Sobremuestreo

Muestreo superior a la tasa de Nyquist

En el procesamiento de señales , el sobremuestreo es el proceso de muestrear una señal a una frecuencia de muestreo significativamente mayor que la tasa de Nyquist . En teoría, una señal con ancho de banda limitado se puede reconstruir perfectamente si se muestrea a la tasa de Nyquist o por encima de ella. La tasa de Nyquist se define como el doble del ancho de banda de la señal. El sobremuestreo es capaz de mejorar la resolución y la relación señal/ruido , y puede ser útil para evitar el aliasing y la distorsión de fase al relajar los requisitos de rendimiento del filtro anti-aliasing .

Se dice que una señal está sobremuestreada por un factor de N si se muestrea a N veces la tasa de Nyquist.

Motivación

Hay tres razones principales para realizar sobremuestreo: mejorar el rendimiento del anti-aliasing, aumentar la resolución y reducir el ruido.

Anti-aliasing

El sobremuestreo puede facilitar la implementación de filtros anti-aliasing analógicos . ^[1] Sin sobremuestreo, es muy difícil implementar filtros con el corte brusco necesario para maximizar el uso del ancho de banda disponible sin exceder el límite de Nyquist . Al aumentar el ancho de banda del sistema de muestreo, se pueden relajar las restricciones de diseño para el filtro anti-aliasing. ^[2] Una vez muestreada, la señal se puede filtrar digitalmente y reducir el muestreo a la frecuencia de muestreo deseada. En la tecnología de circuitos integrados moderna , el filtro digital asociado con este submuestreo es más fácil de implementar que un filtro analógico comparable requerido por un sistema sin sobremuestreo.

Resolución

En la práctica, el sobremuestreo se implementa para reducir el costo y mejorar el rendimiento de un convertidor analógico a digital (ADC) o un convertidor digital a analógico (DAC). ^[1] Cuando se sobremuestrea por un factor de N, el rango dinámico también aumenta un factor de N porque hay N veces más valores posibles para la suma. Sin embargo, la relación señal-ruido (SNR) aumenta en , porque sumar el ruido no correlacionado aumenta su amplitud en , mientras que sumar una señal coherente aumenta su promedio en N. Como resultado, la SNR aumenta en . ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$

Por ejemplo, para implementar un convertidor de 24 bits, es suficiente utilizar un convertidor de 20 bits que pueda funcionar a 256 veces la frecuencia de muestreo objetivo. La combinación de 256 muestras consecutivas de 20 bits puede aumentar la relación señal/ruido en un factor de 16, lo que efectivamente agrega 4 bits a la resolución y produce una sola muestra con una resolución de 24 bits. ^{[3] [a]}

La cantidad de muestras necesarias para obtener bits de datos adicionales con mayor precisión es ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mbox{number of samples}}=(2^{n})^{2}=2^{2n}.}$

Para obtener la muestra media escalada a un entero con bits adicionales, la suma de las muestras se divide por : ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{2n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$

${\displaystyle {\mbox{scaled mean}}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{2^{2n}-1}2^{n}{\text{data}}_{i}}{2^{2n}}}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{2^{2n}-1}{\text{data}}_{i}}{2^{n}}}.}$

Este promedio solo es efectivo si la señal contiene suficiente ruido no correlacionado para que el ADC lo registre. ^[3] De lo contrario, en el caso de una señal de entrada estacionaria, todas las muestras tendrían el mismo valor y el promedio resultante sería idéntico a este valor; por lo tanto, en este caso, el sobremuestreo no habría mejorado nada. En casos similares en los que el ADC no registra ruido y la señal de entrada cambia con el tiempo, el sobremuestreo mejora el resultado, pero en un grado inconsistente e impredecible. ${\displaystyle 2^{n}}$

Añadir algo de ruido de tramado a la señal de entrada puede mejorar el resultado final, ya que el ruido de tramado permite que el sobremuestreo funcione para mejorar la resolución. En muchas aplicaciones prácticas, un pequeño aumento del ruido compensa un aumento sustancial de la resolución de la medición. En la práctica, el ruido de tramado a menudo se puede colocar fuera del rango de frecuencia de interés para la medición, de modo que este ruido se pueda filtrar posteriormente en el dominio digital, lo que da como resultado una medición final, en el rango de frecuencia de interés, con mayor resolución y menor ruido. ^[4]

Ruido

Si se toman múltiples muestras de la misma cantidad con ruido no correlacionado ^[b] agregado a cada muestra, entonces, debido a que, como se discutió anteriormente, las señales no correlacionadas se combinan más débilmente que las correlacionadas, promediar N muestras reduce la potencia del ruido en un factor de N. Si, por ejemplo, sobremuestreamos por un factor de 4, la relación señal-ruido en términos de potencia mejora por un factor de cuatro, lo que corresponde a una mejora de un factor de dos en términos de voltaje.

Ciertos tipos de convertidores A/D conocidos como delta-sigma producen desproporcionadamente más ruido de cuantificación a frecuencias más altas. Al hacer funcionar estos convertidores a un múltiplo de la frecuencia de muestreo objetivo y filtrar con un filtro de paso bajo la señal sobremuestreada hasta la mitad de la frecuencia de muestreo objetivo, se puede obtener un resultado final con menos ruido (en toda la banda del convertidor). Los convertidores delta-sigma utilizan una técnica llamada modelado de ruido para mover el ruido de cuantificación a las frecuencias más altas.

Ejemplo

Considere una señal con un ancho de banda o frecuencia más alta de B  = 100  Hz . El teorema de muestreo establece que la frecuencia de muestreo tendría que ser mayor que 200 Hz. El muestreo a cuatro veces esa tasa requiere una frecuencia de muestreo de 800 Hz. Esto le da al filtro anti-aliasing una banda de transición de 300 Hz (( f _s /2) − B  = (800 Hz/2) − 100 Hz = 300 Hz) en lugar de 0 Hz si la frecuencia de muestreo era 200 Hz. Lograr un filtro anti-aliasing con una banda de transición de 0 Hz es poco realista, mientras que un filtro anti-aliasing con una banda de transición de 300 Hz no es difícil.

Reconstrucción

El término sobremuestreo también se utiliza para denotar un proceso utilizado en la fase de reconstrucción de la conversión de digital a analógico, en la que se utiliza una frecuencia de muestreo intermedia alta entre la entrada digital y la salida analógica. Aquí, la interpolación digital se utiliza para agregar muestras adicionales entre las muestras grabadas, convirtiendo así los datos a una frecuencia de muestreo más alta, una forma de sobremuestreo . Cuando las muestras de mayor frecuencia resultantes se convierten a analógicos, se requiere un filtro de reconstrucción analógica menos complejo y menos costoso . Básicamente, esta es una forma de trasladar parte de la complejidad de la reconstrucción del dominio analógico al digital. El sobremuestreo en el ADC puede lograr algunos de los mismos beneficios que el uso de una frecuencia de muestreo más alta en el DAC.

Véase también

• Sensor de imagen binaria sobremuestreado
• Supermuestreo
• Submuestreo

Notas

1. Mientras que con N=256 hay un aumento en el rango dinámico de 8 bits, y el nivel de señal coherente aumenta en un factor de N, el ruido cambia en un factor de =16, por lo que la relación señal/ruido neta mejora en un factor de 16, 4 bits o 24 dB. ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$
2. La relación señal-ruido de un sistema no necesariamente se puede aumentar mediante un simple sobremuestreo, ya que las muestras de ruido están parcialmente correlacionadas (solo una parte del ruido debido al muestreo y a la conversión de analógico a digital no estará correlacionado).

Referencias

1. Kester, Walt. "Sobremuestreo de DAC interpoladores" (PDF) . Analog Devices . Consultado el 17 de enero de 2015 .
2. Nauman Uppal (30 de agosto de 2004). "Upsampling vs. Oversampling for Digital Audio" (Remuestreo superior frente a sobremuestreo para audio digital). Audioholics . Consultado el 6 de octubre de 2012. Sin aumentar la frecuencia de muestreo, necesitaríamos diseñar un filtro muy preciso que tendría que cortar justo después de los 20 kHz y bajar entre 80 y 100 dB a 22 kHz. Un filtro de este tipo no solo es muy difícil y costoso de implementar, sino que puede sacrificar parte del espectro audible en su reducción gradual .
3. "Mejora de la resolución del ADC mediante sobremuestreo y promediado" (PDF) . Silicon Laboratories Inc . Consultado el 17 de enero de 2015 .
4. Holman, Tomlinson (2012). Sonido para cine y televisión. CRC Press. pp. 52–53. ISBN 9781136046100. Recuperado el 4 de febrero de 2019 .

Lectura adicional

• John Watkinson (1994). El arte del audio digital . Focal Press. ISBN 0-240-51320-7.