Proceso de nacimiento y muerte

Tipo especial de proceso de Markov de tiempo continuo

El proceso nacimiento-muerte (o proceso nacimiento-muerte ) es un caso especial de proceso de Markov de tiempo continuo donde las transiciones de estado son de solo dos tipos: "nacimientos", que aumentan la variable de estado en uno y "muertes", que disminuyen el estado en uno. Fue introducido por William Feller . ^[1] El nombre del modelo proviene de una aplicación común, el uso de tales modelos para representar el tamaño actual de una población donde las transiciones son nacimientos y muertes literales. Los procesos nacimiento-muerte tienen muchas aplicaciones en demografía , teoría de colas , ingeniería del rendimiento , epidemiología , biología y otras áreas. Pueden usarse, por ejemplo, para estudiar la evolución de las bacterias , el número de personas con una enfermedad dentro de una población o el número de clientes en la fila del supermercado.

Definición

Cuando se produce un nacimiento, el proceso pasa del estado n al estado n  + 1. Cuando se produce una muerte, el proceso pasa del estado n al estado  n  − 1. El proceso se especifica mediante tasas de natalidad positivas y tasas de mortalidad positivas . El número de individuos en el proceso en un momento dado se denota por . El proceso tiene la propiedad de Markov y describe cómo cambia a través del tiempo. Para valores pequeños , se supone que la función satisface las siguientes propiedades: ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}_{i=0\dots \infty }}$ ${\displaystyle \{\mu _{i}\}_{i=1\dots \infty }}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle P_{i,j}(t)={\mathsf {P}}\{X(t+s)=j|X(s)=i\}}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle \triangle t>0}$ ${\displaystyle P_{i,j}(\triangle t)}$

${\displaystyle P_{i,i+1}(\triangle t)=\lambda _{i}\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 0,}$

${\displaystyle P_{i,i-1}(\triangle t)=\mu _{i}\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 1,}$

${\displaystyle P_{i,i}(\triangle t)=1-(\lambda _{i}+\mu _{i})\triangle t+o(\triangle t),\quad i\geq 1.}$

Este proceso está representado por la siguiente figura con los estados del proceso (es decir, el número de individuos en la población) representados por los círculos y las transiciones entre estados indicadas por las flechas.

Recurrencia y transitoriedad

Para la recurrencia y transitoriedad en los procesos de Markov, consulte la Sección 5.3 de la cadena de Markov .

Condiciones de recurrencia y transitoriedad

Las condiciones para la recurrencia y la transitoriedad fueron establecidas por Samuel Karlin y James McGregor . ^[2]

Un proceso de nacimiento y muerte es recurrente si y sólo si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty .}$

Un proceso de nacimiento y muerte es ergódico si y sólo si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}<\infty .}$

Un proceso de nacimiento y muerte es nulo-recurrente si y sólo si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{n-1}}{\mu _{n}}}=\infty .}$

Al utilizar la prueba de Bertrand extendida (ver Sección 4.1.4 de la Prueba de razón ), las condiciones de recurrencia, transitoriedad, ergodicidad y recurrencia nula se pueden derivar en una forma más explícita. ^[3]

Para un entero sea el iterador n del logaritmo natural , es decir, y para cualquier , . ${\displaystyle K\geq 1,}$ ${\displaystyle \ln _{(K)}(x)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}$ ${\displaystyle 2\leq k\leq K}$ ${\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}$

Entonces, las condiciones para la recurrencia y transitoriedad de un proceso de nacimiento y muerte son las siguientes.

El proceso de nacimiento y muerte es transitorio si existe y tal que para todos ${\displaystyle c>1,}$ ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\geq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}+{\frac {c}{n\prod _{j=1}^{K}\ln _{(j)}(n)}},}$

donde se supone que la suma vacía es 0. ${\displaystyle K=1}$

El proceso de nacimiento y muerte es recurrente si existe y tal que para todos ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\lambda _{n}}{\mu _{n}}}\leq 1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}\ln _{(j)}(n)}}.}$

Se pueden encontrar clases más amplias de procesos de nacimiento y muerte, para los cuales se pueden establecer las condiciones de recurrencia y transitoriedad, en ^{[4] .}

Solicitud

Consideremos un paseo aleatorio unidimensional que se define de la siguiente manera. Sea , y donde toma valores , y la distribución de se define por las siguientes condiciones: ${\displaystyle S_{t},\ t=0,1,\ldots ,}$ ${\displaystyle S_{0}=1}$ ${\displaystyle S_{t}=S_{t-1}+e_{t},\ t\geq 1,}$ ${\displaystyle e_{t}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}+1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=S_{t}-1|S_{t}>0\}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{S_{t}}}{S_{t}}},\quad {\mathsf {P}}\{S_{t+1}=1|S_{t}=0\}=1,}$

donde se satisface la condición . ${\displaystyle \alpha _{n}}$ ${\displaystyle 0<\alpha _{n}<\min\{C,n/2\},C>0}$

El paseo aleatorio descrito aquí es un análogo temporal discreto del proceso de nacimiento y muerte (ver cadena de Markov ) con las tasas de natalidad

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {\alpha _{n}}{n}},}$

y las tasas de mortalidad

${\displaystyle \mu _{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {\alpha _{n}}{n}}}$.

Así, la recurrencia o transitoriedad del paseo aleatorio está asociada con la recurrencia o transitoriedad del proceso de nacimiento y muerte. ^[3]

El paseo aleatorio es transitorio si existen , y tal que para todos ${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle \alpha _{n}\geq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K-1}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}+c\prod _{j=1}^{K}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right),}$

donde se supone que la suma vacía es cero. ${\displaystyle K=1}$

El paseo aleatorio es recurrente si existen y tales que para todos ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle \alpha _{n}\leq {\frac {1}{4}}\left(1+\sum _{k=1}^{K}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{\ln _{(j)}(n)}}\right).}$

Solución estacionaria

Si un proceso de nacimiento y muerte es ergódico, entonces existen probabilidades de estado estable donde es la probabilidad de que el proceso de nacimiento y muerte esté en el estado en el tiempo El límite existe, independientemente de los valores iniciales y se calcula mediante las relaciones: ${\displaystyle \pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),}$ ${\displaystyle p_{k}(t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle p_{k}(0),}$

${\displaystyle \pi _{k}=\pi _{0}\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}},\quad k=1,2,\ldots ,}$

${\displaystyle \pi _{0}={\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{\infty }\prod _{i=1}^{k}{\frac {\lambda _{i-1}}{\mu _{i}}}}}.}$

Estas probabilidades límite se obtienen del sistema infinito de ecuaciones diferenciales para ${\displaystyle p_{k}(t):}$

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu _{1}p_{1}(t)-\lambda _{0}p_{0}(t)\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda _{k-1}p_{k-1}(t)+\mu _{k+1}p_{k+1}(t)-(\lambda _{k}+\mu _{k})p_{k}(t),k=1,2,\ldots ,\,}$

y la condición inicial ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}(t)=1.}$

A su vez, el último sistema de ecuaciones diferenciales se deriva del sistema de ecuaciones diferenciales que describe la dinámica del sistema en un tiempo pequeño . Durante este pequeño tiempo solo se consideran tres tipos de transiciones como una muerte, o un nacimiento, o ningún nacimiento ni muerte. La probabilidad de las dos primeras de estas transiciones tiene el orden de . Otras transiciones durante este pequeño intervalo como más de un nacimiento , o más de una muerte , o al menos un nacimiento y al menos una muerte tienen probabilidades que son de orden menor que , y por lo tanto son insignificantes en las derivaciones. Si el sistema está en el estado k , entonces la probabilidad de nacimiento durante un intervalo es , la probabilidad de muerte es , y la probabilidad de ningún nacimiento y ninguna muerte es . Para un proceso poblacional, "nacimiento" es la transición hacia el aumento del tamaño de la población en 1 mientras que "muerte" es la transición hacia la disminución del tamaño de la población en 1. ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \lambda _{k}\Delta t+o(\Delta t)}$ ${\displaystyle \mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)}$ ${\displaystyle 1-\lambda _{k}\Delta t-\mu _{k}\Delta t+o(\Delta t)}$

Ejemplos de procesos de nacimiento-muerte

Un proceso de nacimiento puro es un proceso de nacimiento-muerte en el que para todos . ${\displaystyle \mu _{i}=0}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

Un proceso de muerte pura es un proceso de nacimiento-muerte en el que para todos . ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$ ${\displaystyle i\geq 0}$

El modelo M/M/1 y el modelo M/M/c , ambos utilizados en la teoría de colas , son procesos de nacimiento-muerte que se utilizan para describir a los clientes en una cola infinita.

Uso en filodinámica

Los procesos de nacimiento-muerte se utilizan en filodinámica como una distribución previa para las filogenias , es decir, un árbol binario en el que los eventos de nacimiento corresponden a las ramas del árbol y los eventos de muerte corresponden a los nodos de las hojas. ^[5] En particular, se utilizan en la filodinámica viral ^[6] para comprender el proceso de transmisión y cómo cambia el número de personas infectadas a través del tiempo. ^[7]

El uso de procesos generalizados de nacimiento y muerte en la filodinámica ha estimulado las investigaciones sobre el grado en que las tasas de nacimiento y muerte pueden identificarse a partir de los datos. ^[8] Si bien el modelo no es identificable en general, el subconjunto de modelos que se utilizan normalmente sí lo son. ^[9]

Uso en la teoría de colas

En la teoría de colas, el proceso de nacimiento-muerte es el ejemplo más fundamental de un modelo de colas , la cola M/M/C/K/ /FIFO ${\displaystyle \infty }$ (en notación completa de Kendall ). Se trata de una cola con llegadas de Poisson , extraídas de una población infinita, y C servidores con tiempos de servicio distribuidos exponencialmente con K lugares en la cola. A pesar de la suposición de una población infinita, este modelo es un buen modelo para varios sistemas de telecomunicaciones.

Cola M/M/1

La cola M/M/1 es una cola de un solo servidor con un tamaño de búfer infinito. En un entorno no aleatorio, el proceso de nacimiento y muerte en los modelos de colas tiende a ser promedios a largo plazo, por lo que la tasa promedio de llegada se da como y el tiempo de servicio promedio como . El proceso de nacimiento y muerte es una cola M/M/1 cuando, ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 1/\mu }$

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda {\text{ and }}\mu _{i}=\mu {\text{ for all }}i.\,}$

Las ecuaciones diferenciales para la probabilidad de que el sistema esté en el estado k en el tiempo t son

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,}$

Proceso de nacimiento puro asociado a una cola M/M/1

El proceso de nacimiento puro es un caso particular del proceso de cola M/M/1. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales : ${\displaystyle \lambda _{k}\equiv \lambda }$

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)-\lambda p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots \,}$

Bajo la condición inicial y , la solución del sistema es ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$ ${\displaystyle p_{k}(0)=0,\ k=1,2,\ldots }$

${\displaystyle p_{k}(t)={\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}\mathrm {e} ^{-\lambda t}.}$

Es decir, un proceso de Poisson (homogéneo) es un proceso de nacimiento puro.

Cola M/M/c

La cola M/M/C es una cola multiservidor con servidores C y un buffer infinito. Se caracteriza por los siguientes parámetros de nacimiento y muerte:

${\displaystyle \mu _{i}=i\mu \quad {\text{ for }}i\leq C-1,\,}$

y

${\displaystyle \mu _{i}=C\mu \quad {\text{ for }}i\geq C,\,}$

con

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for all }}i.\,}$

El sistema de ecuaciones diferenciales en este caso tiene la forma:

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+(k+1)\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +k\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=1,2,\ldots ,C-1,\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+C\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +C\mu )p_{k}(t)\quad {\text{for }}k\geq C.\,}$

Proceso de muerte pura asociado a una cola M/M/C

El proceso de muerte pura es un caso particular del proceso de cola M/M/C. Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales : ${\displaystyle \mu _{k}=k\mu }$

${\displaystyle p_{C}^{\prime }(t)=-C\mu p_{C}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=(k+1)\mu p_{k+1}(t)-k\mu p_{k}(t)\quad {\text{for }}k=0,1,\ldots ,C-1.\,}$

Bajo la condición inicial y obtenemos la solución ${\displaystyle p_{C}(0)=1}$ ${\displaystyle p_{k}(0)=0,\ k=0,1,\ldots ,C-1,}$

${\displaystyle p_{k}(t)={\binom {C}{k}}\mathrm {e} ^{-k\mu t}\left(1-\mathrm {e} ^{-\mu t}\right)^{C-k},}$

que presenta la versión de la distribución binomial en función del parámetro tiempo (ver Proceso binomial ). ${\displaystyle t}$

Cola M/M/1/K

La cola M/M/1/K es una cola de un solo servidor con un búfer de tamaño K. Esta cola tiene aplicaciones en telecomunicaciones, así como en biología cuando una población tiene un límite de capacidad. En telecomunicaciones, volvemos a utilizar los parámetros de la cola M/M/1 con,

${\displaystyle \lambda _{i}=\lambda \quad {\text{ for }}0\leq i<K,\,}$

${\displaystyle \lambda _{i}=0\quad {\text{ for }}i\geq K,\,}$

${\displaystyle \mu _{i}=\mu \quad {\text{ for }}1\leq i\leq K.\,}$

En biología, particularmente en el crecimiento de bacterias, cuando la población es cero no hay capacidad de crecer, por lo que

${\displaystyle \lambda _{0}=0.\,}$

Además, si la capacidad representa un límite en el que el individuo muere por sobrepoblación,

${\displaystyle \mu _{K}=0.\,}$

Las ecuaciones diferenciales para la probabilidad de que el sistema esté en el estado k en el tiempo t son

${\displaystyle p_{0}^{\prime }(t)=\mu p_{1}(t)-\lambda p_{0}(t),}$

${\displaystyle p_{k}^{\prime }(t)=\lambda p_{k-1}(t)+\mu p_{k+1}(t)-(\lambda +\mu )p_{k}(t)\quad {\text{ for }}k\leq K-1,\,}$

${\displaystyle p_{K}^{\prime }(t)=\lambda p_{K-1}(t)-(\lambda +\mu )p_{K}(t),\,}$

${\displaystyle p_{k}(t)=0\quad {\text{ for }}k>K.\,}$

Equilibrio

Se dice que una cola está en equilibrio si existen las probabilidades de estado estable . La condición para la existencia de estas probabilidades de estado estable en el caso de la cola M/M/1 es y en el caso de la cola M/M/C es . El parámetro suele denominarse parámetro de carga o parámetro de utilización . A veces también se denomina intensidad de tráfico . ${\displaystyle \pi _{k}=\lim _{t\to \infty }p_{k}(t),\ k=0,1,\ldots ,}$ ${\displaystyle \rho =\lambda /\mu <1}$ ${\displaystyle \rho =\lambda /(C\mu )<1}$ ${\displaystyle \rho }$

Usando la cola M/M/1 como ejemplo, las ecuaciones de estado estable son

${\displaystyle \lambda \pi _{0}=\mu \pi _{1},\,}$

${\displaystyle (\lambda +\mu )\pi _{k}=\lambda \pi _{k-1}+\mu \pi _{k+1}.\,}$

Esto se puede reducir a

${\displaystyle \lambda \pi _{k}=\mu \pi _{k+1}{\text{ for }}k\geq 0.\,}$

Entonces, teniendo en cuenta que , obtenemos ${\displaystyle \pi _{0}+\pi _{1}+\ldots =1}$

${\displaystyle \pi _{k}=(1-\rho )\rho ^{k}.}$

Proceso de nacimiento y muerte bilateral

El proceso bilateral de nacimiento y muerte se define de manera similar al estándar con la única diferencia de que las tasas de nacimiento y muerte se definen para los valores del parámetro de índice . ^[10] Siguiendo esto, un proceso bilateral de nacimiento y muerte es recurrente si y solo si ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle i=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\mu _{n}}{\lambda _{n}}}=\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{i=1}^{\infty }\prod _{n=1}^{i}{\frac {\lambda _{-n}}{\mu _{-n}}}=\infty .}$

Las nociones de ergodicidad y recurrencia nula se definen de manera similar extendiendo las nociones correspondientes del proceso estándar de nacimiento y muerte.

Véase también

• Unidad Erlang
• Teoría de colas
• Modelos de colas
• Proceso cuasi nacimiento-muerte
• Proceso Moran

Notas

1. Feller, William (1939). "Die Grundlagen der Volterraschen Theorie des Kampfes ums Dasein in wahrscheinlichkeitstheoretischer Behandlung". Acta Bioteórica . 5 (1): 11–40. doi :10.1007/BF01602932.
2. Karlin, Samuel ; McGregor, James (1957). "La clasificación de los procesos de nacimiento y muerte" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 86 (2): 366–400. doi :10.1090/S0002-9947-1957-0094854-8.
3. Abramov, Vyacheslav M. (2020). "Extensión de la prueba de Bertrand–De Morgan y su aplicación". The American Mathematical Monthly . 127 (5): 444–448. arXiv : 1901.05843 . doi :10.1080/00029890.2020.1722551. S2CID  199552015.
4. Abramov, Vyacheslav M. (2022). "Condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de series positivas" (PDF) . Revista de análisis clásico . 19 (2): 117–125. arXiv : 2104.01702 . doi :10.7153/jca-2022-19-09. S2CID  233025219.
5. Stadler T (diciembre de 2010). "Muestreo a través del tiempo en árboles de nacimiento-muerte". Revista de biología teórica . 267 (3): 396–404. Código Bibliográfico :2010JThBi.267..396S. doi :10.1016/j.jtbi.2010.09.010. PMID  20851708.
6. Kühnert D, Wu CH, Drummond AJ (diciembre de 2011). "Modelado filogenético y epidémico de enfermedades infecciosas de rápida evolución". Infección, genética y evolución . 11 (8): 1825–41. doi : 10.1016/j.meegid.2011.08.005 . PMC 7106223 . PMID  21906695. 
7. Zarebski AE, du Plessis L, Parag KV, Pybus OG (febrero de 2022). "Un modelo de nacimiento-muerte computacionalmente manejable que combina datos filogenéticos y epidemiológicos". PLOS Computational Biology . 18 (2): e1009805. Bibcode :2022PLSCB..18E9805Z. doi : 10.1371/journal.pcbi.1009805 . PMC 8903285 . PMID  35148311. 
8. Louca S, Pennell MW (abril de 2020). "Los árboles temporales existentes son consistentes con una gran variedad de historias de diversificación" (PDF) . Nature . 508 (7804): 502–505. Bibcode :2020Natur.580..502L. doi :10.1038/s41586-020-2176-1. PMID  32322065. S2CID  215775763.
9. Legried B, Terhorst (agosto de 2022). "Una clase de modelos filogenéticos identificables de nacimiento y muerte". PNAS . 119 (35): e2119513119. Bibcode :2022PNAS..11919513L. doi :10.1073/pnas.2119513119. PMC 9436344 . PMID  35994663. 
10. Pruitt, William E. (1963). "Procesos bilaterales de nacimiento y muerte" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 107 (3): 508–525. doi :10.1090/S0002-9947-1963-0150858-0.

Referencias

• Latouche, G.; Ramaswami, V. (1999). "Procesos de nacimiento y muerte cuasi-naturales". Introducción a los métodos analíticos matriciales en el modelado estocástico (1.ª ed.). ASA SIAM. ISBN 0-89871-425-7.
• Nowak, MA (2006). Dinámica evolutiva: exploración de las ecuaciones de la vida . Harvard University Press. ISBN 0-674-02338-2.
• Virtamo, J. "Procesos nacimiento-muerte" (PDF) . 38.3143 Teoría de colas . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .