Variedad algebraica que es un espacio de módulos para variedades abelianas principalmente polarizadas.
Una porción 2D de una quíntica de Calabi-Yau . Una de esas quintas es biracionalmente equivalente a la compactación de la variedad modular de Siegel A 1,3 (2). [1]
La variedad modular de Siegel Ag , que parametriza variedades abelianas principalmente polarizadas de dimensión g , puede construirse como espacios analíticos complejos construidos como el cociente del semiespacio superior de Siegel de grado g por la acción de un grupo simpléctico . Los espacios analíticos complejos tienen variedades algebraicas naturalmente asociadas mediante el GAGA de Serre . [1]
La variedad modular de Siegel A g ( n ), que parametriza variedades abelianas principalmente polarizadas de dimensión g con una estructura de nivel n , surge como el cociente del semiespacio superior de Siegel por la acción del subgrupo de congruencia principal de nivel n de a grupo simplético. [1]
Una variedad modular de Siegel también puede construirse como una variedad Shimura definida por el datum Shimura asociado a un espacio vectorial simpléctico . [4]
Propiedades
La variedad modular de Siegel A g tiene dimensión g ( g + 1)/2. [1] [6] Además, Yung-Sheng Tai, Eberhard Freitag y David Mumford demostraron que Ag es de tipo general cuando g ≥ 7. [1] [7] [8] [9]
Las variedades modulares de Siegel se pueden compactar para obtener variedades proyectivas . [1] En particular, una compactación de A 2 (2) es biracionalmente equivalente a la cúbica de Segre que de hecho es racional . [1] De manera similar, una compactificación de A 2 (3) es biracionalmente equivalente al cuartico de Burkhardt , que también es racional. [1] Otra variedad modular de Siegel, denominada A 1,3 (2), tiene una compactación que es biracionalmente equivalente a la quíntica de Barth-Nieto , que es biracionalmente equivalente a una variedad modular Calabi-Yau con dimensión cero de Kodaira. [1]
Aplicaciones
Las formas modulares de Siegel surgen como formas diferenciales con valores vectoriales en las variedades modulares de Siegel. [1] Las variedades modulares de Siegel se han utilizado en la teoría de campos conforme a través de la teoría de las formas modulares de Siegel. [10] En la teoría de cuerdas , la función que captura naturalmente los microestados de la entropía de los agujeros negros en el sistema D1D5P de agujeros negros supersimétricos es una forma modular de Siegel. [5]
En 1968, Aleksei Parshin demostró que la conjetura de Mordell (ahora conocida como teorema de Faltings) se cumpliría si la conjetura de finitud de Shafarevich fuera cierta al introducir el truco de Parshin. [11] [12] En 1983 y 1984, Gerd Faltings completó la prueba de la conjetura de Mordell demostrando la conjetura de finitud de Shafarevich. [13] [14] [12] La idea principal de la prueba de Faltings es la comparación de las alturas de Faltings y las alturas ingenuas a través de las variedades modulares de Siegel. [15]
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