cálculos en los que se aplique el mismo esquema de ponderación. Se necesita un conjunto diferente de coeficientes para cada esquema de ponderación diferente.

Se demostró que el filtro Savitzky-Golay se puede mejorar introduciendo pesos que disminuyen en los extremos del intervalo de ajuste. ^[dieciséis]

Coeficientes de convolución bidimensionales

El suavizado y la diferenciación bidimensionales también se pueden aplicar a tablas de valores de datos, como valores de intensidad en una imagen fotográfica que se compone de una cuadrícula rectangular de píxeles. ^{[17] [18]} Dicha cuadrícula se denomina núcleo, y los puntos de datos que constituyen el núcleo se denominan nodos. El truco consiste en transformar el núcleo rectangular en una sola fila mediante una simple ordenación de los índices de los nodos. Mientras que los coeficientes de filtro unidimensionales se encuentran ajustando un polinomio en la variable subsidiaria z a un conjunto de m puntos de datos, los coeficientes bidimensionales se encuentran ajustando un polinomio en las variables subsidiarias v y w a un conjunto de valores en los m × n nodos del kernel. El siguiente ejemplo, para un polinomio bivariado de grado total 3, m = 7 y n = 5, ilustra el proceso, que es paralelo al proceso del caso unidimensional anterior. ^[19]

${\displaystyle v={\frac {x-{\bar {x}}}{h(x)}};w={\frac {y-{\bar {y}}}{h(y)}}}$

${\displaystyle Y=a_{00}+a_{10}v+a_{01}w+a_{20}v^{2}+a_{11}vw+a_{02}w^{2}+a_{30}v^{3}+a_{21}v^{2}w+a_{12}vw^{2}+a_{03}w^{3}}$

El núcleo rectangular de 35 valores de datos, d ₁  −  d ₃₅

se convierte en un vector cuando las filas se colocan una tras otra.

re = ( re ₁ ... re ₃₅ ) ^T

El jacobiano tiene 10 columnas, una para cada uno de los parámetros a ₀₀  −  a ₀₃ , y 35 filas, una para cada par de valores v y w . Cada fila tiene la forma

${\displaystyle J_{\text{row}}=1\quad v\quad w\quad v^{2}\quad vw\quad w^{2}\quad v^{3}\quad v^{2}w\quad vw^{2}\quad w^{3}}$

Los coeficientes de convolución se calculan como

${\displaystyle \mathbf {C} =\left(\mathbf {J} ^{T}\mathbf {J} \right)^{-1}\mathbf {J} ^{T}}$

La primera fila de C contiene 35 coeficientes de convolución, que se pueden multiplicar con los 35 valores de datos, respectivamente, para obtener el coeficiente polinómico , que es el valor suavizado en el nodo central del núcleo (es decir, en el nodo 18 de la tabla anterior). ). De manera similar, otras filas de C se pueden multiplicar con los 35 valores para obtener otros coeficientes polinomiales, que, a su vez, se pueden usar para obtener valores suavizados y diferentes derivadas parciales suavizadas en diferentes nodos. ${\displaystyle a_{00}}$

Nikitas y Pappa-Louisi demostraron que dependiendo del formato del polinomio utilizado, la calidad del suavizado puede variar significativamente. ^[20] Recomiendan utilizar el polinomio de la forma

${\displaystyle Y=\sum _{i=0}^{p}\sum _{j=0}^{q}a_{ij}v^{i}w^{j}}$

porque dichos polinomios pueden lograr un buen suavizado tanto en las regiones centrales como en las cercanas al límite de un núcleo y, por lo tanto, pueden usarse con confianza para suavizar tanto en los puntos de datos internos como en los cercanos al límite de un dominio muestreado. Para evitar un mal condicionamiento al resolver el problema de mínimos cuadrados, p < m y q < n . Para obtener software que calcule los coeficientes bidimensionales y una base de datos de dichos C , consulte la sección sobre coeficientes de convolución multidimensionales, a continuación.

Coeficientes de convolución multidimensionales

La idea de coeficientes de convolución bidimensionales también se puede extender a dimensiones espaciales superiores, de manera sencilla, ^{[17] [21]} organizando la distribución multidimensional de los nodos del núcleo en una sola fila. Siguiendo el hallazgo antes mencionado de Nikitas y Pappa-Louisi ^[20] en casos bidimensionales, se recomienda el uso de la siguiente forma del polinomio en casos multidimensionales:

${\displaystyle Y=\sum _{i_{1}=0}^{p_{1}}\sum _{i_{2}=0}^{p_{2}}\cdots \sum _{i_{D}=0}^{p_{D}}(a_{i_{1}i_{2}\cdots i_{D}}\times u_{1}^{i_{1}}u_{2}^{i_{2}}\cdots u_{D}^{i_{D}})}$

donde D es la dimensión del espacio, 's son los coeficientes polinomiales y u son las coordenadas en las diferentes direcciones espaciales. Las expresiones algebraicas para derivadas parciales de cualquier orden, ya sean mixtas o no, se pueden derivar fácilmente de la expresión anterior. ^[21] Tenga en cuenta que C depende de la manera en que se organizan los nodos del núcleo en una fila y de la manera en que se organizan los diferentes términos de la forma expandida del polinomio anterior, al preparar el jacobiano. ${\displaystyle a}$

El cálculo preciso de C en casos multidimensionales se vuelve un desafío, ya que la precisión de los números de coma flotante estándar disponibles en los lenguajes de programación de computadoras ya no sigue siendo suficiente. La precisión insuficiente hace que los errores de truncamiento en coma flotante se vuelvan comparables a las magnitudes de algunos elementos C , lo que, a su vez, degrada gravemente su precisión y lo vuelve inútil. Chandra Shekhar ha presentado dos softwares de código abierto , la Calculadora avanzada de coeficiente de convolución (ACCC) y la Calculadora precisa de coeficiente de convolución (PCCC), que manejan estos problemas de precisión de manera adecuada. ACCC realiza el cálculo utilizando números de punto flotante, de forma iterativa. ^[22] La precisión de los números de punto flotante aumenta gradualmente en cada iteración, utilizando GNU MPFR . Una vez que las C obtenidas en dos iteraciones consecutivas comienzan a tener los mismos dígitos significativos hasta una distancia preespecificada, se supone que se ha alcanzado la convergencia. Si la distancia es suficientemente grande, el cálculo produce una C muy precisa . PCCC emplea cálculos de números racionales mediante la biblioteca aritmética de precisión múltiple GNU y produce una C totalmente precisa , en formato de número racional . ^[23] Al final, estos números racionales se convierten en números de coma flotante, hasta un número preespecificado de dígitos significativos.

Está disponible una base de datos de C que se calculan utilizando ACCC, para núcleos simétricos y polinomios tanto simétricos como asimétricos, en nodos del núcleo espaciados unitariamente, en los espacios de 1, 2, 3 y 4 dimensiones. ^[24] Chandra Shekhar también ha presentado un marco matemático que describe el uso de C calculado en nodos del kernel espaciados unitariamente para realizar filtrado y diferenciaciones parciales (de varios órdenes) en nodos del kernel espaciados de manera no uniforme, ^[21] permitiendo el uso de C. proporcionados en la base de datos antes mencionada. Aunque este método produce sólo resultados aproximados, son aceptables en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería, siempre que la falta de uniformidad de los nodos del núcleo sea débil.

Algunas propiedades de la convolución

1. La suma de los coeficientes de convolución para el suavizado es igual a uno. La suma de los coeficientes de las derivadas impares es cero. ^[25]
2. La suma de los coeficientes de convolución al cuadrado para el suavizado es igual al valor del coeficiente central. ^[26]
3. El suavizado de una función deja el área bajo la función sin cambios. ^[25]
4. La convolución de una función simétrica con coeficientes de derivada par conserva el centro de simetría. ^[25]
5. Propiedades de los filtros derivados. ^[27]

Distorsión de señal y reducción de ruido.

Es inevitable que la señal se distorsione en el proceso de convolución. Según la propiedad 3 anterior, cuando los datos que tienen un pico se suavizan, la altura del pico se reducirá y la mitad del ancho aumentará. Tanto el alcance de la distorsión como la mejora de la relación señal-ruido (S/N ):

• disminuye a medida que aumenta el grado del polinomio
• aumenta a medida que aumenta el ancho, m de la función de convolución

Efecto del suavizado en puntos de datos con ruido no correlacionado de desviación estándar unitaria

Por ejemplo, si el ruido en todos los puntos de datos no está correlacionado y tiene una desviación estándar constante , σ , la desviación estándar del ruido se reducirá mediante convolución con una función de suavizado de m puntos para ^{[26] [nota 5]}

grado polinómico 0 o 1: ( media móvil ) ${\displaystyle {\sqrt {1 \over m}}\sigma }$

polinomio de grado 2 o 3: . ${\displaystyle {\sqrt {\frac {3(3m^{2}-7)}{4m(m^{2}-4)}}}\sigma }$

Estas funciones se muestran en el gráfico de la derecha. Por ejemplo, con una función lineal de 9 puntos (media móvil) se eliminan dos tercios del ruido y con una función de suavizado cuadrático/cúbico de 9 puntos sólo se elimina aproximadamente la mitad del ruido. La mayor parte del ruido restante es ruido de baja frecuencia (consulte Características de frecuencia de los filtros de convolución , más abajo).

Aunque la función de media móvil ofrece una mejor reducción de ruido, no es adecuada para suavizar datos que tienen curvatura en m puntos. Una función de filtro cuadrático no es adecuada para obtener una derivada de una curva de datos con un punto de inflexión porque un polinomio cuadrático no lo tiene. La elección óptima del orden polinomial y el número de coeficientes de convolución será un compromiso entre reducción de ruido y distorsión. ^[28]

Filtros multipaso

Una forma de mitigar la distorsión y mejorar la eliminación de ruido es utilizar un filtro de menor ancho y realizar más de una convolución con él. Para dos pasadas del mismo filtro esto equivale a una pasada de un filtro obtenido por convolución del filtro original consigo mismo. ^[29] Por ejemplo, 2 pasadas del filtro con coeficientes (1/3, 1/3, 1/3) equivalen a 1 pasada del filtro con coeficientes (1/9, 2/9, 3/9, 2 /9, 1/9).

La desventaja del paso múltiple es que el ancho de filtro equivalente para los pasos de una función de punto es, por lo que el paso múltiple está sujeto a mayores efectos finales. Sin embargo, el multipassing se ha utilizado con gran ventaja. Por ejemplo, entre 40 y 80 transferencias de datos con una relación señal-ruido de sólo 5 dieron resultados útiles. ^[30] Las fórmulas de reducción de ruido proporcionadas anteriormente no se aplican porque la correlación entre los puntos de datos calculados aumenta con cada pasada. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n(m-1)+1}$

Características de frecuencia de los filtros de convolución.

Transformada de Fourier de la función de suavizado cuadrático/cúbico de 9 puntos

Mapas de convolución para multiplicación en el codominio de Fourier . La transformada discreta de Fourier de un filtro de convolución es una función de valor real que se puede representar como

${\displaystyle FT(\theta )=\sum _{j={\tfrac {1-m}{2}}}^{\tfrac {m-1}{2}}C_{j}\cos(j\theta )}$

θ va de 0 a 180 grados , después de lo cual la función simplemente se repite. La gráfica de una función de suavizado cuadrática/cúbica de 9 puntos es típica. En un ángulo muy bajo, el gráfico es casi plano, lo que significa que los componentes de baja frecuencia de los datos prácticamente no cambiarán durante la operación de suavizado. A medida que aumenta el ángulo, el valor disminuye, de modo que los componentes de frecuencia más alta se atenúan cada vez más. Esto muestra que el filtro de convolución puede describirse como un filtro de paso bajo : el ruido que se elimina es principalmente ruido de alta frecuencia y el ruido de baja frecuencia pasa a través del filtro. ^[31] Algunos componentes del ruido de alta frecuencia se atenúan más que otros, como lo muestran las ondulaciones en la transformada de Fourier en ángulos grandes. Esto puede dar lugar a pequeñas oscilaciones en los datos suavizados ^[32] y a inversión de fase, es decir, las oscilaciones de alta frecuencia en los datos se invierten mediante el filtrado de Savitzky-Golay. ^[33]

Convolución y correlación

La convolución afecta la correlación entre errores en los datos. El efecto de la convolución se puede expresar como una transformación lineal.

${\displaystyle Y_{j}\ =\sum _{i=-{\frac {m-1}{2}}}^{\frac {m-1}{2}}C_{i}\,y_{j+i}}$

Por la ley de propagación del error , la matriz de varianza-covarianza de los datos, A , se transformará en B de acuerdo con

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} \mathbf {A} \mathbf {C} ^{T}}$

Para ver cómo se aplica esto en la práctica, considere el efecto de un promedio móvil de 3 puntos en los primeros tres puntos calculados, Y ₂  −  Y ₄ , suponiendo que los puntos de datos tienen la misma varianza y que no hay correlación entre ellos. A será una matriz identidad multiplicada por una constante, σ ² , la varianza en cada punto.

${\displaystyle \mathbf {B} ={\sigma ^{2} \over 9}{\begin{pmatrix}1&1&1&0&0\\0&1&1&1&0\\0&0&1&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}={\sigma ^{2} \over 9}{\begin{pmatrix}3&2&1\\2&3&2\\1&2&3\end{pmatrix}}}$

En este caso los coeficientes de correlación ,

${\displaystyle \rho _{ij}={\frac {B_{ij}}{\sqrt {B_{ii}B_{jj}}}},\ (i\neq j)}$

entre los puntos calculados i y j será

${\displaystyle \rho _{i,i+1}={2 \over 3}=0.66,\,\rho _{i,i+2}={1 \over 3}=0.33}$

En general, los valores calculados están correlacionados incluso cuando los valores observados no están correlacionados. La correlación se extiende sobre m  − 1 puntos calculados a la vez. ^[34]

Filtros multipaso

Para ilustrar el efecto del paso múltiple sobre el ruido y la correlación de un conjunto de datos, considere los efectos de un segundo paso de un filtro de media móvil de 3 puntos. Para el segundo pase ^{[nota 6]}

${\displaystyle \mathbf {CBC^{T}} ={\sigma ^{2} \over 81}{\begin{pmatrix}1&1&1&0&0\\0&1&1&1&0\\0&0&1&1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&2&1&0&0\\2&3&2&0&0\\1&2&3&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}={\sigma ^{2} \over 81}{\begin{pmatrix}19&16&10&4&1\\16&19&16&10&4\\10&16&19&16&10\\4&10&16&19&16\\1&4&10&16&19\end{pmatrix}}}$

Después de dos pasadas, la desviación estándar del punto central ha disminuido a , en comparación con 0,58 σ para una pasada. La reducción de ruido es un poco menor que la que se obtendría con una pasada de una media móvil de 5 puntos que, en las mismas condiciones, daría como resultado que los puntos suavizados tuvieran una desviación estándar más pequeña de 0,45 σ . ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {19}{81}}}\sigma =0.48\sigma }$

La correlación ahora se extiende a lo largo de 4 puntos secuenciales con coeficientes de correlación

${\displaystyle \rho _{i,i+1}={16 \over 19}=0.84,\rho _{i,i+2}={10 \over 19}=0.53,\rho _{i,i+3}={4 \over 19}=0.21,\rho _{i,i+4}={1 \over 19}=0.05}$

La ventaja que se obtiene al realizar dos pasadas con la función de suavizado más estrecha es que introduce menos distorsión en los datos calculados.

Comparación con otros filtros y alternativas

En comparación con otros filtros de suavizado, por ejemplo, convolución con filtrado gaussiano o de media móvil de múltiples pasos , los filtros Savitzky-Golay tienen una respuesta inicialmente más plana y un corte más agudo en el dominio de la frecuencia, especialmente para órdenes altos del polinomio de ajuste (consulte las características de frecuencia). . Para datos con ancho de banda de señal limitado , esto significa que el filtrado Savitzky-Golay puede proporcionar una mejor relación señal-ruido que muchos otros filtros; por ejemplo, las alturas de los picos de los espectros se conservan mejor que con otros filtros con supresión de ruido similar. Las desventajas de los filtros Savitzky-Golay son una supresión comparativamente deficiente de algunas frecuencias altas (supresión deficiente de la banda de parada ) y artefactos al usar ajustes polinomiales para el primer y último punto. ^[dieciséis]

Los métodos de suavizado alternativos que comparten las ventajas de los filtros Savitzky-Golay y mitigan al menos algunas de sus desventajas son los filtros Savitzky-Golay con pesos de ajuste elegidos adecuadamente, el suavizado Whittaker-Henderson (un método estrechamente relacionado con el suavizado de splines ) y la convolución con una ventana. función sinc . ^[dieciséis]

Ver también

• Kernel más fluido : terminología diferente para muchos de los mismos procesos, utilizados en estadísticas
• Regresión local : los métodos LOESS y LOWESS
• Diferenciación numérica - Aplicación a la diferenciación de funciones
• Spline suavizado
• Plantilla (análisis numérico) – Aplicación a la solución de ecuaciones diferenciales

Apéndice

Tablas de coeficientes de convolución seleccionados.

Considere un conjunto de puntos de datos . Las tablas de Savitzky-Golay se refieren al caso de que el paso sea constante, h . Ejemplos del uso de los llamados coeficientes de convolución, con un polinomio cúbico y un tamaño de ventana, m , de 5 puntos son los siguientes. ${\displaystyle (x_{j},y_{j})_{1\leq j\leq n}}$ ${\displaystyle x_{j}-x_{j-1}}$

Suavizado

${\displaystyle Y_{j}={\frac {1}{35}}(-3\times y_{j-2}+12\times y_{j-1}+17\times y_{j}+12\times y_{j+1}-3\times y_{j+2})}$ ;

1ra derivada

${\displaystyle Y'_{j}={\frac {1}{12h}}(1\times y_{j-2}-8\times y_{j-1}+0\times y_{j}+8\times y_{j+1}-1\times y_{j+2})}$ ;

2da derivada

${\displaystyle Y''_{j}={\frac {1}{7h^{2}}}(2\times y_{j-2}-1\times y_{j-1}-2\times y_{j}-1\times y_{j+1}+2\times y_{j+2})}$.

Los valores seleccionados de los coeficientes de convolución para polinomios de grado 1, 2, 3, 4 y 5 se dan en las siguientes tablas ^{[nota 7].} Los valores se calcularon utilizando el código PASCAL proporcionado en Gorry. ^[15]

Notas

1. Con valores pares de m , z irá desde 1 −  m hasta m  − 1 en pasos de 2
2. media móvil simple es un caso especial con k = 0, Y = a ₀ . En este caso todos los coeficientes de convolución son iguales a 1/ m .
3. El suavizado utilizando la media móvil es equivalente, con puntos igualmente espaciados, al ajuste local con una línea recta (inclinada)
4. Las expresiones dadas aquí son diferentes de las de Madden, que se dan en términos de la variable m' = (m − 1)/2.
5. Las expresiones bajo el signo de la raíz cuadrada son las mismas que la expresión del coeficiente de convolución con z=0
6. El mismo resultado se obtiene con una pasada del filtro equivalente con coeficientes (1/9, 2/9, 3/9, 2/9, 1/9) y una matriz de varianza-covarianza de identidad.
7. Savitzky y Golay proporcionaron originalmente tablas más extensas y el método para calcular coeficientes adicionales. ^[3]

Referencias

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• Gans, Peter (1992). Ajuste de datos en las ciencias químicas: Por el método de mínimos cuadrados. ISBN 9780471934127.

enlaces externos

• Calculadora avanzada de coeficiente de convolución (ACCC) para filtros de mínimos cuadrados multidimensionales
• Filtro Savitzky-Golay en Fundamentos de estadística
• Una gama más amplia de coeficientes para una variedad de tamaños de conjuntos de datos, órdenes de ajuste y compensaciones desde el punto central