Estado de estabilidad de Bridgeland

Condiciones de estabilidad para categorías trianguladas

En matemáticas , y especialmente en geometría algebraica , una condición de estabilidad de Bridgeland , definida por Tom Bridgeland , es una condición de estabilidad algebro-geométrica definida sobre elementos de una categoría triangulada . El caso de interés original y de particular importancia es cuando esta categoría triangulada es la categoría derivada de haces coherentes en una variedad de Calabi–Yau , y esta situación tiene vínculos fundamentales con la teoría de cuerdas y el estudio de las D-branas .

Estas condiciones de estabilidad fueron introducidas en una forma rudimentaria por Michael Douglas llamada -estabilidad y utilizadas para estudiar las B-branas BPS en la teoría de cuerdas. ^[1] Este concepto fue precisado por Bridgeland, quien formuló estas condiciones de estabilidad categóricamente e inició su estudio matemáticamente. ^[2] ${\displaystyle \Pi }$

Definición

Las definiciones en esta sección se presentan como en el artículo original de Bridgeland, para categorías trianguladas arbitrarias. ^[2] Sea una categoría triangulada. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Segmentación de categorías trianguladas

Una rebanada de es una colección de subcategorías aditivas completas para cada una de manera que ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\varphi )[1]={\mathcal {P}}(\varphi +1)}$para todos , donde es el funtor de desplazamiento en la categoría triangulada, ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [1]}$
• si y y , entonces , y ${\displaystyle \varphi _{1}>\varphi _{2}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(\varphi _{1})}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {P}}(\varphi _{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)=0}$
• Para cada objeto existe una secuencia finita de números reales y una colección de triángulos. ${\displaystyle E\in {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}>\varphi _{2}>\cdots >\varphi _{n}}$

con para todos . ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {P}}(\varphi _{i})}$ ${\displaystyle i}$

La última propiedad debe considerarse como la imposición axiomática de la existencia de filtraciones de Harder-Narasimhan sobre elementos de la categoría . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Condiciones de estabilidad

Una condición de estabilidad de Bridgeland en una categoría triangulada es un par que consiste en un corte y un homomorfismo de grupo , donde es el grupo de Grothendieck de , llamado carga central , que satisface ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (Z,{\mathcal {P}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle Z:K({\mathcal {D}})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle K({\mathcal {D}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• si entonces para algún número real estrictamente positivo . ${\displaystyle 0\neq E\in {\mathcal {P}}(\varphi )}$ ${\displaystyle Z(E)=m(E)\exp(i\pi \varphi )}$ ${\displaystyle m(E)\in \mathbb {R} _{>0}}$

Es una convención suponer que la categoría es esencialmente pequeña , de modo que la colección de todas las condiciones de estabilidad en forma un conjunto . En buenas circunstancias, por ejemplo cuando es la categoría derivada de haces coherentes en una variedad compleja , este conjunto en realidad tiene la estructura de una variedad compleja. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Stab} ({\mathcal {D}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}^{b}\operatorname {Coh} (X)}$ ${\displaystyle X}$

Observaciones técnicas sobre la condición de estabilidad

Bridgeland demuestra que los datos de una condición de estabilidad de Bridgeland son equivalentes a especificar una estructura t acotada en la categoría y una carga central en el corazón de esta estructura t que satisface la propiedad de Harder-Narasimhan mencionada anteriormente. ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {P}}(>0)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle Z:K({\mathcal {A}})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}((0,1])}$

Un elemento es semiestable (resp. estable ) con respecto a la condición de estabilidad si para cada sobreyección para , tenemos donde y de manera similar para . ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (Z,{\mathcal {P}})}$ ${\displaystyle E\to F}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \varphi (E)\leq ({\text{resp.}}<)\,\varphi (F)}$ ${\displaystyle Z(E)=m(E)\exp(i\pi \varphi (E))}$ ${\displaystyle F}$

Ejemplos

De la filtración de Harder-Narasimhan

Recordemos que la filtración de Harder-Narasimhan para una curva proyectiva suave implica que para cualquier haz coherente existe una filtración ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle 0=E_{0}\subset E_{1}\subset \cdots \subset E_{n}=E}$

de modo que los factores tienen pendiente . Podemos extender esta filtración a un complejo acotado de haces considerando la filtración en los haces de cohomología y definiendo la pendiente de , dando una función ${\displaystyle E_{j}/E_{j-1}}$ ${\displaystyle \mu _{i}={\text{deg}}/{\text{rank}}}$ ${\displaystyle E^{\bullet }}$ ${\displaystyle E^{i}=H^{i}(E^{\bullet })[+i]}$ ${\displaystyle E_{j}^{i}=\mu _{i}+j}$

${\displaystyle \phi :K(X)\to \mathbb {R} }$

para la carga central.

Curvas elípticas

Bridgeland hace un análisis para el caso de las curvas elípticas. Encuentra ^{[2] [3]} que existe una equivalencia

${\displaystyle {\text{Stab}}(X)/{\text{Aut}}(X)\cong {\text{GL}}^{+}(2,\mathbb {R} )/{\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}$

donde es el conjunto de condiciones de estabilidad y es el conjunto de autoequivalencias de la categoría derivada . ${\displaystyle {\text{Stab}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(X)}$ ${\displaystyle D^{b}(X)}$

Referencias

1. Douglas, MR, Fiol, B. y Römelsberger, C., 2005. Estabilidad y branas BPS. Journal of High Energy Physics, 2005(09), pág. 006.
2. Bridgeland, Tom (8 de febrero de 2006). "Condiciones de estabilidad en categorías trianguladas". arXiv : math/0212237 .
3. Uehara, Hokuto (18 de noviembre de 2015). "Autoequivalencias de categorías derivadas de superficies elípticas con dimensión Kodaira distinta de cero". pp. 10–12. arXiv : 1501.06657 [math.AG].

Papeles

• Condiciones de estabilidad en singularidades A n {\displaystyle A_{n}}
• Interacciones entre autoequivalencias, condiciones de estabilidad y problemas de módulos