Colector lento

En matemáticas , la variedad lenta de un punto de equilibrio de un sistema dinámico se presenta como el ejemplo más común de una variedad central . Uno de los principales métodos para simplificar los sistemas dinámicos es reducir la dimensión del sistema a la de la variedad lenta; la teoría de la variedad central justifica rigurosamente el modelado. ^{[1] [2]} Por ejemplo, algunos modelos globales y regionales de la atmósfera o los océanos resuelven la denominada dinámica de flujo cuasigeostrófico en la variedad lenta de la dinámica atmosférica/oceánica, ^[3] y, por lo tanto, es crucial para la predicción con un modelo climático .

En algunos casos, una variedad lenta se define como la variedad invariante en la que la dinámica es lenta en comparación con la dinámica fuera de la variedad. La variedad lenta en un problema particular sería una subvariedad de la variedad estable, inestable o central, exclusivamente, que tiene la misma dimensión que, y es tangente a, el espacio propio con un valor propio asociado (o par de valores propios) que tiene la parte real más pequeña en magnitud. Esto generaliza la definición descrita en el primer párrafo. Además, se podría definir la variedad lenta como tangente a más de un espacio propio eligiendo un punto de corte en un ordenamiento de los valores propios de la parte real en magnitud de menor a mayor. En la práctica, se debe tener cuidado de ver qué definición sugiere la literatura.

Definición

Consideremos el sistema dinámico

${\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}={\vec {f}}({\vec {x}})}$

para un vector de estado evolutivo y con punto de equilibrio . Entonces la linealización del sistema en el punto de equilibrio es ${\displaystyle {\vec {x}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {x}}^{*}}$

${\displaystyle {\frac {d{\vec {x}}}{dt}}=A{\vec {x}}\quad {\text{where }}A={\frac {d{\vec {f}}}{d{\vec {x}}}}({\vec {x}}^{*}).}$

La matriz define cuatro subespacios invariantes caracterizados por los valores propios de la matriz: como se describe en la entrada para la variedad central, tres de los subespacios son los subespacios estable, inestable y central correspondientes al lapso de los vectores propios con valores propios que tienen parte real negativa, positiva y cero, respectivamente; el cuarto subespacio es el subespacio lento dado por el lapso de los vectores propios, y los vectores propios generalizados , correspondientes al valor propio precisamente (más generalmente, ^[4] correspondientes a todos los valores propios con separados por un espacio de todos los demás valores propios, aquellos con ). El subespacio lento es un subespacio del subespacio central, o idéntico a él, o posiblemente vacío. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle |\lambda |\leq \alpha }$ ${\displaystyle |\lambda |\geq \beta >r\alpha }$

En consecuencia, el sistema no lineal tiene variedades invariantes , formadas por trayectorias del sistema no lineal, correspondientes a cada uno de estos subespacios invariantes. Existe una variedad invariante tangente al subespacio lento y con la misma dimensión; esta variedad es la variedad lenta .

También existen variedades estocásticas lentas para sistemas dinámicos ruidosos ( ecuación diferencial estocástica ), como también variedades estocásticas centrales, estables e inestables. ^[5] Estas variedades estocásticas lentas son igualmente útiles para modelar dinámicas estocásticas emergentes, pero hay muchas cuestiones fascinantes por resolver, como la historia y las integrales dependientes futuras del ruido. ^{[6] [7]}

Ejemplos

Caso simple con dos variables

El sistema acoplado en dos variables y ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-xy\quad {\text{ and }}\quad {\frac {dy}{dt}}=-y+x^{2}-2y^{2}}$

tiene la variedad lenta exacta en la que la evolución es . Aparte de los transitorios que decaen exponencialmente, esta variedad lenta y su evolución capturan todas las soluciones que están en la vecindad del origen. ^[8] La vecindad de atracción es, aproximadamente, al menos el semiespacio . ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle dx/dt=-x^{3}}$ ${\displaystyle y>-1/2}$

Dinámica lenta entre ondas rápidas

Edward Norton Lorenz introdujo el siguiente sistema dinámico de cinco ecuaciones en cinco variables para explorar la noción de una variedad lenta de flujo cuasi-geostrófico ^[9]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dU}{dt}}&=-VW+bVZ,\\[6pt]{\frac {dV}{dt}}&=UW-bUZ,\\[6pt]{\frac {dW}{dt}}&=-UV,\\[6pt]{\frac {dX}{dt}}&=-Z,\\[6pt]{\frac {dZ}{dt}}&=X+bUV.\end{aligned}}}$

Linealizado respecto del origen, el valor propio cero tiene multiplicidad tres, y existe un par complejo conjugado de valores propios, . Por lo tanto, existe una variedad lenta tridimensional (rodeada de ondas "rápidas" en las variables y ). Más tarde, Lorenz argumentó que no existía una variedad lenta. ^[10] Pero los argumentos de forma normal ^[11] sugieren que existe un sistema dinámico que está exponencialmente cerca del sistema de Lorenz para el cual existe una buena variedad lenta. ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$

Eliminar una infinidad de variables

En el modelado, nuestro objetivo es simplificar enormemente. Este ejemplo utiliza una variedad lenta para simplificar la dinámica de "dimensión infinita" de una ecuación diferencial parcial a un modelo de una ecuación diferencial ordinaria . Consideremos un campo que experimenta la difusión no lineal ${\displaystyle u(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=u{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\quad {\text{on the domain }}-1<x<1}$

con condiciones de contorno de Robin

${\displaystyle 2bu\pm (1-b){\frac {\partial u}{\partial x}}=0\quad {\text{on }}x=\pm 1.}$

La parametrización de las condiciones de contorno nos permite cubrir el caso de condición de contorno aislante de Neumann , el caso de condición de contorno de Dirichlet y todos los casos intermedios. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle b=1}$

Ahora, un truco maravilloso, muy utilizado para explorar la dinámica con la teoría de la bifurcación . Como el parámetro es constante, se agrega la ecuación diferencial trivialmente verdadera. ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\frac {\partial b}{\partial t}}=0}$

Entonces, en el espacio de estados extendido del campo y parámetro en evolución, , existe una infinidad de equilibrios, no sólo un equilibrio, con (aislante) y constante, digamos . Sin entrar en detalles, sobre cada uno de los equilibrios la difusión linealizada tiene dos valores propios cero y para todos los demás son negativos (menores que ). Por lo tanto, la dinámica bidimensional en las variedades lentas emerge (ver emergencia ) de la difusión no lineal sin importar cuán complicadas sean las condiciones iniciales. ${\displaystyle (b,u(x))}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle u=}$ ${\displaystyle u=a}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle -\pi ^{2}a/4}$

Aquí se puede verificar directamente que la variedad lenta es precisamente el campo donde la amplitud evoluciona de acuerdo con ${\displaystyle u(x,t)=a(t)(1-bx^{2})}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {da}{dt}}=-2a^{2}b\quad {\text{and }}{\frac {db}{dt}}=0.}$

Es decir, después de los transitorios iniciales que por difusión suavizan las estructuras internas, el comportamiento emergente es el de un decaimiento relativamente lento de la amplitud ( ) a una velocidad controlada por el tipo de condición de contorno (constante ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Obsérvese que este modelo de variedad lenta es global en , ya que cada equilibrio está necesariamente en el subespacio lento de cada uno de los otros equilibrios, pero es solo local en el parámetro . Todavía no podemos estar seguros de qué tan grande puede tomarse, pero la teoría nos asegura que los resultados se cumplen para algún parámetro finito . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Quizás la variedad lenta estocástica no trivial más simple

El modelado estocástico es mucho más complicado; este ejemplo ilustra solo una de esas complicaciones. Consideremos para un parámetro pequeño la dinámica de dos variables de este sistema lineal forzada con ruido del recorrido aleatorio : ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle W(t)}$

${\displaystyle dx=\varepsilon y\,dt\quad {\text{and}}\quad dy=-y\,dt+dW\,.}$

Se podría simplemente notar que el proceso de Ornstein-Uhlenbeck es formalmente la integral histórica ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y=\int _{-\infty }^{t}\exp(s-t)\,dW(s)}$

y luego afirman que es simplemente la integral de esta integral histórica. Sin embargo, esta solución contiene entonces, de manera inapropiada, integrales de tiempo rápido, debido a que en el integrando, en un modelo de tiempo supuestamente largo. ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \exp(s-t)}$

Alternativamente, una transformación de coordenadas estocásticas extrae un modelo sólido para la dinámica a largo plazo. Cambie las variables a donde ${\displaystyle (X(t),Y(t))}$

${\displaystyle y=Y+\int _{-\infty }^{t}\exp(s-t)\,dW(s)\quad {\text{and}}\quad x=X-\varepsilon Y-\varepsilon \int _{-\infty }^{t}\exp(s-t)\,dW(s)}$

Luego las nuevas variables evolucionan de acuerdo a lo simple.

${\displaystyle dX=\varepsilon \,dW\quad {\text{and}}\quad dY=-Y\,dt.}$

En estas nuevas coordenadas deducimos rápidamente de forma exponencial, dejando de experimentar un paseo aleatorio para ser el modelo de largo plazo de la dinámica estocástica en la variedad estocástica lenta obtenida al establecer . ${\displaystyle Y(t)\to 0}$ ${\displaystyle X(t)=\epsilon W(t)}$ ${\displaystyle Y=0}$

Un servicio web construye dichas variedades lentas en dimensiones finitas, tanto deterministas como estocásticas. ^[12]

Véase también

• Ecuaciones cuasi-geostróficas

Referencias

1. J. Carr, Aplicaciones de la teoría de variedades centrales , Applied Math. Sci. 35 , 1981, Springer-Verlag
2. YA Kuznetsov, Elementos de la teoría de bifurcación aplicada , Applied Mathematical Sciences 112 , 1995, Springer-Verlag
3. R. Camassa, Sobre la geometría de una variedad atmosférica lenta, Physica D , 84 :357–397, 1995.
4. Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "El teorema de Hartman-Grobman para ecuaciones diferenciales de tipo Caratheodory en espacios de Banach". Análisis no lineal . 40 (1–8): 91–104. doi :10.1016/S0362-546X(00)85006-3.
5. Ludwig Arnold, Sistemas dinámicos aleatorios , Monografías Springer en Matemáticas, 2003.
6. AJ Roberts, La forma normal transforma modos lentos y rápidos separados en sistemas dinámicos estocásticos, Physica A 387 :12–38, 2008.
7. Ludwig Arnold y Peter Imkeller, Formas normales para ecuaciones diferenciales estocásticas, Probab. Theory Relat. Fields , 110 :559–588, 1998.
8. AJ Roberts, Ejemplos simples de la derivación de ecuaciones de amplitud para sistemas de ecuaciones que poseen bifurcaciones, J. Austral. Math. Soc. B , 27 , 48–65, 1985.
9. EN Lorenz, Sobre la existencia de una variedad lenta, Journal of the Atmospheric Sciences 43 :1547–1557, 1986.
10. E. Lorenz y Krishnamurty, Sobre la inexistencia de una variedad lenta, J. Atmos. Sci. 44 :2940–2950, ​​1987.
11. James Murdock, Formas normales y desdoblamientos para sistemas dinámicos locales, Springer Monographs in Mathematics, 2003, Springer
12. AJ Roberts, Forma normal de ecuaciones diferenciales multiescala estocásticas o deterministas , http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/sdenf.html, 2009.