Solución singular

Una solución singular y _s ( x ) de una ecuación diferencial ordinaria es una solución que es singular o una para la cual el problema de valor inicial (también llamado el problema de Cauchy por algunos autores) no tiene una solución única en algún punto de la solución. El conjunto en el que una solución es singular puede ser tan pequeño como un solo punto o tan grande como la línea real completa. Las soluciones que son singulares en el sentido de que el problema de valor inicial no tiene una solución única no necesitan ser funciones singulares .

En algunos casos, el término solución singular se utiliza para indicar una solución en la que hay una falla de unicidad en el problema de valor inicial en cada punto de la curva. Una solución singular en este sentido más fuerte a menudo se da como tangente a cada solución de una familia de soluciones. Por tangente queremos decir que hay un punto x donde y _s ( x ) = y _c ( x ) y y' _s ( x ) = y' _c ( x ) donde y _c es una solución en una familia de soluciones parametrizadas por c . Esto significa que la solución singular es la envolvente de la familia de soluciones.

Por lo general, las soluciones singulares aparecen en ecuaciones diferenciales cuando es necesario dividir un término que podría ser igual a cero . Por lo tanto, cuando se resuelve una ecuación diferencial y se utiliza la división, se debe verificar qué sucede si el término es igual a cero y si conduce a una solución singular. El teorema de Picard-Lindelöf , que da condiciones suficientes para que existan soluciones únicas, se puede utilizar para descartar la existencia de soluciones singulares. Otros teoremas, como el teorema de existencia de Peano , dan condiciones suficientes para que existan soluciones sin que sean necesariamente únicas, lo que puede permitir la existencia de soluciones singulares.

Una solución divergente

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea

${\displaystyle xy'(x)+2y(x)=0,\,\!}$

donde los primos denotan derivadas con respecto a x . La solución general de esta ecuación es

${\displaystyle y(x)=Cx^{-2}.\,\!}$

Para un determinado , esta solución es uniforme excepto en donde la solución es divergente. Además, para un determinado , esta es la única solución que pasa por . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x\not =0}$ ${\displaystyle (x,y(x))}$

Fallo de unicidad

Considere la ecuación diferencial

${\displaystyle y'(x)^{2}=4y(x).\,\!}$

Una familia de soluciones de un parámetro para esta ecuación viene dada por

${\displaystyle y_{c}(x)=(x-c)^{2}.\,\!}$

Otra solución la da

${\displaystyle y_{s}(x)=0.\,\!}$

Como la ecuación que se estudia es una ecuación de primer orden, las condiciones iniciales son los valores iniciales de x e y . Al considerar los dos conjuntos de soluciones anteriores, se puede ver que la solución no es única cuando . (Se puede demostrar que para si se elige una sola rama de la raíz cuadrada, entonces hay una solución local que es única usando el teorema de Picard-Lindelöf ). Por lo tanto, las soluciones anteriores son todas soluciones singulares, en el sentido de que la solución no es única en un entorno de uno o más puntos. (Comúnmente, decimos que "la unicidad falla" en estos puntos). Para el primer conjunto de soluciones, la unicidad falla en un punto, , y para la segunda solución, la unicidad falla en cada valor de . Por lo tanto, la solución es una solución singular en el sentido más fuerte de que la unicidad falla en cada valor de x . Sin embargo, no es una función singular ya que ella y todas sus derivadas son continuas. ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y>0}$ ${\displaystyle x=c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y_{s}}$

En este ejemplo, la solución es la envolvente de la familia de soluciones . La solución es tangente a cada curva en el punto . ${\displaystyle y_{s}(x)=0}$ ${\displaystyle y_{c}(x)=(x-c)^{2}}$ ${\displaystyle y_{s}}$ ${\displaystyle y_{c}(x)}$ ${\displaystyle (c,0)}$

La falla de unicidad se puede utilizar para construir más soluciones. Estas se pueden encontrar tomando dos constantes y definiendo una solución como cuando , como cuando y como cuando . El cálculo directo muestra que esta es una solución de la ecuación diferencial en cada punto, incluidos y . La unicidad falla para estas soluciones en el intervalo , y las soluciones son singulares, en el sentido de que la segunda derivada no existe, en y . ${\displaystyle c_{1}<c_{2}}$ ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle (x-c_{1})^{2}}$ ${\displaystyle x<c_{1}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c_{1}\leq x\leq c_{2}}$ ${\displaystyle (x-c_{2})^{2}}$ ${\displaystyle x>c_{2}}$ ${\displaystyle x=c_{1}}$ ${\displaystyle x=c_{2}}$ ${\displaystyle c_{1}\leq x\leq c_{2}}$ ${\displaystyle x=c_{1}}$ ${\displaystyle x=c_{2}}$

Otro ejemplo del fracaso de la unicidad

El ejemplo anterior podría dar la impresión errónea de que la falta de unicidad está directamente relacionada con . La falta de unicidad también se puede ver en el siguiente ejemplo de una ecuación de Clairaut : ${\displaystyle y(x)=0}$

${\displaystyle y(x)=x\cdot y'+(y')^{2}\,\!}$

Escribimos y' = p y luego

${\displaystyle y(x)=x\cdot p+(p)^{2}.}$

Ahora, tomaremos la diferencial según x :

${\displaystyle p=y'=p+xp'+2pp'}$

Lo cual por álgebra simple da como resultado

${\displaystyle 0=(2p+x)p'.}$

Esta condición se resuelve si 2 p + x = 0 o si p ′=0.

Si p' = 0 significa que y' = p = c = constante, y la solución general de esta nueva ecuación es:

${\displaystyle y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}}$

donde c está determinado por el valor inicial.

Si x + 2 p = 0 entonces obtenemos que p = −½ x y sustituyendo en la EDO obtenemos

${\displaystyle y_{s}(x)=-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+(-{\tfrac {1}{2}}x)^{2}=-{\tfrac {1}{4}}x^{2}.}$

Ahora comprobaremos cuándo estas soluciones son soluciones singulares. Si dos soluciones se cortan entre sí, es decir, ambas pasan por el mismo punto ( x , y ), entonces hay un fallo de unicidad para una ecuación diferencial ordinaria de primer orden. Por tanto, habrá un fallo de unicidad si una solución de la primera forma corta a la segunda solución.

La condición de intersección es: y _s ( x ) = y _c ( x ). Resolvemos

${\displaystyle c\cdot x+c^{2}=y_{c}(x)=y_{s}(x)=-{\tfrac {1}{4}}x^{2}}$

para encontrar el punto de intersección, que es . ${\displaystyle (-2c,-c^{2})}$

Podemos comprobar que las curvas son tangentes en este punto y' _s ( x ) = y' _c ( x ). Calculamos las derivadas :

${\displaystyle y_{c}'(-2c)=c\,\!}$

${\displaystyle y_{s}'(-2c)=-{\tfrac {1}{2}}x|_{x=-2c}=c.\,\!}$

Por eso,

${\displaystyle y_{s}(x)=-{\tfrac {1}{4}}\cdot x^{2}\,\!}$

es tangente a cada miembro de la familia de soluciones de un parámetro

${\displaystyle y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}\,\!}$

de esta ecuación de Clairaut:

${\displaystyle y(x)=x\cdot y'+(y')^{2}.\,\!}$

Véase también

• Ecuación de Chandrasekhar
• La ecuación de Chrystal
• Cáustico (matemáticas)
• Sobre (matemáticas)
• Problema de valor inicial
• Teorema de Picard-Lindelöf

Bibliografía

• Rozov, N.Kh. (2001) [1994], "Solución singular", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press