Sistema cuántico de dos estados

Sistema mecánico cuántico simple

Un átomo de plata eléctricamente neutro irradia a través del campo magnético no homogéneo del experimento de Stern-Gerlach y se divide en dos, cada uno de los cuales corresponde a un posible valor de espín del electrón más externo del átomo de plata.

En mecánica cuántica , un sistema de dos estados (también conocido como sistema de dos niveles ) es un sistema cuántico que puede existir en cualquier superposición cuántica de dos estados cuánticos independientes (físicamente distinguibles) . El espacio de Hilbert que describe tal sistema es bidimensional . Por lo tanto, una base completa que abarque el espacio constará de dos estados independientes. Cualquier sistema de dos estados también puede verse como un qubit .

Los sistemas de dos estados son los sistemas cuánticos más simples que son de interés, ya que la dinámica de un sistema de un estado es trivial (ya que no hay otros estados en los que el sistema pueda existir). El marco matemático necesario para el análisis de sistemas de dos estados es el de ecuaciones diferenciales lineales y álgebra lineal de espacios bidimensionales. Como resultado, la dinámica de un sistema de dos Estados puede resolverse analíticamente sin ninguna aproximación. El comportamiento genérico del sistema es que la amplitud de la función de onda oscila entre los dos estados.

Un ejemplo muy conocido de un sistema de dos estados es el espín de una partícula de espín 1/2, como un electrón, cuyo espín puede tener valores + ħ /2 o − ħ /2, donde ħ es la constante de Planck reducida .

El sistema de dos estados no puede usarse como descripción de absorción o desintegración, porque tales procesos requieren un acoplamiento a un continuo. Tales procesos implicarían una caída exponencial de las amplitudes, pero las soluciones del sistema de dos estados son oscilatorias.

Soluciones analíticas para energías en estado estacionario y dependencia del tiempo.

Representación

Suponiendo que los dos estados básicos disponibles del sistema son y , en general, el estado se puede escribir como una superposición de estos dos estados con amplitudes de probabilidad , ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |2\rangle }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

$${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle .}$$

Dado que los estados base son ortonormales , donde y es el delta de Kronecker , entonces . Estos dos números complejos pueden considerarse coordenadas en un espacio de Hilbert complejo bidimensional . ^[1] Así, el vector de estado correspondiente al estado es ${\displaystyle \langle i|j\rangle =\delta _{ij}}$ ${\displaystyle i,j\in {1,2}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle c_{i}=\langle i|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

$${\displaystyle |\psi \rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|\psi \rangle \\\langle 2|\psi \rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=\mathbf {c} ,}$$

$${\displaystyle |1\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|1\rangle \\\langle 2|1\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle |2\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\langle 1|2\rangle \\\langle 2|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.}$$

Si el estado está normalizado , la norma del vector de estado es la unidad, es decir . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {|c_{1}|}^{2}+{|c_{2}|}^{2}=1}$

Todas las cantidades físicas observables , como la energía, están asociadas a operadores hermitianos . En el caso de la energía y el correspondiente hamiltoniano , H , esto significa

$${\displaystyle H_{ij}=\langle i|H|j\rangle =\langle j|H|i\rangle ^{*}=H_{ji}^{*},}$$

matriz hermitiana ${\displaystyle H_{11}}$ ${\displaystyle H_{22}}$ ${\displaystyle H_{12}=H_{21}^{*}}$ ${\displaystyle H_{ij}}$

$${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\langle 1|H|1\rangle &\langle 1|H|2\rangle \\\langle 2|H|1\rangle &\langle 2|H|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}.}$$

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo establece que ; sustituyendo en términos de los estados básicos de arriba y multiplicando ambos lados por o produce un sistema de dos ecuaciones lineales que se pueden escribir en forma matricial, ${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle 1|}$ ${\displaystyle \langle 2|}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}=E{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}},}$$

de valores propios y vectores propios ${\displaystyle \mathbf {Hc} =E\mathbf {c} }$ ${\displaystyle c_{1}H|1\rangle +c_{2}H|2\rangle =c_{1}E|1\rangle +c_{2}E|2\rangle }$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \langle 1|}$ ${\displaystyle \langle 2|}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$

Por supuesto, en general, conmutar la matriz con un vector de estado no dará como resultado el mismo vector multiplicado por una constante E. Para validez general, hay que escribir la ecuación en la forma

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}H_{11}&H_{12}\\H_{12}^{*}&H_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}c_{1}\\\varepsilon _{2}c_{2}\end{pmatrix}},}$$

Uno podría preguntarse por qué es necesario escribir la matriz hamiltoniana en una forma tan general con hamiltonianos encerrados entre corchetes, ya que siempre debe ser igual a cero y siempre debe ser igual a . La razón es que, en algunos problemas más complejos, los vectores de estado pueden no ser estados propios del hamiltoniano utilizado en la matriz. Un lugar donde esto ocurre es en la teoría de la perturbación degenerada , donde los elementos fuera de la diagonal son distintos de cero hasta que el problema se resuelve mediante la diagonalización . ${\displaystyle H_{ij},i\neq j}$ ${\displaystyle H_{ii}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

Debido a la hermiticidad de los valores propios son reales; o, más bien, a la inversa, es el requisito de que las energías sean reales lo que implica la hermiticidad de . Los vectores propios representan los estados estacionarios , es decir, aquellos para los cuales la magnitud absoluta de los cuadrados de las amplitudes de probabilidad no cambia con el tiempo. ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$

Valores propios del hamiltoniano

La forma más general de una matriz hermitiana de 2 × 2, como la hamiltoniana de un sistema de dos estados, viene dada por

$${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\varepsilon _{2}\end{pmatrix}},}$$

γvalores propios ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\beta }$

De manera equivalente, esta matriz se puede descomponer como,

$${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\beta \cdot \sigma _{1}+\gamma \cdot \sigma _{2}+\delta \cdot \sigma _{3}={\begin{pmatrix}\alpha +\delta &\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\alpha -\delta \end{pmatrix}}.}$$

matrices de Pauli ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}\right)}$ ${\textstyle \delta ={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2}\right)}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$ ${\displaystyle k=1,2,3}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle \delta }$

El hamiltoniano se puede condensar aún más como

$${\displaystyle \mathbf {H} =\alpha \cdot \sigma _{0}+\mathbf {r} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}.}$$

El vector está dado por y está dado por . Esta representación simplifica el análisis de la evolución temporal del sistema y es más fácil de utilizar con otras representaciones especializadas como la esfera de Bloch . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle (\beta ,\gamma ,\delta )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$

Si el hamiltoniano H independiente del tiempo del sistema de dos estados se define como anteriormente, entonces sus valores propios vienen dados por . Evidentemente, α es la energía media de los dos niveles, y la norma de es la división entre ellos. Los vectores propios correspondientes se denotan como y . ${\displaystyle E_{\pm }=\alpha \pm |\mathbf {r} |}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle |+\rangle }$ ${\displaystyle |-\rangle }$

Dependencia del tiempo

Ahora suponemos que las amplitudes de probabilidad dependen del tiempo, aunque los estados básicos no. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo establece , y procede como antes (sustituyendo y premultiplicando nuevamente por produce un par de ecuaciones lineales acopladas, pero esta vez son ecuaciones diferenciales parciales de primer orden: . Si es independiente del tiempo, existen varios enfoques para encontrar el Dependencia del tiempo , como los modos normales . El resultado es que. ${\textstyle i\hbar \partial _{t}|\psi \rangle =H|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle 1|,\langle 2|}$ ${\textstyle i\hbar \partial _{t}\mathbf {c} =\mathbf {Hc} }$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

$${\displaystyle \mathbf {c} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }\mathbf {c} _{0}=\mathbf {U} (t)\mathbf {c} _{0}.}$$

exponencial de una matrizunitario ${\displaystyle \mathbf {c} _{0}=\mathbf {c} (0)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$ ${\displaystyle U(t)}$ ${\displaystyle \mathbf {U} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {U} ^{\dagger }\mathbf {U} =1}$

Se puede demostrar que

$${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }=e^{-i\alpha t/\hbar }\left(\cos \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right)\sigma _{0}-i\sin \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right){\hat {r}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right),}$$

${\textstyle {\hat {r}}={\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}.}$

Cuando se cambia la base a los vectores propios del hamiltoniano, en otras palabras, si los estados básicos se eligen como vectores propios, entonces y y entonces el hamiltoniano es diagonal, es decir, y tiene la forma, ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$ ${\displaystyle \epsilon _{1}=H_{11}=\langle 1|H|1\rangle =E_{1}\langle 1|1\rangle =E_{1}}$ ${\displaystyle \beta +i\gamma =H_{21}=\langle 2|H|1\rangle =E_{1}\langle 2|1\rangle =0}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |=\delta }$

$${\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{pmatrix}E_{1}&0\\0&E_{2}\end{pmatrix}}.}$$

Ahora bien, se ve fácilmente que el operador de evolución del tiempo unitario viene dado por: ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle \mathbf {U} (t)=e^{-i\mathbf {H} t/\hbar }={\begin{pmatrix}e^{-iE_{1}t/\hbar }&0\\0&e^{-iE_{2}vt/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }{\begin{pmatrix}e^{-i\delta t/\hbar }&0\\0&e^{i\delta t/\hbar }\end{pmatrix}}=e^{-i\alpha t/\hbar }\left(\cos \left({\frac {\delta }{\hbar }}t\right)\sigma _{0}-i\sin \left({\frac {\delta }{\hbar }}t\right){\boldsymbol {\sigma }}_{3}\right).}$$

perturbación ${\displaystyle e^{-i\alpha t/\hbar }}$

Fórmula de Rabi para una perturbación estática

Supongamos que el sistema comienza en uno de los estados básicos en , digamos que , y estamos interesados ​​en la probabilidad de ocupación de cada uno de los estados básicos en función del tiempo cuando es el hamiltoniano independiente del tiempo. ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\textstyle \mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$

$${\displaystyle \mathbf {c} (t)=\mathbf {U} (t)\mathbf {c} _{0}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)&U_{12}(t)\\U_{21}(t)&U_{22}(t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}U_{11}(t)\\U_{21}(t)\end{pmatrix}}.}$$

La probabilidad de ocupación del estado i es . En el caso del estado inicial, y desde arriba, ${\displaystyle P_{i}(t)=|c_{i}(t)|^{2}=|U_{i1}(t)|^{2}}$ ${\displaystyle P_{1}(t)=|c_{1}(t)|^{2}=|U_{11}(t)|^{2}}$

$${\displaystyle U_{11}(t)=e^{\frac {-i\alpha t}{\hbar }}\left(\cos \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right)-i\sin \left({\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}t\right){\frac {\delta }{|\mathbf {r} |}}\right).}$$

$${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(\Omega t)+\sin ^{2}(\Omega t){\frac {\Delta ^{2}}{\Omega ^{2}}}.}$$

Evidentemente, por la condición inicial. La frecuencia ${\displaystyle P_{1}(0)=1}$

$${\displaystyle \Omega ={\frac {|\mathbf {r} |}{\hbar }}={\frac {1}{\hbar }}{\sqrt {\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}}}={\sqrt {|\Omega _{R}|^{2}+\Delta ^{2}}}}$$

${\displaystyle \Omega _{R}=(\beta +i\gamma )/\hbar }$ ${\displaystyle \Delta =\delta /\hbar }$

En desafinación cero, es decir, Rabi cae de la ocupación garantizada del estado 1 a la ocupación garantizada del estado 2 y de regreso al estado 1, etc., con frecuencia . A medida que la desafinación aumenta desde cero, la frecuencia del flopping aumenta (a Ω ) y la amplitud de excitación del electrón disminuye a . ${\displaystyle P_{1}(t)=\cos ^{2}(|\Omega _{R}|t)}$ ${\displaystyle |\Omega _{R}|}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}/\Delta ^{2}}$

Para los hamiltonianos dependientes del tiempo inducidos por ondas de luz, consulte los artículos sobre el ciclo de Rabi y la aproximación de ondas giratorias .

Algunos sistemas importantes de dos estados

Precesión en un campo

Considere el caso de una partícula de espín 1/2 en un campo magnético . La interacción hamiltoniana para este sistema es ${\displaystyle \mathbf {B} =B\mathbf {\hat {n}} }$

$${\displaystyle H=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ,}$$

momento magnéticomatrices de Pauli ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle H\psi =i\hbar \partial _{t}\psi }$

$${\displaystyle \psi (t)=e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }\psi (0),}$$

vector de Bloch ${\displaystyle \omega =\mu B/\hbar }$ ${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }=\cos {\left(\omega t\right)}I+i\;\mathbf {\hat {n}} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\sin {\left(\omega t\right)}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle 2\omega }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$

$${\displaystyle e^{i\omega t{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {\hat {n}} }={\begin{pmatrix}e^{i\omega t}&0\\0&e^{-i\omega t}\end{pmatrix}}.}$$

Se puede ver que tal operador de evolución temporal que actúa sobre un estado general de espín de una partícula de espín 1/2 conducirá a la precesión alrededor del eje definido por el campo magnético aplicado (este es el equivalente mecánico cuántico de la precesión de Larmor ) ^{[ 2]}

El método anterior se puede aplicar al análisis de cualquier sistema genérico de dos estados que interactúe con algún campo (equivalente al campo magnético en el caso anterior) si la interacción viene dada por un término de acoplamiento apropiado que sea análogo al momento magnético. . La precesión del vector de estado (que no tiene por qué ser un giro físico como en el caso anterior) puede verse como la precesión del vector de estado en la esfera de Bloch .

La representación en la esfera de Bloch para un vector de estado será simplemente el vector de valores esperados . Como ejemplo, considere un vector de estado que es una superposición normalizada de y , es decir, un vector que se puede representar en la base como ${\displaystyle \psi (0)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\langle \sigma _{x}\rangle ,\langle \sigma _{y}\rangle ,\langle \sigma _{z}\rangle \right)}$ ${\displaystyle \psi (0)}$ ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle \sigma _{z}}$

$${\displaystyle \psi (0)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$$

Los componentes de la esfera Bloch serán simplemente . Este es un vector unitario que comienza apuntando a lo largo y realiza una precesión hacia la izquierda. En general, mediante una rotación alrededor de , cualquier vector de estado se puede representar con coeficientes reales y . Tal vector de estado corresponde a un vector de Bloch en el plano xz que forma un ángulo con el eje z . Este vector procederá a realizar una precesión alrededor de . En teoría, al permitir que el sistema interactúe con el campo de una dirección y fuerza particulares durante duraciones precisas, es posible obtener cualquier orientación del vector de Bloch , lo que equivale a obtener cualquier superposición compleja. Ésta es la base de numerosas tecnologías, incluidas la computación cuántica y la resonancia magnética . ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\cos {2\omega t},-\sin {2\omega t},0\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$ ${\displaystyle \psi (0)}$ ${\displaystyle a\left|\uparrow \right\rangle +b\left|\downarrow \right\rangle }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \tan(\theta /2)=b/a}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$

Evolución en un campo dependiente del tiempo: resonancia magnética nuclear

La resonancia magnética nuclear (RMN) es un ejemplo importante en la dinámica de sistemas de dos estados porque implica la solución exacta de un hamiltoniano dependiente del tiempo. El fenómeno de RMN se logra colocando un núcleo en un campo estático fuerte B ₀ (el "campo de retención") y luego aplicando un campo transversal débil B ₁ que oscila en alguna radiofrecuencia ω _r . ^[3] Explícitamente, considere una partícula de espín 1/2 en un campo de retención y un campo de rf transversal B ₁ que gira en el plano xy en sentido diestro alrededor de B ₀ : ${\displaystyle B_{0}\mathbf {\hat {z}} }$

$${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{1}\cos \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{1}\sin \omega _{\mathrm {r} }t\\B_{0}\end{pmatrix}}.}$$

Como en el caso de la precesión libre, el hamiltoniano es y la evolución de un vector de estado se encuentra resolviendo la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo . Después de algunas manipulaciones (dadas en la sección contraída a continuación), se puede demostrar que la ecuación de Schrödinger se convierte en ${\displaystyle H=-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \psi (t)}$ ${\displaystyle H\psi =i\hbar \,\partial \psi /\partial t}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}+\left(w_{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)\psi ,}$$

${\displaystyle \omega _{0}=\mu B_{0}/\hbar }$ ${\displaystyle \omega _{1}=\mu B_{1}/\hbar }$

Según la sección anterior, la solución a esta ecuación tiene el vector de Bloch precediendo con una frecuencia que es el doble de la magnitud del vector. Si es lo suficientemente fuerte, una proporción de los espines apuntará directamente hacia abajo antes de la introducción del campo giratorio. Si la frecuencia angular del campo magnético giratorio se elige de manera que , en el marco giratorio, el vector de estado precederá con la frecuencia y, por lo tanto, cambiará de abajo hacia arriba liberando energía en forma de fotones detectables. ^{[ cita necesaria ]} Esta es la base fundamental de la RMN y, en la práctica, se logra escaneando hasta encontrar la frecuencia de resonancia en cuyo punto la muestra emitirá luz. En física atómica se realizan cálculos similares, y en el caso de que el campo no gire, sino que oscile con una amplitud compleja, se utiliza la aproximación de la onda giratoria para derivar tales resultados. ${\displaystyle (\omega _{1},0,\omega _{0}+\omega _{r}/2)}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{r}=-2\omega _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle 2\omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{r}}$

Derivación de la expresión anterior para la ecuación de Schrödinger de RMN

Aquí la ecuación de Schrödinger dice

$${\displaystyle -\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}.}$$

Expandiendo el producto escalar y dividiendo por rendimientos ${\displaystyle i\hbar }$

$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}\cos {\omega _{r}t}+\omega _{1}\sigma _{y}\sin {\omega _{r}t}+\omega _{0}\sigma _{z}\right)\psi .}$$

Para eliminar del problema la dependencia del tiempo, la función de onda se transforma según . La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se convierte en ${\displaystyle \psi \rightarrow e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi }$

$${\displaystyle -i\sigma _{z}{\frac {\omega _{r}}{2}}e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi +e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}\cos {\omega _{r}t}+\omega _{1}\sigma _{y}\sin {\omega _{r}t}+\omega _{0}\sigma _{z}\right)e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi ,}$$

que después de algún reordenamiento produce

$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=ie^{i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\left(\omega _{1}\sigma _{x}\cos {\omega _{r}t}+\omega _{1}\sigma _{y}\sin {\omega _{r}t}+\left(\omega _{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\psi }$$

Evaluar cada término en el lado derecho de la ecuación

$${\displaystyle e^{i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\sigma _{x}e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}={\begin{pmatrix}e^{i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{-i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&e^{i\omega _{r}t}\\e^{-i\omega _{r}t}&0\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle e^{i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\sigma _{y}e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}={\begin{pmatrix}e^{i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{-i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-ie^{i\omega _{r}t}\\ie^{-i\omega _{r}t}&0\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle e^{i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}\sigma _{z}e^{-i\sigma _{z}\omega _{r}t/2}={\begin{pmatrix}e^{i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{-i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{-i\omega _{r}t/2}&0\\0&e^{i\omega _{r}t/2}\end{pmatrix}}=\sigma _{z}}$$

La ecuación ahora dice

$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}{\begin{pmatrix}0&e^{i\omega _{r}t}\left(\cos {\omega _{r}t}-i\sin {\omega _{r}t}\right)\\e^{-i\omega _{r}t}\left(\cos {\omega _{r}t}+i\sin {\omega _{r}t}\right)&0\end{pmatrix}}+\left(w_{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)\psi ,}$$

que por la identidad de Euler se convierte

$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\left(\omega _{1}\sigma _{x}+\left(w_{0}+{\frac {\omega _{r}}{2}}\right)\sigma _{z}\right)\psi }$$

Relación con las ecuaciones de Bloch

Las ecuaciones ópticas de Bloch para un conjunto de partículas de espín 1/2 se pueden derivar de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para un sistema de dos niveles. Comenzando con el hamiltoniano mencionado anteriormente , se puede escribir en notación sumatoria después de alguna reordenación como ${\displaystyle i\hbar \partial _{t}\psi =-\mu {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \psi }$

$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\sigma _{i}B_{i}\psi }$$

Multiplicar por una matriz de Pauli y la transpuesta conjugada de la función de onda y posteriormente expandir el producto de dos matrices de Pauli produce ${\displaystyle \sigma _{i}}$

$${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}\psi =i{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(I\delta _{ij}-i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi }$$

Al agregar esta ecuación a su propia transpuesta conjugada se obtiene el lado izquierdo de la forma

$${\displaystyle \psi ^{\dagger }\sigma _{j}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\frac {\partial \psi ^{\dagger }}{\partial t}}\sigma _{j}\psi ={\frac {\partial \left(\psi ^{\dagger }\sigma _{j}\psi \right)}{\partial t}}}$$

Y un lado derecho del formulario.

$${\displaystyle {\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi +{\frac {\mu }{\hbar }}\psi ^{\dagger }\left(-iI\delta _{ij}+\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}\right)B_{i}\psi ={\frac {2\mu }{\hbar }}\left(\psi ^{\dagger }\sigma _{k}\psi \right)B_{i}\varepsilon _{ijk}}$$

Como se mencionó anteriormente, el valor esperado de cada matriz de Pauli es un componente del vector de Bloch . Al equiparar los lados izquierdo y derecho, y observar que es la relación giromagnética , se obtiene otra forma para las ecuaciones de movimiento del vector de Bloch. ${\displaystyle \langle \sigma _{i}\rangle =\psi ^{\dagger }\sigma _{i}\psi =R_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {2\mu }{\hbar }}}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle {\frac {\partial R_{j}}{\partial t}}=\gamma R_{k}B_{i}\varepsilon _{kij}}$$

producto vectorial. ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\varepsilon _{kij}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {R} }{\partial t}}=\gamma \mathbf {R} \times \mathbf {B} }$$

magnetizaciónvector de Blochecuaciones ópticas de Blochrelajación ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Como último comentario, la ecuación anterior se puede derivar considerando la evolución temporal del operador del momento angular en la imagen de Heisenberg .

$${\displaystyle i\hbar {\frac {d\sigma _{j}}{dt}}=\left[\sigma _{j},H\right]=\left[\sigma _{j},-\mu \sigma _{i}B_{i}\right]=-\mu \left(\sigma _{j}\sigma _{i}B_{i}-\sigma _{i}\sigma _{j}B_{i}\right)=\mu [\sigma _{i},\sigma _{j}]B_{i}=2\mu i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}B_{i}}$$

Cuando se combina con el hecho de que , esta ecuación es la misma ecuación que antes. ${\displaystyle \mathbf {R} _{i}=\langle \sigma _{i}\rangle }$

Validez

Los sistemas de dos estados son los sistemas cuánticos no triviales más simples que existen en la naturaleza, pero los métodos de análisis antes mencionados no sólo son válidos para sistemas simples de dos estados. Cualquier sistema cuántico general de múltiples estados puede tratarse como un sistema de dos estados siempre que el observable que le interesa tenga dos valores propios. Por ejemplo, una partícula de espín 1/2 puede en realidad tener grados de libertad adicionales de traslación o incluso de rotación, pero esos grados de libertad son irrelevantes para el análisis anterior. Matemáticamente, los grados de libertad descuidados corresponden a la degeneración de los valores propios del espín.

Otro caso en el que el formalismo efectivo de dos Estados es válido es cuando el sistema bajo consideración tiene dos niveles que están efectivamente desacoplados del sistema. Este es el caso del análisis de la emisión de luz espontánea o estimulada por los átomos y el de los qubits de carga . En este caso se debe tener en cuenta que las perturbaciones (interacciones con un campo externo) están en el rango correcto y no provocan transiciones a estados distintos a los de interés.

Importancia y otros ejemplos

Pedagógicamente, el formalismo de dos estados se encuentra entre las técnicas matemáticas más simples utilizadas para el análisis de sistemas cuánticos. Puede utilizarse para ilustrar fenómenos fundamentales de la mecánica cuántica, como la interferencia que presentan las partículas de los estados de polarización del fotón, ^[4] pero también fenómenos más complejos como la oscilación de neutrinos o la oscilación neutra del mesón K.

El formalismo de dos estados se puede utilizar para describir una mezcla simple de estados, lo que conduce a fenómenos como la estabilización de resonancia y otras simetrías relacionadas con los pasos a nivel . Estos fenómenos tienen una amplia variedad de aplicaciones en química. Fenómenos con tremendas aplicaciones industriales, como el máser y el láser, pueden explicarse mediante el formalismo de dos estados.

El formalismo de dos estados también constituye la base de la computación cuántica . Los Qubits , que son los componentes básicos de una computadora cuántica, no son más que sistemas de dos estados. Cualquier operación computacional cuántica es una operación unitaria que hace girar el vector de estado en la esfera de Bloch.

Otras lecturas

• Un tratamiento del formalismo de dos estados, presentado en el tercer volumen de The Feynman Lectures on Physics .
• Notas de lectura:
• del curso Mecánica cuántica II ofrecido en el MIT , http://web.mit.edu/8.05/handouts/Twostates_03.pdf
  • del mismo curso que trata sobre la oscilación de partículas neutras, http://web.mit.edu/8.05/handouts/nukaon_07.pdf
  • del curso Mecánica cuántica I ofrecido en TIFR , http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand4.pdf cubre las matemáticas esenciales
  • http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand5.pdf; del mismo curso se ocupa de algunos sistemas físicos de dos estados y otros aspectos importantes del formalismo
  • las matemáticas en la sección inicial se hacen de manera similar a estas notas http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qubit.pdf, que son del curso de Mecánica Cuántica para Matemáticos ofrecido en la Universidad de Columbia. .
  • una versión en libro del mismo; http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf
  • Sistemas de dos estados y dos esferas, RJ Plymen, Il Nuovo Cimento B 13 (1973) 55-58

Ver también

• ciclo rabi
• Doblete
• Resonancia magnética nuclear
• Óptica cuántica
• qubit

Referencias

1. Griffiths, David (2005). Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.). pag. 353.
2. Feynman, RP (1965). "7-5 y 10-7". Las conferencias Feynman sobre física: volumen 3 . Addison Wesley.
3. Griffiths, pág. 377.
4. Feynman, RP (1965). "11-4". Las conferencias Feynman sobre física: volumen 3 . Addison Wesley.