Sistema de resorte

Un sistema de resorte bidimensional.

En ingeniería y física, un sistema de resortes o red de resortes es un modelo de física descrito como un gráfico con una posición en cada vértice y un resorte de rigidez y longitud determinadas a lo largo de cada borde. Esto generaliza la ley de Hooke a dimensiones superiores. Este modelo simple se puede utilizar para resolver la postura de sistemas estáticos, desde redes cristalinas hasta resortes. Se puede considerar un sistema de resorte como el caso más simple del método de elementos finitos para resolver problemas en estática . Suponiendo resortes lineales y pequeñas deformaciones (o restringiéndolos al movimiento unidimensional), un sistema de resortes puede formularse como un sistema (posiblemente sobredeterminado) de ecuaciones lineales o, de manera equivalente, como un problema de minimización de energía .

Longitudes de resorte conocidas

Si se sabe que las longitudes nominales, L , de los resortes son 1 y 2 unidades respectivamente, entonces el sistema se puede resolver de la siguiente manera: Considere el caso simple de tres nodos conectados por dos resortes. Entonces el estiramiento de los dos resortes viene dado en función de las posiciones de los nodos por

${\displaystyle \Delta \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\end{bmatrix}}\mathbf {x} -\mathbf {L} =B^{\top }\mathbf {x} -\mathbf {L} }$

¿Dónde está la matriz transpuesta de la matriz de incidencia? ${\displaystyle B^{\top }}$

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\\0&-1\end{bmatrix}},}$

relacionando cada grado de libertad con la dirección en que tira de él cada resorte. Las fuerzas sobre los resortes son

${\displaystyle F_{\text{springs}}=-W\Delta \mathbf {L} =-W(B^{\top }\mathbf {x} -\mathbf {L} )=-WB^{\top }\mathbf {x} +W\mathbf {L} }$

donde W es una matriz diagonal que da la rigidez de cada resorte. Luego, la fuerza sobre los nodos viene dada por la izquierda multiplicada por , que establecemos en cero para encontrar el equilibrio: ${\displaystyle B}$

${\displaystyle F_{\text{nodes}}=-BWB^{\top }\mathbf {x} +BW\mathbf {L} =0}$

lo que da la ecuación lineal:

${\displaystyle BWB^{\top }\mathbf {x} =BW\mathbf {L} }$.

Ahora, la matriz es singular, porque todas las soluciones son equivalentes hasta la traslación de un cuerpo rígido. Prescribamos una condición de frontera de Dirichlet , por ejemplo ,. ${\displaystyle BWB^{\top }}$ ${\displaystyle x_{1}=2}$

Como ejemplo, sea W la matriz identidad , entonces

${\displaystyle BWB^{\top }={\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix}}}$

es la matriz laplaciana . Enchufándonos tenemos ${\displaystyle x_{1}=2}$

${\displaystyle BWB^{\top }\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}=BW\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}}$.

Incorporar el 2 al lado izquierdo da

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0\\2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\-1\\2\end{bmatrix}}}$.

y eliminando filas del sistema que ya conocemos, y simplificando, nos deja con

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-2\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}}}$.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}}$.

para que luego podamos resolver

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&-1\\-1&1\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}}}$.

Es decir, , según lo prescrito, y , dejando flojo el primer resorte, y , dejando flojo el segundo resorte. ${\displaystyle x_{1}=2}$ ${\displaystyle x_{2}=3}$ ${\displaystyle x_{3}=5}$

Ver también

• modelo de red gaussiana
• Modelo de red anisotrópica
• Matriz de rigidez
• Sistema masa-resorte
• matriz laplaciana

enlaces externos

• La física de los resortes