En la combinatoria poliédrica (una rama de las matemáticas), un politopo apilado es un politopo formado a partir de un símplex pegando repetidamente otro símplex sobre una de sus facetas . [1] [2]
Cada símplex es en sí mismo un politopo apilado.
En tres dimensiones, cada politopo apilado es un poliedro con caras triangulares, y varios de los deltaedros (poliedros con caras triangulares equiláteras ) son politopos apilados.
En un politopo apilado, cada símplex recién añadido solo puede tocar una de las facetas de los anteriores. Así, por ejemplo, el tetraedro cuadruplicado, una forma formada al pegar cinco tetraedros regulares alrededor de un segmento de línea común, es un politopo apilado (tiene un pequeño espacio entre el primer y el último tetraedro). Sin embargo, la bipirámide pentagonal de aspecto similar no es un politopo apilado, porque si se forma al pegar tetraedros, el último tetraedro se pegará a dos caras triangulares de tetraedros anteriores en lugar de solo a una.
Otros deltaedros apilados no convexos incluyen:
El grafo no dirigido formado por los vértices y aristas de un politopo apilado en d dimensiones es un ( d + 1)-árbol . Más precisamente, los grafos de politopos apilados son exactamente los ( d + 1)-árboles en los que cada camarilla de d vértices (subgrafo completo) está contenida en como máximo dos camarillas de ( d + 1) vértices. [3] Por ejemplo, los grafos de poliedros apilados tridimensionales son exactamente las redes apolíneas , los grafos formados a partir de un triángulo subdividiendo repetidamente una cara triangular del grafo en tres triángulos más pequeños.
Una razón de la importancia de los politopos apilados es que, entre todos los politopos simpliciales de dimensión d con un número dado de vértices, los politopos apilados tienen la menor cantidad posible de caras de dimensión superior. Para los poliedros simpliciales tridimensionales, el número de aristas y caras bidimensionales se determina a partir del número de vértices mediante la fórmula de Euler , independientemente de si el poliedro está apilado, pero esto no es cierto en dimensiones superiores. Análogamente, los politopos simpliciales que maximizan el número de caras de dimensión superior para su número de vértices son los politopos cíclicos . [2]