Trachtenberg system

Sistema de cálculo mental rápido

The Trachtenberg system is a system of rapid mental calculation. The system consists of a number of readily memorized operations that allow one to perform arithmetic computations very quickly. It was developed by the Russian engineer Jakow Trachtenberg in order to keep his mind occupied while being in a Nazi concentration camp.

The rest of this article presents some methods devised by Trachtenberg. Some of the algorithms Trachtenberg developed are ones for general multiplication, division and addition. Also, the Trachtenberg system includes some specialised methods for multiplying small numbers between 5 and 13 (but shown here is 2–12).

The section on addition demonstrates an effective method of checking calculations that can also be applied to multiplication.

General multiplication

The method for general multiplication is a method to achieve multiplications ${\displaystyle a\times b}$ with low space complexity, i.e. as few temporary results as possible to be kept in memory. This is achieved by noting that the final digit is completely determined by multiplying the last digit of the multiplicands. This is held as a temporary result. To find the next to last digit, we need everything that influences this digit: The temporary result, the last digit of ${\displaystyle a}$ times the next-to-last digit of ${\displaystyle b}$, as well as the next-to-last digit of ${\displaystyle a}$ times the last digit of ${\displaystyle b}$. This calculation is performed, and we have a temporary result that is correct in the final two digits.

In general, for each position ${\displaystyle n}$ in the final result, we sum for all ${\displaystyle i}$:

${\displaystyle a{\text{ (digit at }}i{\text{ )}}\times b{\text{ (digit at }}(n-i){\text{)}}.}$

People can learn this algorithm and thus multiply four-digit numbers in their head – writing down only the final result. They would write it out starting with the rightmost digit and finishing with the leftmost.

Trachtenberg defined this algorithm with a kind of pairwise multiplication where two digits are multiplied by one digit, essentially only keeping the middle digit of the result. By performing the above algorithm with this pairwise multiplication, even fewer temporary results need to be held.

Example: ${\displaystyle 123456\times 789}$

To find the first (rightmost) digit of the answer, start at the first digit of the multiplicand

The units digit of ${\displaystyle 9\times 6}$ is ${\displaystyle 4.}$

The first digit of the answer is ${\displaystyle 4}$. The tens digit ${\displaystyle 5}$ is ignored.

Pointers for the first digit

To find the second digit of the answer, start at the second digit of the multiplicand:

The units digit of ${\displaystyle 9\times 5}$ plus the tens digit of ${\displaystyle 9\times 6}$ plus

The units digit of ${\displaystyle 8\times 6}$.

${\displaystyle 5+5+8=18}$.

The second digit of the answer is ${\displaystyle 8}$ and carry ${\displaystyle 1}$ to the third digit.

Pointers for the second digit

To find the third digit of the answer, start at the third digit of the multiplicand:

The units digit of ${\displaystyle 9\times 4}$ plus the tens digit of ${\displaystyle 9\times 5}$ plus

The units digit of ${\displaystyle 8\times 5}$ plus the tens digit of ${\displaystyle 8\times 6}$ plus

The units digit of ${\displaystyle 7\times 6}$

${\displaystyle 1+6+4+0+4+2=17}$

El tercer dígito de la respuesta es y se lleva al siguiente dígito. ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle 1}$

Consejos para el tercer dígito

Para encontrar el cuarto dígito de la respuesta, comienza en el cuarto dígito del multiplicando:

El dígito de las unidades de más el dígito de las decenas de más ${\displaystyle 9\times 3}$ ${\displaystyle 9\times 4}$

El dígito de las unidades de más el dígito de las decenas de más ${\displaystyle 8\times 4}$ ${\displaystyle 8\times 5}$

El dígito de las unidades de más el dígito de las decenas de . ${\displaystyle 7\times 5}$ ${\displaystyle 7\times 6}$

${\displaystyle 1+7+3+2+4+5+4=26}$transportado desde el tercer dígito.

El cuarto dígito de la respuesta es y se lleva al siguiente dígito. ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 2}$

Continúe con el mismo método para obtener los dígitos restantes.

Método de 2 dedos

Trachtenberg llamó a esto el método de los dos dedos. Los cálculos para encontrar el cuarto dígito del ejemplo anterior se ilustran a la derecha. La flecha del nueve siempre apuntará al dígito del multiplicando directamente encima del dígito de la respuesta que deseas encontrar, y las otras flechas apuntarán cada una un dígito a la derecha. Cada punta de flecha apunta a un par UT o par de productos. La flecha vertical apunta al producto donde obtendremos el dígito de las Unidades y la flecha inclinada apunta al producto donde obtendremos los dígitos de las Decenas del Par de Productos. Si una flecha apunta a un espacio sin dígitos, no hay ningún cálculo para esa flecha. A medida que resuelves cada dígito, moverás cada una de las flechas sobre el multiplicando un dígito hacia la izquierda hasta que todas las flechas apunten a ceros prefijados.

Preparándose para la división

La división en el sistema de Trachtenberg se realiza de manera muy similar a la multiplicación, pero con resta en lugar de suma. Dividir el dividendo en dividendos parciales más pequeños y luego dividir este dividendo parcial solo por el dígito más a la izquierda del divisor proporcionará la respuesta un dígito a la vez. A medida que resuelves cada dígito de la respuesta, restas los pares de productos (pares UT) y también los pares NT (Números-Decenas) del dividendo parcial para encontrar el siguiente dividendo parcial. Los Pares de Productos se encuentran entre los dígitos de la respuesta hasta el momento y el divisor. Si una resta da como resultado un número negativo, debes retroceder un dígito y reducir ese dígito de la respuesta en uno. Con suficiente práctica, este método se puede realizar mentalmente.

Adición general

Un método para sumar columnas de números y verificar con precisión el resultado sin repetir la primera operación. Se produce una suma intermedia, en forma de dos filas de dígitos. La respuesta se obtiene sumando los resultados intermedios con un algoritmo en forma de L. Como paso final, el método de verificación que se recomienda elimina el riesgo de repetir cualquier error original e identifica la columna precisa en la que ocurre un error de una sola vez. Se basa en sumas de cheques (o dígitos), como el método del resto de nueves.

Para que el procedimiento sea efectivo, las diferentes operaciones utilizadas en cada etapa deben mantenerse distintas, de lo contrario existe riesgo de interferencia.

Otros algoritmos de multiplicación

Al realizar cualquiera de estos algoritmos de multiplicación se deben aplicar los siguientes "pasos".

La respuesta se debe encontrar un dígito a la vez, comenzando en el dígito menos significativo y moviéndose hacia la izquierda. El último cálculo se realiza en el cero inicial del multiplicando.

Cada dígito tiene un vecino , es decir, el dígito de su derecha. El vecino del dígito más a la derecha es el cero final.

La operación "reducir a la mitad" tiene un significado particular para el sistema Trachtenberg. Su intención es significar "la mitad del dígito, redondeado hacia abajo", pero por razones de velocidad se recomienda a las personas que siguen el sistema Trachtenberg que hagan que este proceso de reducción a la mitad sea instantáneo. Entonces, en lugar de pensar "la mitad de siete es tres y medio, entonces tres", se sugiere pensar "siete, tres". Esto acelera considerablemente el cálculo. De esta misma forma se deben memorizar las tablas para restar cifras del 10 o del 9.

Y siempre que la regla requiera sumar la mitad del vecino, siempre suma 5 si el dígito actual es impar. Esto compensa la pérdida de 0,5 en el cálculo del siguiente dígito.

Números y dígitos (base 10)

Los dígitos y los números son dos nociones diferentes. El número T consta de n dígitos c _n ... c ₁ .

${\displaystyle T=10^{n-1}*c_{n}+...+10^{0}*c_{1}}$

Multiplicando por 2

Prueba

${\textstyle {\begin{aligned}R&=T*2\Leftrightarrow \\R&=2*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n-1}*2*c_{n}+\ldots +10^{0}*2*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla :

1. Multiplica cada dígito por 2 (con acarreo).

Ejemplo: 8624 × 2

Trabajando de izquierda a derecha:

8+8=16,

6+6=12 (lleva el 1),

2+2=4

4+4=8;

8624 × 2 = 17248

Ejemplo: 76892 × 2

Trabajando de izquierda a derecha:

7+7=14

6+6=12

8+8=16

9+9=18

2+2=4;

76892 × 2 = 153784

Multiplicando por 3

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*3\Leftrightarrow \\R&=3*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2-2)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n}*2+10^{n-1}*(c_{n-1}/2-2)+10^{n-1}*2+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2-2)+10^{1}*2\\&-2*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{2}+10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n-1}*(c_{n-1}/2+20-2-2*c_{n})+10^{n-2}*(c_{n-2}/2+20-2-2*c_{n-1})\\&+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2+20-2-2*c_{2})+10^{0}*(20-2*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*(((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(10*(c_{n}{\bmod {2}})/2+2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1}/2+(c_{n}{\bmod {2}})*5)+10^{n-2}*(2*(9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*(2*(10-c_{1}))\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*(2*(9-c_{2})+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{0}*(2*(10-c_{1})+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla:

1. Resta el dígito más a la derecha de 10.
2. Resta los dígitos restantes de 9.
3. Duplica el resultado.
4. Suma la mitad del vecino de la derecha, más 5 si el dígito es impar.
5. Para el cero inicial, resta 2 de la mitad del vecino.

Ejemplo: 492 × 3 = 1476

Trabajando de derecha a izquierda:

(10 − 2) × 2 + La mitad de 0 (0) = 16. Escribe 6, lleva 1.

(9 − 9) × 2 + La mitad de 2 (1) + 5 (ya que 9 es impar) + 1 (llevado) = 7. Escribe 7.

(9 − 4) × 2 + La mitad de 9 (4) = 14. Escribe 4, lleva 1.

La mitad de 4 (2) − 2 + 1 (llevado) = 1. Escribe 1.

Multiplicando por 4

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*4\Leftrightarrow \\R&=4*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2-1)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 3}}\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)-1)+10^{n-1}*((9-c_{n})+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*((9-c_{2})+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{0}*((10-c_{1})+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla:

1. Resta el dígito más a la derecha de 10.
2. Resta los dígitos restantes de 9.
3. Suma la mitad del vecino, más 5 si el dígito es impar.
4. Para el 0 inicial, reste 1 de la mitad del vecino.

Ejemplo: 346 × 4 = 1384

Trabajando de derecha a izquierda:

(10 − 6) + Mitad de 0 (0) = 4. Escribe 4.

(9 − 4) + La mitad de 6 (3) = 8. Escribe 8.

(9 − 3) + La mitad de 4 (2) + 5 (ya que 3 es impar) = 13. Escribe 3, lleva 1.

La mitad de 3 (1) − 1 + 1 (llevado) = 1. Escribe 1.

Multiplicando por 5

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*5\Leftrightarrow \\R&=5*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}/2)+10^{n-1}*(c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*(c_{1}/2)\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)*2+(c_{n-1}{\bmod {2}}))/2\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)*2+(c_{2}{\bmod {2}}))/2+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)*2+(c_{1}{\bmod {2}}))/2\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)+(c_{n}{\bmod {2}})/2)+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)+(c_{n-1}{\bmod {2}})/2)\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)+(c_{2}{\bmod {2}})/2)+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)+(c_{1}{\bmod {2}})/2)\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*10*(c_{n}{\bmod {2}})/2+10^{n-1}*(c_{n-1}{\text{ div }}2)+10^{n-2}*10*(c_{n-1}{\bmod {2}})/2+10^{n-2}*(c_{n-2}{\text{ div }}2)\\&+\ldots +10^{2}*(c_{2}{\text{ div }}2)+10^{1}*10*(c_{2}{\bmod {2}})/2+(c_{1}{\text{ div }}2))+10^{0}*10*(c_{1}{\bmod {2}})/2\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n-1}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}{\bmod {2}})*5+10^{n-2}*(c_{n-2}{\text{ div }}2)+10^{n-2}*(c_{n-1}{\bmod {2}})*5\\&+\ldots +10^{2}*(c_{2}{\text{ div }}2)+10^{2}*(c_{3}{\bmod {2}})*5+10^{1}*(c_{1}{\text{ div }}2)+10^{1}*(c_{2}{\bmod {2}})*5+10^{0}*(c_{1}{\bmod {2}})*5\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{n-2}*((c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n-1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{2}*((c_{2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{3}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{1}*((c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))+10^{0}*{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0)\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla :

1. Tome la mitad del vecino, luego, si el dígito actual es impar, agregue 5.

Ejemplo: 42×5=210

La mitad del vecino de 2, el cero final, es 0.

La mitad del vecino de 4 es 1.

La mitad del vecino del cero inicial es 2.

43×5 = 215

La mitad del vecino de 3 es 0, más 5 porque 3 es impar, es 5.

La mitad del vecino de 4 es 1.

La mitad del vecino del cero inicial es 2.

93×5=465

La mitad del vecino de 3 es 0, más 5 porque 3 es impar, es 5.

La mitad del vecino de 9 es 1, más 5 porque 9 es impar, es 6.

La mitad del vecino del cero inicial es 4.

Multiplicando por 6

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*6\Leftrightarrow \\R&=6*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2+1)*(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}/2+1*10^{n-1}*c_{n}+10^{n-1}*c_{n-1}/2+1*10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+1*10^{0}*c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}/2+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \vdots \Re \to \aleph {\text{: a }}=(a{\text{ div }}b)*b+(a{\bmod {b}})\\R&=10^{n}*((c_{n}{\text{ div }}2)*2+(c_{n}{\bmod {2}}))/2+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1}/2)+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}{\bmod {2}})*5+10^{n-1}*c_{n}+10^{n-1}*((c_{n-1}{\text{ div }}2)*2+(c_{n-1}{\bmod {2}}))/2+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n}{\bmod {2}})<>0;5;0))+10^{n-2}*(c_{n-1}{\bmod {2}})*5+\ldots +10^{1}*c_{1}/2+c_{1}\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\&+10^{n-2}*(c_{n-1}+(c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}((c_{n-1}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{0}*(c_{1}+{\text{ if}}((c_{1}{\bmod {2}})<>0;5;0))\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla:

1. Suma la mitad del vecino a cada dígito. Si el dígito actual es impar, suma 5.

Ejemplo: 357 × 6 = 2142

Trabajando de derecha a izquierda:

7 no tiene vecino, suma 5 (ya que 7 es impar) = 12. Escribe 2, lleva el 1.

5 + la mitad de 7 (3) + 5 (ya que el dígito inicial 5 es impar) + 1 (llevado) = 14. Escribe 4, lleva el 1.

3 + la mitad de 5 (2) + 5 (ya que 3 es impar) + 1 (llevado) = 11. Escribe 1, lleva 1.

0 + mitad de 3 (1) + 1 (llevado) = 2. Escribe 2.

Multiplicando por 7

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*7\Leftrightarrow \\R&=7*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=(10/2+2)*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 6}}\\R&=10^{n}*(c_{n}{\text{ div }}2)+10^{n-1}*(2*c_{n}+(c_{n-1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+10^{n-2}*(2*c_{n-1}+(c_{n-2}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{n-1}{\bmod {2}}<>0;5;0))\\&+\ldots +10^{1}*(2*c_{2}+(c_{1}{\text{ div }}2)+{\text{ if}}(c_{2}{\bmod {2}}<>0;5;0))+2*c_{1}+{\text{ if}}(c_{1}{\bmod {2}}<>0;5;0)\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla:

1. Duplica cada dígito.
2. Suma la mitad de su vecino a la derecha (eliminando decimales, si los hay). El vecino de la posición de las unidades es 0.
3. Si el dígito base es par, agregue 0; de lo contrario, agregue 5.
4. Agregue cualquier remanente del paso anterior.

Ejemplo: 693 × 7 = 4.851

Trabajando de derecha a izquierda:

(3×2) + 0 + 5 + 0 = 11 = arrastre 1, resultado 1.

(9×2) + 1 + 5 + 1 = 25 = arrastre 2, resultado 5.

(6×2) + 4 + 0 + 2 = 18 = arrastre 1, resultado 8.

(0×2) + 3 + 0 + 1 = 4 = resultado 4.

Multiplicando por 8

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*8\Leftrightarrow \\R&=T*4*2\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 4}}\\R&=10^{n}*2*(c_{n}/2-1)+10^{n-1}*2*((9-c_{n})+c_{n-1}/2)+10^{n-2}*2*((9-c_{n-1})+c_{n-2}/2)\\&+\ldots +10^{1}*2*((9-c_{2})+c_{1}/2)+10^{0}*2*(10-c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}-2)+10^{n-1}*(2*(9-c_{n})+c_{n-1})+\ldots +10^{2}*(2*(9-c_{3})+c_{2})+10^{1}*(2*(9-c_{2})+c_{1})+2*(10-c_{1})\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla:

1. Resta el dígito más a la derecha de 10.
   1. Resta los dígitos restantes de 9.
2. Duplica el resultado.
3. Añade al vecino.
4. Para el cero inicial, resta 2 del vecino.

Ejemplo: 456 × 8 = 3648

Trabajando de derecha a izquierda:

(10 − 6) × 2 + 0 = 8. Escribe 8.

(9 − 5) × 2 + 6 = 14, escribe 4, lleva 1.

(9 − 4) × 2 + 5 + 1 (llevado) = 16. Escribe 6, lleva 1.

4 − 2 + 1 (llevado) = 3. Escribe 3.

Multiplicando por 9

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*9\Leftrightarrow \\R&=(10-1)*T\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*(c_{n}-1)+10^{n}+10^{n-1}*(c_{n-1}-1)+10^{n-1}+\ldots +10^{1}*(c_{1}-1)+10^{1}\\&-(10^{n-1}*c_{n}+10^{n-2}*c_{n-1}+\ldots +10^{1}*c_{2}+10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \vdots {\mbox{ see proof of method 4}}\\R&=10^{n}*(c_{n}-1)+10^{n-1}*(9-c_{n}+c_{n-1})+10^{n-2}*(9-c_{n-1}+c_{n-2})+\ldots +10^{1}*(9-c_{2}+c_{1})+10^{0}*(10-c_{1})\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla:

1. Resta el dígito más a la derecha de 10.
   1. Resta los dígitos restantes de 9.
2. Suma el vecino a la suma
3. Para el cero inicial, reste 1 del vecino.

Para las reglas 9, 8, 4 y 3, solo el primer dígito se resta de 10. Después de eso, cada dígito se resta de nueve.

Ejemplo: 2.130 × 9 = 19.170

Trabajando de derecha a izquierda:

(10 − 0) + 0 = 10. Escribe 0, lleva 1.

(9 − 3) + 0 + 1 (llevado) = 7. Escribe 7.

(9 − 1) + 3 = 11. Escribe 1, lleva 1.

(9 − 2) + 1 + 1 (llevado) = 9. Escribe 9.

2 − 1 = 1. Escribe 1.

Multiplicando por 10

Agregue 0 (cero) como el dígito más a la derecha.

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*10\Leftrightarrow \\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+\ldots +10^{1}*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

Multiplicando por 11

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*11\Leftrightarrow \\R&=T*(10+1)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(c_{2}+c_{1})+c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla:

1. Suma el dígito a su vecino. (Por "vecino" nos referimos al dígito de la derecha).

Ejemplo: ${\displaystyle 3,425\times 11=37,675}$

(0+3) (3+4) (4+2) (2+5) (5+0)

3 7 6 7 5

Para ilustrar:

11=10+1

De este modo,

${\displaystyle 3425\times 11=3425\times (10+1)}$

${\displaystyle \rightarrow 37675=34250+3425}$

Multiplicando por 12

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*12\Leftrightarrow \\R&=T*(10+2)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+2*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(2*c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(2*c_{2}+c_{1})+2*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

Regla: para multiplicar por 12 :
comenzando desde el dígito más a la derecha, duplica cada dígito y suma el vecino. (El "vecino" es el dígito de la derecha).

Si la respuesta es mayor que un solo dígito, simplemente transfiera el dígito adicional (que será 1 o 2) a la siguiente operación. El dígito restante es un dígito del resultado final.

Ejemplo: ${\displaystyle 316\times 12}$

Determinar vecinos en el multiplicando 0316:

• el dígito 6 no tiene vecino correcto
• El dígito 1 tiene al vecino 6.
• El dígito 3 tiene al vecino 1.
• El dígito 0 (el cero prefijado) tiene el vecino 3.

${\displaystyle {\begin{aligned}6\times 2&=12{\text{ (2 carry 1) }}\\1\times 2+6+1&=9\\3\times 2+1&=7\\0\times 2+3&=3\\0\times 2+0&=0\\[10pt]316\times 12&=3,792\end{aligned}}}$

Multiplicando por 13

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=T*13\Leftrightarrow \\R&=T*(10+3)\\R&=10*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})+3*(10^{n-1}*c_{n}+\ldots +10^{0}*c_{1})\Leftrightarrow \\R&=10^{n}*c_{n}+10^{n-1}*(3*c_{n}+c_{n-1})+\ldots +10^{1}*(3*c_{2}+c_{1})+3*c_{1}\\\\&QED\end{aligned}}}$

Publicaciones

• Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. Sistema de computación mental rápida como herramienta para el pensamiento algorítmico del desarrollo de estudiantes de primaria . Investigador europeo 25(7): 1105–1110, 2012 [1].
• El sistema de velocidad de Trachtenberg de matemáticas básicas de Jakow Trachtenberg, A. Cutler (traductor), R. McShane (traductor), fue publicado por Doubleday and Company, Inc. Garden City, Nueva York en 1960. ^[1]

El libro contiene explicaciones algebraicas específicas para cada una de las operaciones anteriores.

La mayor parte de la información contenida en este artículo proviene del libro original.

Los algoritmos/operaciones de multiplicación, etc., se pueden expresar de otras formas más compactas que el libro no especifica, a pesar del capítulo sobre descripción algebraica. ^[a]

En la cultura popular

La película estadounidense de 2017 Gifted gira en torno a una niña prodigio que, a la edad de 7 años, impresiona a su maestra haciendo cálculos mentales utilizando el sistema Trachtenberg. ^[2]

Otros sistemas

Hay muchos otros métodos de cálculo en matemáticas mentales. La siguiente lista muestra algunos otros métodos de cálculo, aunque es posible que no sean completamente mentales.

• El libro de Bharati Krishna Tirtha "Matemáticas védicas "
• Ábaco mental : a medida que los estudiantes se acostumbran a manipular el ábaco con los dedos, normalmente se les pide que hagan cálculos visualizando el ábaco en su cabeza. Casi todos los usuarios competentes del ábaco son expertos en hacer aritmética mentalmente. ^{[ cita necesaria ]}
• Chisanbop

Notas

1. Toda esta información proviene de un libro original publicado e impreso en 1960. El libro original tiene siete capítulos completos y 270 páginas. Los títulos de los capítulos son los siguientes. Las numerosas subcategorías de cada capítulo no se enumeran. El sistema de velocidad de Trachtenberg de matemáticas básicas.
   
   • Capítulo 1 Tablas o no tablas
   • Capítulo 2 Multiplicación rápida por el método directo
   • Capítulo 3 Multiplicación de velocidad: método de "dos dedos"
   • Capítulo 4 Suma y la respuesta correcta.
   • Capítulo 5 División: Velocidad y precisión
   • Capítulo 6 Cuadrados y raíces cuadradas
   • Capítulo 7 Descripción algebraica del método.
   Citas:
   • "Un nuevo método revolucionario para multiplicación, división, suma, resta y raíz cuadrada a alta velocidad". (1960)
   • "El método más vendido para multiplicación, división, suma, resta y raíz cuadrada a alta velocidad, sin calculadora". (Reimpreso en 2009)
   • La multiplicación se realiza sin tablas de multiplicar.
   • "¿Puedes multiplicar 5132437201 por 4522736502785 en setenta segundos?" "Un niño (de escuela primaria, sin calculadora) lo hizo, con éxito, utilizando el sistema de velocidad de Trachtenberg de matemáticas básicas"
   • Jakow Trachtenberg (su fundador) escapó de la Alemania de Hitler desde una institución activa hacia el final de la Segunda Guerra Mundial. El profesor Trachtenberg huyó a Alemania cuando el régimen zarista fue derrocado en su tierra natal, Rusia, y vivió allí pacíficamente hasta los treinta y tantos años, cuando sus actitudes anti-Hitler lo obligaron a huir nuevamente. Era un fugitivo y cuando fue capturado pasó un total de siete años en varios campos de concentración. Fue durante estos años cuando el profesor Trachtenberg ideó el sistema de matemáticas de la velocidad. La mayor parte de su trabajo lo realizó sin lápiz ni papel. Por tanto, la mayoría de las técnicas se pueden realizar mentalmente.

Referencias

1. Trachtenberg, Jakow (1960). Cutler, Ann (ed.). El sistema de velocidad de Trachtenberg de matemáticas básicas. Traducido por A. Cutler, R. McShane. Doubleday y Company, Inc. pág. 270.Edición de 1962: ISBN 9780285629165 . 
2. @GiftedtheMovie (9 de marzo de 2017). "Los pasatiempos incluyen jugar con legos y aprender el sistema Trachtenberg 👷‍♀️📚✏️ @McKennaGraceful es Mary // #GiftedMovie" ( Tweet ) - vía Twitter .

Otras lecturas

• Trachtenberg, J. (1960). El sistema de velocidad de Trachtenberg de matemáticas básicas . Doubleday and Company, Inc., Garden City, Nueva York, EE. UU.
• Катлер Э., Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу , 1967 (en ruso) .
• Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. "Sistema de computación mental rápida como herramienta para el pensamiento algorítmico del desarrollo de estudiantes de escuela primaria", Investigador europeo 25 (7): 1105–1110, 2012.

enlaces externos

• Chandrashekhar, Kiran. "[Más información sobre] Atajos matemáticos", SapnaEdu.in en Wayback Machine (archivado el 30 de mayo de 2018)
• Gifted (película de 2017) , esta película trata más sobre el sistema Trachtenberg , con Mckenna Grace , una joven artista que ha aprendido esta técnica, en el papel principal.
• Academia de Matemáticas Védicas