Problema de dos cuerpos

Problema de movimiento en la mecánica clásica

Izquierda: Dos cuerpos de masa similar orbitando un baricentro común externo a ambos cuerpos, con órbitas elípticas . Este modelo es típico de las estrellas binarias .
Derecha: Dos cuerpos con una "ligera" diferencia de masa orbitando un baricentro común. Sus tamaños y este tipo de órbita son similares al sistema Plutón-Caronte (en el que el baricentro es externo a ambos cuerpos), así como al sistema Tierra - Luna (en el que el baricentro es interno al cuerpo mayor).

En mecánica clásica , el problema de los dos cuerpos consiste en calcular y predecir el movimiento de dos cuerpos masivos que orbitan entre sí en el espacio. El problema supone que los dos cuerpos son partículas puntuales que interactúan únicamente entre sí; la única fuerza que afecta a cada objeto surge del otro y se ignoran todos los demás objetos.

El ejemplo más destacado del problema clásico de los dos cuerpos es el caso gravitacional (véase también el problema de Kepler ), que surge en astronomía para predecir las órbitas (o escapes de la órbita) de objetos como satélites , planetas y estrellas . Un modelo de dos partículas puntuales de un sistema de este tipo casi siempre describe su comportamiento lo suficientemente bien como para proporcionar información y predicciones útiles.

Un modelo más simple de "un cuerpo", el " problema de la fuerza central ", trata a un objeto como la fuente inmóvil de una fuerza que actúa sobre el otro. A continuación, se intenta predecir el movimiento del único objeto móvil restante. Esta aproximación puede dar resultados útiles cuando un objeto es mucho más masivo que el otro (como en el caso de un planeta ligero que orbita alrededor de una estrella pesada, en cuyo caso la estrella puede considerarse esencialmente estacionaria).

Sin embargo, la aproximación de un cuerpo suele ser innecesaria, salvo como paso previo. Para muchas fuerzas, incluidas las gravitacionales, la versión general del problema de dos cuerpos se puede reducir a un par de problemas de un cuerpo, lo que permite resolverlo por completo y proporciona una solución lo suficientemente simple como para ser utilizada de manera efectiva.

Por el contrario, el problema de los tres cuerpos (y, más generalmente, el problema de n cuerpos para n  ≥ 3) no puede resolverse en términos de primeras integrales, excepto en casos especiales.

Resultados de casos destacados

Gravitación y otros ejemplos de cuadrado inverso

El problema de los dos cuerpos es interesante en astronomía porque los pares de objetos astronómicos a menudo se mueven rápidamente en direcciones arbitrarias (por lo que sus movimientos se vuelven interesantes), están muy separados entre sí (por lo que no colisionarán) e incluso más separados de otros objetos (por lo que las influencias externas serán lo suficientemente pequeñas como para ignorarlas con seguridad).

Bajo la fuerza de la gravedad , cada miembro de un par de tales objetos orbitará alrededor de su centro de masa mutuo en un patrón elíptico, a menos que se muevan lo suficientemente rápido como para escaparse uno del otro por completo, en cuyo caso sus trayectorias divergirán a lo largo de otras secciones cónicas planas . Si un objeto es mucho más pesado que el otro, se moverá mucho menos que el otro con referencia al centro de masa compartido. El centro de masa mutuo puede incluso estar dentro del objeto más grande.

Para la derivación de las soluciones del problema, véase Problema de fuerza central clásico o Problema de Kepler .

En principio, las mismas soluciones se aplican a problemas macroscópicos que involucran objetos que interactúan no sólo a través de la gravedad, sino a través de cualquier otro campo de fuerza escalar atractivo que obedece a una ley del inverso del cuadrado , siendo la atracción electrostática el ejemplo físico obvio. En la práctica, tales problemas rara vez surgen. Excepto quizás en aparatos experimentales u otros equipos especializados, rara vez encontramos objetos que interactúan electrostáticamente que se mueven lo suficientemente rápido y en tal dirección como para evitar colisionar, y/o que están lo suficientemente aislados de su entorno.

El sistema dinámico de un sistema de dos cuerpos bajo la influencia del torque resulta ser una ecuación de Sturm-Liouville . ^[1]

Inaplicabilidad a átomos y partículas subatómicas

Aunque el modelo de dos cuerpos trata los objetos como partículas puntuales, la mecánica clásica sólo se aplica a sistemas de escala macroscópica. La mayor parte del comportamiento de las partículas subatómicas no se puede predecir con los supuestos clásicos que sustentan este artículo o utilizando las matemáticas que se presentan aquí.

A veces se dice que los electrones de un átomo "orbitan" alrededor de su núcleo , siguiendo una conjetura temprana de Niels Bohr (de ahí el término " orbital "). Sin embargo, los electrones en realidad no orbitan alrededor de núcleos en ningún sentido significativo, y la mecánica cuántica es necesaria para cualquier comprensión útil del comportamiento real del electrón. Resolver el problema clásico de los dos cuerpos para un electrón que orbita alrededor de un núcleo atómico es engañoso y no produce muchos conocimientos útiles.

Reducción a dos problemas independientes de un solo cuerpo

El problema completo de los dos cuerpos se puede resolver reformulándolo como dos problemas de un cuerpo: uno trivial y otro que implica resolver el movimiento de una partícula en un potencial externo . Dado que muchos problemas de un cuerpo se pueden resolver con exactitud, el problema de dos cuerpos correspondiente también se puede resolver.

Coordenadas de Jacobi para el problema de dos cuerpos; Las coordenadas de Jacobi son y con . ^[2] ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}}$ ${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}\ }$

Sean x ₁ y x ₂ las posiciones vectoriales de los dos cuerpos, y m ₁ y m ₂ sus masas. El objetivo es determinar las trayectorias x ₁ ( t ) y x ₂ ( t ) para todos los tiempos t , dadas las posiciones iniciales x ₁ ( t = 0) y x ₂ ( t = 0) y las velocidades iniciales v ₁ ( t = 0) y v ₂ ( t = 0) .

Cuando se aplica a las dos masas, la segunda ley de Newton establece que

donde F ₁₂ es la fuerza sobre la masa 1 debido a sus interacciones con la masa 2, y F ₂₁ es la fuerza sobre la masa 2 debido a sus interacciones con la masa 1. Los dos puntos en la parte superior de los vectores de posición x denotan su segunda derivada con respecto al tiempo, o sus vectores de aceleración.

Sumando y restando estas dos ecuaciones se obtienen dos problemas de un cuerpo que se pueden resolver de forma independiente. Sumando las ecuaciones (1) y ( 2 ) se obtiene una ecuación que describe el movimiento del centro de masas ( baricentro ). Por el contrario, restando la ecuación (2) de la ecuación (1) se obtiene una ecuación que describe cómo cambia con el tiempo el vector r = x ₁ − x ₂ entre las masas. Las soluciones de estos problemas de un cuerpo independientes se pueden combinar para obtener las soluciones de las trayectorias x ₁ ( t ) y x ₂ ( t ) .

Movimiento del centro de masas (primer problema de un cuerpo)

Sea la posición del centro de masa ( baricentro ) del sistema. La suma de las ecuaciones de fuerza (1) y (2) da como resultado donde hemos utilizado la tercera ley de Newton F ₁₂ = − F ₂₁ y donde ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {R} }}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0}$$ $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {R} }}\equiv {\frac {m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

La ecuación resultante: muestra que la velocidad del centro de masas es constante, de lo que se deduce que el momento total m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂ también es constante ( conservación del momento ). Por lo tanto, la posición R ( t ) del centro de masas se puede determinar en todo momento a partir de las posiciones y velocidades iniciales. $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {R} }}=0}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {dR}{dt}}}$

Movimiento vectorial de desplazamiento (segundo problema de un cuerpo)

Dividiendo ambas ecuaciones de fuerza por las masas respectivas, restando la segunda ecuación de la primera y reordenando, obtenemos la ecuación donde nuevamente hemos utilizado la tercera ley de Newton F ₁₂ = − F ₂₁ y donde r es el vector de desplazamiento de la masa 2 a la masa 1, como se definió anteriormente. $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}}$$

La fuerza entre los dos objetos, que se origina en los dos objetos, solo debería ser una función de su separación r y no de sus posiciones absolutas x ₁ y x ₂ ; de lo contrario, no habría simetría traslacional y las leyes de la física tendrían que cambiar de un lugar a otro. Por lo tanto, la ecuación sustraída se puede escribir: donde es la masa reducida $${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )}$$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

Resolver la ecuación para r ( t ) es la clave del problema de los dos cuerpos. La solución depende de la fuerza específica entre los cuerpos, que se define por . Para el caso donde sigue una ley del cuadrado inverso , véase el problema de Kepler . ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$

Una vez que se han determinado R ( t ) y r ( t ) , se pueden obtener las trayectorias originales , como se puede verificar sustituyendo las definiciones de R y r en los lados derechos de estas dos ecuaciones. $${\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {R} (t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {R} (t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)}$$

El movimiento de dos cuerpos es plano

El movimiento de dos cuerpos uno con respecto al otro siempre se produce en un plano (en el centro del marco de masa ).

Demostración: Definir el momento lineal p y el momento angular L del sistema, con respecto al centro de masas, mediante las ecuaciones $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \mu {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},}$$

donde μ es la masa reducida y r es la posición relativa r ₂ − r ₁ (escritas tomando el centro de masa como origen, y por lo tanto ambas paralelas a r ) la tasa de cambio del momento angular L es igual al torque neto N y usando la propiedad del producto vectorial que v × w = 0 para cualquier vector v y w que apunte en la misma dirección, $${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}\ ,}$$

$${\displaystyle \mathbf {N} \ =\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,}$$con F = μ  d ² r / dt ² .

Introduciendo la suposición (cierta para la mayoría de las fuerzas físicas, ya que obedecen a la tercera ley fuerte del movimiento de Newton ) de que la fuerza entre dos partículas actúa a lo largo de la línea entre sus posiciones, se deduce que r × F = 0 y el vector de momento angular L es constante (se conserva). Por lo tanto, el vector de desplazamiento r y su velocidad v están siempre en el plano perpendicular al vector constante L .

Energía del sistema de dos cuerpos

Si la fuerza F ( r ) es conservativa , entonces el sistema tiene una energía potencial U ( r ) , por lo que la energía total se puede escribir como $${\displaystyle E_{\text{tot}}={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+U(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\dot {\mathbf {R} }}^{2}+{1 \over 2}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )}$$

En el marco del centro de masas la energía cinética es la más baja y la energía total se convierte en Las coordenadas x ₁ y x ₂ se pueden expresar como y de manera similar la energía E está relacionada con las energías E ₁ y E ₂ que contienen por separado la energía cinética de cada cuerpo: $${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} _{1}={\frac {\mu }{m_{1}}}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=-{\frac {\mu }{m_{2}}}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}&={\frac {\mu }{m_{1}}}E={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {\mu }{m_{1}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{2}&={\frac {\mu }{m_{2}}}E={\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+{\frac {\mu }{m_{2}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{\text{tot}}&=E_{1}+E_{2}\end{aligned}}}$$

Fuerzas centrales

Para muchos problemas físicos, la fuerza F ( r ) es una fuerza central , es decir, tiene la forma donde r = | r | y r̂ = r / r es el vector unitario correspondiente . Ahora tenemos: donde F ( r ) es negativo en el caso de una fuerza de atracción. $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$$ $${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$

Véase también

• Deriva energética
• Ecuación del centro
• Problema de los tres cuerpos de Euler
• Órbita de Kepler
• Problema de Kepler
• Problema de n -cuerpos
• Problema de los tres cuerpos
• Teorema del virial

Referencias

1. Luo, Siwei (22 de junio de 2020). "El problema de Sturm-Liouville del sistema de dos cuerpos". Journal of Physics Communications . 4 (6): 061001. Bibcode :2020JPhCo...4f1001L. doi : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .
2. David Bétounes (2001). Ecuaciones Diferenciales . Saltador. pag. 58; Figura 2.15. ISBN 0-387-95140-7.

Bibliografía

• Landau LD ; Lifshitz EM (1976). Mecánica (3.ª ed.). Nueva York: Pergamon Press . ISBN 0-08-029141-4.
• Goldstein H (1980). Mecánica clásica (2.ª ed.). Nueva York: Addison-Wesley . ISBN 0-201-02918-9.

Enlaces externos

• Problema de los dos cuerpos en el Mundo de la Física de Eric Weisstein