Sistema hamiltoniano superintegrable

En matemáticas, un sistema hamiltoniano superintegrable es un sistema hamiltoniano en una variedad simpléctica -dimensional para el que se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle 2n}$

(i) Existen integrales de movimiento independientes . Sus superficies de nivel (subvariedades invariantes) forman una variedad fibrada sobre un subconjunto abierto conexo . ${\displaystyle k>n}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle F:Z\to N=F(Z)}$ ${\displaystyle N\subset \mathbb {R} ^{k}}$

(ii) Existen funciones reales suaves en tales que el corchete de Poisson de las integrales de movimiento se lee . ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{F_{i},F_{j}\}=s_{ij}\circ F}$

(iii) La función matricial es de corank constante en . ${\displaystyle s_{ij}}$ ${\displaystyle m=2n-k}$ ${\displaystyle N}$

Si , este es el caso de un sistema hamiltoniano completamente integrable . El teorema de Mishchenko-Fomenko para sistemas hamiltonianos superintegrables generaliza el teorema de Liouville-Arnold sobre las coordenadas del ángulo de acción de un sistema hamiltoniano completamente integrable de la siguiente manera. ${\displaystyle k=n}$

Sean las subvariedades invariantes de un sistema hamiltoniano superintegrable conexas compactas y mutuamente difeomorfas. Entonces la variedad fibrada es un fibrado en toros . Existe un entorno abierto de que es un fibrado trivial provisto de las coordenadas del fibrado (ángulo de acción generalizado) , , tales que son coordenadas en . Estas coordenadas son las coordenadas de Darboux en una variedad simpléctica . Un hamiltoniano de un sistema superintegrable depende solo de las variables de acción que son las funciones de Casimir de la estructura de Poisson coinducida en . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T^{m}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (I_{A},p_{i},q^{i},\phi ^{A})}$ ${\displaystyle A=1,\ldots ,m}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n-m}$ ${\displaystyle (\phi ^{A})}$ ${\displaystyle T^{m}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I_{A}}$ ${\displaystyle F(U)}$

El teorema de Liouville-Arnold para sistemas completamente integrables y el teorema de Mishchenko-Fomenko para los superintegrables se generalizan al caso de subvariedades invariantes no compactas. Son difeomorfos respecto de un cilindro toroidal . ${\displaystyle T^{m-r}\times \mathbb {R} ^{r}}$

Véase también

• Sistema integrable
• Coordenadas del ángulo de acción
• Mecánica de Nambu
• Vector de Laplace-Runge-Lenz
• Tensor de Fradkin

Referencias

• Mishchenko, A., Fomenko, A., Método generalizado de Liouville para la integración de sistemas hamiltonianos, Funct. Anal. Appl. 12 (1978) 113. doi :10.1007/BF01076254
• Bolsinov, A., Jovanovic, B., Integrabilidad no conmutativa, mapa de momentos y flujos geodésicos, Ann. Global Anal. Geom. 23 (2003) 305; arXiv :math-ph/0109031.
• Fasso, F., Sistemas hamiltonianos superintegrables: geometría y perturbaciones, Acta Appl. Math. 87 (2005) 93. doi :10.1007/s10440-005-1139-8
• Fiorani, E., Sardanashvily, G. , Coordenadas de ángulo de acción global para sistemas completamente integrables con variedades invariantes no compactas, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; arXiv :math/0610790.
• Miller, W., Jr, Post, S., Winternitz P., Superintegrabilidad clásica y cuántica con aplicaciones, J. Phys. A 46 (2013), núm. 42, 423001, doi :10.1088/1751-8113/46/42/423001 arXiv :1309.2694
• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Métodos geométricos en mecánica clásica y cuántica (World Scientific, Singapur, 2010) ISBN 978-981-4313-72-8 ; arXiv :1303.5363.