Sistema de parámetros distribuidos

Sistema con un espacio de estados de dimensión infinita

En teoría de control , un sistema de parámetros distribuidos (a diferencia de un sistema de parámetros concentrados ) es un sistema cuyo espacio de estados es de dimensión infinita. Por lo tanto, estos sistemas también se conocen como sistemas de dimensión infinita. Ejemplos típicos son los sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales parciales o mediante ecuaciones diferenciales de retardo .

Sistemas de parámetros distribuidos lineales e invariantes en el tiempo

Ecuaciones de evolución abstracta

Tiempo discreto

Con espacios de Hilbert U , X e Y y  ∈  L ( X ),  ∈  L ( U ,  X ),  ∈  L ( X ,  Y ) y  ∈  L ( U ,  Y ) las siguientes ecuaciones diferenciales determinan un sistema lineal discreto e invariante en el tiempo : ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle B\,}$ ${\displaystyle C\,}$ ${\displaystyle D\,}$

${\displaystyle x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)\,}$

${\displaystyle y(k)=Cx(k)+Du(k)\,}$

con (el estado) una secuencia con valores en X , (la entrada o control) una secuencia con valores en U y (la salida) una secuencia con valores en Y . ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle u\,}$ ${\displaystyle y\,}$

Tiempo continuo

El caso de tiempo continuo es similar al caso de tiempo discreto, pero ahora se consideran ecuaciones diferenciales en lugar de ecuaciones de diferencia:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\,}$,

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)\,}$.

Sin embargo, ahora se suma una complicación: para incluir ejemplos físicos interesantes, como ecuaciones diferenciales parciales y ecuaciones diferenciales de retardo, en este marco abstracto, uno se ve obligado a considerar operadores ilimitados . Por lo general, se supone que A genera un semigrupo fuertemente continuo en el espacio de estados X. Suponer que B , C y D son operadores acotados ya permite la inclusión de muchos ejemplos físicos interesantes, ^[1] pero la inclusión de muchos otros ejemplos físicos interesantes también fuerza la ilimitación de B y C.

Ejemplo: una ecuación diferencial parcial

La ecuación diferencial parcial con y está dada por ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle \xi \in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}w(t,\xi )=-{\frac {\partial }{\partial \xi }}w(t,\xi )+u(t),}$

${\displaystyle w(0,\xi )=w_{0}(\xi ),}$

${\displaystyle w(t,0)=0,}$

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{1}w(t,\xi )\,d\xi ,}$

encaja en el marco de la ecuación de evolución abstracta descrita anteriormente de la siguiente manera. El espacio de entrada U y el espacio de salida Y se eligen como el conjunto de números complejos. El espacio de estado X se elige como L ² (0, 1). El operador A se define como

${\displaystyle Ax=-x',~~~D(A)=\left\{x\in X:x{\text{ absolutely continuous }},x'\in L^{2}(0,1){\text{ and }}x(0)=0\right\}.}$

Se puede demostrar ^[2] que A genera un semigrupo fuertemente continuo en X . Los operadores acotados B , C y D se definen como

${\displaystyle Bu=u,~~~Cx=\int _{0}^{1}x(\xi )\,d\xi ,~~~D=0.}$

Ejemplo: una ecuación diferencial de retardo

La ecuación diferencial de retardo

${\displaystyle {\dot {w}}(t)=w(t)+w(t-\tau )+u(t),}$

${\displaystyle y(t)=w(t),}$

encaja en el marco de la ecuación de evolución abstracta descrita anteriormente de la siguiente manera. El espacio de entrada U y el espacio de salida Y se eligen para ser el conjunto de números complejos. El espacio de estado X se elige para ser el producto de los números complejos con L ² (− τ , 0). El operador A se define como

${\displaystyle A{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r+f(-\tau )\\f'\end{pmatrix}},~~~D(A)=\left\{{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}\in X:f{\text{ absolutely continuous }},f'\in L^{2}([-\tau ,0]){\text{ and }}r=f(0)\right\}.}$

Se puede demostrar ^[3] que A genera un semigrupo fuertemente continuo en X. Los operadores acotados B , C y D se definen como

${\displaystyle Bu={\begin{pmatrix}u\\0\end{pmatrix}},~~~C{\begin{pmatrix}r\\f\end{pmatrix}}=r,~~~D=0.}$

Funciones de transferencia

Como en el caso de dimensión finita, la función de transferencia se define a través de la transformada de Laplace (tiempo continuo) o la transformada Z (tiempo discreto). Mientras que en el caso de dimensión finita la función de transferencia es una función racional propia, la dimensionalidad infinita del espacio de estados conduce a funciones irracionales (que, sin embargo, siguen siendo holomorfas ).

Tiempo discreto

En tiempo discreto, la función de transferencia se da en términos de los parámetros del espacio de estados por y es holomorfa en un disco centrado en el origen. ^[4] En el caso de que 1/ z pertenezca al conjunto resolvente de A (que es el caso en un disco posiblemente más pequeño centrado en el origen), la función de transferencia es igual a . Un hecho interesante es que cualquier función que sea holomorfa en cero es la función de transferencia de algún sistema de tiempo discreto. ${\displaystyle D+\sum _{k=0}^{\infty }CA^{k}Bz^{k}}$ ${\displaystyle D+Cz(I-zA)^{-1}B}$

Tiempo continuo

Si A genera un semigrupo fuertemente continuo y B , C y D son operadores acotados, entonces ^[5] la función de transferencia se da en términos de los parámetros del espacio de estados por para s con una parte real mayor que el límite de crecimiento exponencial del semigrupo generado por A . En situaciones más generales, esta fórmula tal como está puede no tener sentido, pero una generalización apropiada de esta fórmula aún es válida. ^[6] Para obtener una expresión fácil para la función de transferencia, a menudo es mejor tomar la transformada de Laplace en la ecuación diferencial dada que usar las fórmulas del espacio de estados como se ilustra a continuación en los ejemplos dados anteriormente. ${\displaystyle D+C(sI-A)^{-1}B}$

Función de transferencia para el ejemplo de ecuación diferencial parcial

Fijando la condición inicial igual a cero y denotando las transformadas de Laplace con respecto a t con letras mayúsculas, obtenemos de la ecuación diferencial parcial dada anteriormente ${\displaystyle w_{0}}$

${\displaystyle sW(s,\xi )=-{\frac {d}{d\xi }}W(s,\xi )+U(s),}$

${\displaystyle W(s,0)=0,}$

${\displaystyle Y(s)=\int _{0}^{1}W(s,\xi )\,d\xi .}$

Esta es una ecuación diferencial lineal no homogénea con como variable, s como parámetro y condición inicial cero. La solución es . Sustituyendo esto en la ecuación por Y e integrando se obtiene que la función de transferencia es . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle W(s,\xi )=U(s)(1-e^{-s\xi })/s}$ ${\displaystyle Y(s)=U(s)(e^{-s}+s-1)/s^{2}}$ ${\displaystyle (e^{-s}+s-1)/s^{2}}$

Ejemplo de función de transferencia para la ecuación diferencial de retardo

Procediendo de manera similar al ejemplo de ecuación diferencial parcial, la función de transferencia para el ejemplo de ecuación de retardo es ^[7] . ${\displaystyle 1/(s-1-e^{-s})}$

Controlabilidad

En el caso de dimensión infinita, existen varias definiciones no equivalentes de controlabilidad que, en el caso de dimensión finita, se reducen a la única noción habitual de controlabilidad. Los tres conceptos de controlabilidad más importantes son:

• Controlabilidad exacta,
• Controlabilidad aproximada,
• Controlabilidad nula.

Controlabilidad en tiempo discreto

Un papel importante lo desempeñan los mapas que mapean el conjunto de todas las secuencias con valores U en X y están dados por . La interpretación es que es el estado que se alcanza al aplicar la secuencia de entrada u cuando la condición inicial es cero. El sistema se llama ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}u=\sum _{k=0}^{n}A^{k}Bu_{k}}$ ${\displaystyle \Phi _{n}u}$

• exactamente controlable en el tiempo n si el rango de es igual a X , ${\displaystyle \Phi _{n}}$
• aproximadamente controlable en el tiempo n si el rango de es denso en X , ${\displaystyle \Phi _{n}}$
• nulo controlable en el tiempo n si el rango de incluye el rango de A ⁿ . ${\displaystyle \Phi _{n}}$

Controlabilidad en tiempo continuo

En la controlabilidad de sistemas de tiempo continuo, la función dada por juega el mismo papel que en el tiempo discreto. Sin embargo, el espacio de funciones de control sobre el que actúa este operador influye ahora en la definición. La elección habitual es L ² (0, ∞; U ), el espacio de (clases de equivalencia de) funciones integrables cuadradas de valor U en el intervalo (0, ∞), pero son posibles otras elecciones como L ¹ (0, ∞; U ). Las diferentes nociones de controlabilidad se pueden definir una vez que se elige el dominio de . El sistema se llama ^[8] ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{t}{\rm {e}}^{As}Bu(s)\,ds}$ ${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{t}}$

• exactamente controlable en el tiempo t si el rango de es igual a X , ${\displaystyle \Phi _{t}}$
• aproximadamente controlable en el tiempo t si el rango de es denso en X , ${\displaystyle \Phi _{t}}$
• nulo controlable en el tiempo t si el rango de incluye el rango de . ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle {\rm {e}}^{At}}$

Observabilidad

Al igual que en el caso de dimensión finita, la observabilidad es la noción dual de controlabilidad. En el caso de dimensión infinita hay varias nociones diferentes de observabilidad que en el caso de dimensión finita coinciden. Las tres más importantes son:

• Observabilidad exacta (también conocida como observabilidad continua),
• Observabilidad aproximada,
• Observabilidad del estado final.

Observabilidad en tiempo discreto

Un papel importante lo desempeñan las funciones que asignan X al espacio de todas las secuencias con valores Y y que están dadas por si k  ≤  n y cero si k  >  n . La interpretación es que es la salida truncada con condición inicial x y control cero. El sistema se llama ${\displaystyle \Psi _{n}}$ ${\displaystyle (\Psi _{n}x)_{k}=CA^{k}x}$ ${\displaystyle \Psi _{n}x}$

• exactamente observable en el tiempo n si existe un k _n  > 0 tal que para todo x  ∈  X , ${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|x\|}$
• aproximadamente observable en el tiempo n si es inyectiva , ${\displaystyle \Psi _{n}}$
• estado final observable en el tiempo n si existe un k _n  > 0 tal que para todo x  ∈  X . ${\displaystyle \|\Psi _{n}x\|\geq k_{n}\|A^{n}x\|}$

Observabilidad en tiempo continuo

En la observabilidad de sistemas de tiempo continuo, la función dada por para s∈[0,t] y cero para s>t desempeña el papel que desempeña en tiempo discreto. Sin embargo, el espacio de funciones al que se aplica este operador influye ahora en la definición. La elección habitual es L ² (0, ∞,  Y ), el espacio de (clases de equivalencia de) funciones integrables cuadradas de valor Y en el intervalo (0,∞) , pero son posibles otras elecciones como L ¹ (0, ∞,  Y ). Las diferentes nociones de observabilidad se pueden definir una vez que se elige el codominio de . El sistema se llama ^[9] ${\displaystyle \Psi _{t}}$ ${\displaystyle (\Psi _{t})(s)=C{\rm {e}}^{As}x}$ ${\displaystyle \Psi _{n}}$ ${\displaystyle \Psi _{t}}$

• exactamente observable en el tiempo t si existe un k _t  > 0 tal que para todo x  ∈  X , ${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|x\|}$
• aproximadamente observable en el tiempo t si es inyectiva , ${\displaystyle \Psi _{t}}$
• estado final observable en el tiempo t si existe un k _t  > 0 tal que para todo x  ∈  X . ${\displaystyle \|\Psi _{t}x\|\geq k_{t}\|{\rm {e}}^{At}x\|}$

Dualidad entre controlabilidad y observabilidad

Como en el caso de dimensión finita, la controlabilidad y la observabilidad son conceptos duales (al menos cuando se hace la elección habitual L ² para el dominio de y el codominio de ). La correspondencia bajo dualidad de los diferentes conceptos es: ^[10] ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Psi }$

• Controlabilidad exacta ↔ Observabilidad exacta,
• Controlabilidad aproximada ↔ Observabilidad aproximada,
• Controlabilidad nula ↔ Observabilidad del estado final.

Véase también

• Teoría del control
• Espacio de estados (controles)

Notas

1. Cortina y Zwart
2. Ejemplo de cortina y Zwart 2.2.4
3. Teorema de la cortina y Zwart 2.4.6
4. Esta es la convención matemática, los ingenieros parecen preferir que las funciones de transferencia sean holomorfas en el infinito; esto se logra reemplazando z por 1/ z
5. Cortina y Zwart Lema 4.3.6
6. Teorema de Staffans 4.6.7
7. Ejemplo de cortina y Zwart 4.3.13
8. Definición de Tucsnak 11.1.1
9. Definición de Tucsnak 6.1.1
10. Teorema de Tucsnak 11.2.1

Referencias

• Curtain, Ruth ; Zwart, Hans (1995), Introducción a la teoría de sistemas lineales de dimensión infinita , Springer
• Tucsnak, Marius; Weiss, George (2009), Observación y control para semigrupos de operadores , Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Sistemas lineales bien planteados , Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Estabilidad y estabilización de sistemas de dimensión infinita con aplicaciones , Springer
• Lasiecka, Irena ; Triggiani, Roberto (2000), Teoría de control para ecuaciones diferenciales parciales , Cambridge University Press
• Bensoussan, Alain; Da Prato, Giuseppe; Delfour, Michel; Mitter, Sanjoy (2007), Representación y control de sistemas de dimensión infinita (segunda ed.), Birkhauser