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Variedad modular Siegel

Una porción 2D de una quíntica de Calabi-Yau . Una de esas quintas es biracionalmente equivalente a la compactación de la variedad modular de Siegel A 1,3 (2). [1]

En matemáticas, una variedad modular de Siegel o espacio de módulos de Siegel es una variedad algebraica que parametriza ciertos tipos de variedades abelianas de una dimensión fija . Más precisamente, las variedades modulares de Siegel son los espacios de módulos de variedades abelianas principalmente polarizadas de una dimensión fija. Llevan el nombre de Carl Ludwig Siegel , el teórico de números alemán del siglo XX que introdujo las variedades en 1943. [2] [3]

Las variedades modulares Siegel son los ejemplos más básicos de variedades Shimura . [4] Las variedades modulares de Siegel generalizan espacios de módulos de curvas elípticas a dimensiones superiores y desempeñan un papel central en la teoría de las formas modulares de Siegel , que generalizan las formas modulares clásicas a dimensiones superiores. [1] También tienen aplicaciones a la entropía de los agujeros negros y a la teoría de campos conforme . [5]

Construcción

La variedad modular de Siegel Ag , que parametriza variedades abelianas principalmente polarizadas de dimensión g , puede construirse como espacios analíticos complejos construidos como el cociente del semiespacio superior de Siegel de grado g por la acción de un grupo simpléctico . Los espacios analíticos complejos tienen variedades algebraicas naturalmente asociadas mediante el GAGA de Serre . [1]

La variedad modular de Siegel A g ( n ), que parametriza variedades abelianas principalmente polarizadas de dimensión g con una estructura de nivel n , surge como el cociente del semiespacio superior de Siegel por la acción del subgrupo de congruencia principal de nivel n de a grupo simplético. [1]

Una variedad modular de Siegel también puede construirse como una variedad Shimura definida por el datum Shimura asociado a un espacio vectorial simpléctico . [4]

Propiedades

La variedad modular de Siegel A g tiene dimensión g ( g  + 1)/2. [1] [6] Además, Yung-Sheng Tai, Eberhard Freitag y David Mumford demostraron que Ag es de tipo general cuando g  ≥ 7. [1] [7] [8] [9]

Las variedades modulares de Siegel se pueden compactar para obtener variedades proyectivas . [1] En particular, una compactación de A 2 (2) es biracionalmente equivalente a la cúbica de Segre que de hecho es racional . [1] De manera similar, una compactificación de A 2 (3) es biracionalmente equivalente al cuartico de Burkhardt , que también es racional. [1] Otra variedad modular de Siegel, denominada A 1,3 (2), tiene una compactación que es biracionalmente equivalente a la quíntica de Barth-Nieto , que es biracionalmente equivalente a una variedad modular Calabi-Yau con dimensión cero de Kodaira. [1]

Aplicaciones

Las formas modulares de Siegel surgen como formas diferenciales con valores vectoriales en las variedades modulares de Siegel. [1] Las variedades modulares de Siegel se han utilizado en la teoría de campos conforme a través de la teoría de las formas modulares de Siegel. [10] En la teoría de cuerdas , la función que captura naturalmente los microestados de la entropía de los agujeros negros en el sistema D1D5P de agujeros negros supersimétricos es una forma modular de Siegel. [5]

En 1968, Aleksei Parshin demostró que la conjetura de Mordell (ahora conocida como teorema de Faltings) se cumpliría si la conjetura de finitud de Shafarevich fuera cierta al introducir el truco de Parshin. [11] [12] En 1983 y 1984, Gerd Faltings completó la prueba de la conjetura de Mordell demostrando la conjetura de finitud de Shafarevich. [13] [14] [12] La idea principal de la prueba de Faltings es la comparación de las alturas de Faltings y las alturas ingenuas a través de las variedades modulares de Siegel. [15]

Ver también

Referencias

  1. ^ abcdefghijk Hulek, Klaus; Sankaran, GK (2002). "La geometría de las variedades modulares de Siegel". Geometría biracional de dimensiones superiores . Estudios Avanzados en Matemática Pura. vol. 35. págs. 89-156. arXiv : matemáticas/9810153 . doi :10.2969/aspm/03510089. ISBN 978-4-931469-85-3. S2CID  119595519.
  2. ^ Oda, Takayuki (2014). "Intersecciones de dos paredes del dominio fundamental de Gottschling del grupo modular Siegel del género dos". En Heim, Bernhard; Al-Baali, Mehiddin; Rupp, Florian (eds.). Formas automórficas, investigación en teoría de números de Omán . Actas de Springer en Matemáticas y Estadística. vol. 115. Saltador. págs. 193-221. doi :10.1007/978-3-319-11352-4_15. ISBN 978-3-319-11352-4.
  3. ^ Siegel, Carl Ludwig (1943). "Geometría simpléctica". Revista Estadounidense de Matemáticas . Prensa de la Universidad Johns Hopkins. 65 (1): 1–86. doi :10.2307/2371774. JSTOR  2371774.
  4. ^ ab Milne, James S. (2005). "Introducción a las variedades Shimura" (PDF) . En Arturo, James; Ellwood, David; Kottwitz, Robert (eds.). Análisis armónico, fórmula de trazas y variedades Shimura . Actas de matemáticas de arcilla. vol. 4. Sociedad matemática estadounidense y Instituto de Matemáticas Clay. págs. 265–378. ISBN 978-0-8218-3844-0.
  5. ^ ab Belin, Alexandre; Castro, Alejandra; Gomes, João; Keller, Christoph A. (11 de abril de 2017). "Formas modulares de Siegel y entropía de los agujeros negros" (PDF) . Revista de Física de Altas Energías . 2017 (4): 57. arXiv : 1611.04588 . Código Bib : 2017JHEP...04..057B. doi :10.1007/JHEP04(2017)057. S2CID  53684898.Consulte la Sección 1 del documento.
  6. ^ van der Geer, Gerard (2013). "La cohomología del espacio de módulos de variedades abelianas". En Farkas, Gavril; Morrison, Ian (eds.). El manual de módulos, volumen 1 . vol. 24. Somerville, Massachusetts: Prensa internacional. arXiv : 1112.2294 . ISBN 9781571462572.
  7. ^ Tai, Yung-Sheng (1982). "Sobre la dimensión de Kodaira del espacio de módulos de variedades abelianas". Invenciones Mathematicae . 68 (3): 425–439. Código Bib : 1982 InMat..68..425T. doi :10.1007/BF01389411. S2CID  120441933.
  8. ^ Freitag, Eberhard (1983). Funciones de módulo Siegelsche . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (en alemán). vol. 254. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-642-68649-8. ISBN 978-3-642-68650-4.
  9. ^ Mumford, David (1983). "Sobre la dimensión Kodaira de la variedad modular Siegel". En Ciliberto, C.; Ghione, F.; Orecchia, F. (eds.). Geometría algebraica - Problemas abiertos, Actas de la conferencia celebrada en Ravello, 31 de mayo - 5 de junio de 1982 . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 997. Saltador. págs. 348–375. doi :10.1007/BFb0061652. ISBN 978-3-540-12320-0.
  10. ^ Belín, Alejandro; Castro, Alejandra; Gomes, João; Keller, Christoph A. (7 de noviembre de 2018). "Formas paramodulares de Siegel y escasez en AdS3/CFT2". Revista de Física de Altas Energías . 2018 (11): 37. arXiv : 1805.09336 . Código Bib : 2018JHEP...11..037B. doi :10.1007/JHEP11(2018)037. S2CID  54936474.
  11. ^ Parshin, AN (1968). «Curvas algebraicas sobre campos funcionales I» (PDF) . Izv. Akád. Nauk. Ser. SSSR. Matemáticas. 32 (5): 1191-1219. Código bibliográfico : 1968IzMat...2.1145P. doi :10.1070/IM1968v002n05ABEH000723.
  12. ^ ab Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. , eds. (1986). Geometría aritmética. Artículos de la conferencia celebrada en la Universidad de Connecticut, Storrs, Connecticut, del 30 de julio al 10 de agosto de 1984 . Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4613-8655-1. ISBN 0-387-96311-1. SEÑOR  0861969.
  13. ^ Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Teoremas de finitud para variedades abelianas en campos numéricos]. Inventiones Mathematicae (en alemán). 73 (3): 349–366. Código Bib : 1983 InMat..73..349F. doi :10.1007/BF01388432. SEÑOR  0718935. S2CID  121049418.
  14. ^ Faltings, Gerd (1984). "Errata: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern". Inventiones Mathematicae (en alemán). 75 (2): 381. doi : 10.1007/BF01388572 . SEÑOR  0732554.
  15. ^ "Faltings relaciona las dos nociones de altura mediante el espacio de módulos de Siegel... Es la idea principal de la prueba". Bloch, Spencer (1984). "La prueba de la conjetura de Mordell" (PDF) . El inteligente matemático . 6 (2): 44. doi :10.1007/BF03024155. S2CID  306251. Archivado desde el original (PDF) el 3 de marzo de 2019.