Singularidad racional

En matemáticas , más particularmente en el campo de la geometría algebraica , un esquema tiene singularidades racionales , si es normal , de tipo finito sobre un cuerpo de característica cero, y existe una función biracional propia . ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f\colon Y\rightarrow X}$

de un esquema regular tal que las imágenes directas superiores de aplicadas a sean triviales. Es decir, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$

${\displaystyle R^{i}f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}=0}$para . ${\displaystyle i>0}$

Si existe una resolución de este tipo, entonces se deduce que todas las resoluciones comparten esta propiedad, ya que dos resoluciones de singularidades pueden estar dominadas por una tercera.

Para las superficies, las singularidades racionales fueron definidas por (Artin 1966).

Formulaciones

Alternativamente, se puede decir que tiene singularidades racionales si y sólo si el mapa natural en la categoría derivada ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\rightarrow Rf_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$

es un cuasi-isomorfismo . Nótese que esto incluye la afirmación de que y, por lo tanto, el supuesto de que es normal. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\simeq f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle X}$

Existen nociones relacionadas en las características positivas y mixtas de

• pseudorracional

y

• F-racional

Las singularidades racionales son en particular las de Cohen-Macaulay , las normales y las de Du Bois . No tienen por qué ser necesariamente las de Gorenstein o incluso las de Q-Gorenstein .

Las singularidades terminales del logaritmo son racionales. ^[1]

Ejemplos

Un ejemplo de singularidad racional es el punto singular del cono cuadrático.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0.\,}$

Artin ^[2] demostró que los puntos dobles racionales de las superficies algebraicas son las singularidades de Du Val .

Véase también

• Singularidad elíptica

Referencias

1. (Kollár y Mori 1998, teorema 5.22.)
2. (Artín 1966)

• Artin, Michael (1966), "Sobre singularidades racionales aisladas de superficies", American Journal of Mathematics , 88 (1), The Johns Hopkins University Press: 129–136, doi :10.2307/2373050, ISSN  0002-9327, JSTOR  2373050, MR  0199191
• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 134, Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511662560, ISBN 978-0-521-63277-5, Sr.  1658959
• Lipman, Joseph (1969), "Singularidades racionales, con aplicaciones a superficies algebraicas y factorización única", Publications Mathématiques de l'IHÉS (36): 195–279, ISSN  1618-1913, MR  0276239