Simulación numérica directa

Una simulación en dinámica de fluidos computacional

Una simulación numérica directa ( DNS ) ^{[1] [2]} es una simulación en dinámica de fluidos computacional (CFD) en la que las ecuaciones de Navier-Stokes se resuelven numéricamente sin ningún modelo de turbulencia . Esto significa que se debe resolver todo el rango de escalas espaciales y temporales de la turbulencia . Todas las escalas espaciales de la turbulencia deben resolverse en la malla computacional, desde las escalas disipativas más pequeñas ( microescalas de Kolmogorov ), hasta la escala integral , asociada con los movimientos que contienen la mayor parte de la energía cinética. La escala de Kolmogorov, , está dada por ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta =(\nu ^{3}/\varepsilon )^{1/4}}$

donde es la viscosidad cinemática y es la tasa de disipación de energía cinética . Por otra parte, la escala integral depende normalmente de la escala espacial de las condiciones de contorno. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Para satisfacer estos requisitos de resolución, el número de puntos a lo largo de una dirección de malla dada con incrementos , debe ser ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle Nh>L,\,}$

de modo que la escala integral esté contenida dentro del dominio computacional, y también

${\displaystyle h\leq \eta ,\,}$

para que se pueda resolver la escala de Kolmogorov.

Desde

${\displaystyle \varepsilon \approx {u'}^{3}/L,}$

donde es la raíz cuadrada media (RMS) de la velocidad , las relaciones anteriores implican que un DNS tridimensional requiere una cantidad de puntos de malla que satisfaga ${\displaystyle u'}$ ${\displaystyle N^{3}}$

${\displaystyle N^{3}\geq \mathrm {Re} ^{9/4}=\mathrm {Re} ^{2.25}}$

¿Dónde está el número de Reynolds turbulento ? ${\displaystyle \mathrm {Re} }$

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {u'L}{\nu }}.}$

Por lo tanto, el requisito de almacenamiento de memoria en un DNS crece muy rápido con el número de Reynolds. Además, dada la gran cantidad de memoria necesaria, la integración de la solución en el tiempo debe realizarse mediante un método explícito. Esto significa que para ser precisa, la integración, para la mayoría de los métodos de discretización, debe realizarse con un paso de tiempo, , lo suficientemente pequeño como para que una partícula de fluido se mueva solo una fracción del espaciado de la malla en cada paso. Es decir, ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle C={\frac {u'\Delta t}{h}}<1}$

( aquí se encuentra el número de Courant ). El intervalo de tiempo total simulado es generalmente proporcional a la escala de tiempo de turbulencia dada por ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {L}{u'}}.}$

Combinando estas relaciones, y el hecho de que debe ser del orden de , el número de pasos de integración temporal debe ser proporcional a . Por otra parte, de las definiciones de , y dadas anteriormente, se deduce que ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle L/(C\eta )}$ ${\displaystyle \mathrm {Re} }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle {\frac {L}{\eta }}\sim \mathrm {Re} ^{3/4},}$

y en consecuencia, el número de pasos de tiempo crece también como una ley de potencia del número de Reynolds.

Se puede estimar que el número de operaciones de punto flotante necesarias para completar la simulación es proporcional al número de puntos de malla y al número de pasos de tiempo y, en conclusión, el número de operaciones crece como . ${\displaystyle \mathrm {Re} ^{3}}$

Por lo tanto, el coste computacional de DNS es muy alto, incluso con números de Reynolds bajos. Para los números de Reynolds encontrados en la mayoría de las aplicaciones industriales, los recursos computacionales requeridos por un DNS excederían la capacidad de los computadores más potentes disponibles actualmente . Sin embargo, la simulación numérica directa es una herramienta útil en la investigación fundamental en turbulencia. Usando DNS es posible realizar "experimentos numéricos", y extraer de ellos información difícil o imposible de obtener en el laboratorio, permitiendo una mejor comprensión de la física de la turbulencia. También, las simulaciones numéricas directas son útiles en el desarrollo de modelos de turbulencia para aplicaciones prácticas, tales como modelos a escala de sub-malla para simulación de grandes remolinos (LES) y modelos para métodos que resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (RANS). Esto se hace por medio de pruebas "a priori", en las que los datos de entrada para el modelo se toman de una simulación DNS, o por pruebas "a posteriori", en las que los resultados producidos por el modelo se comparan con los obtenidos por DNS.

Referencias

1. Aquí el origen del término simulación numérica directa (ver egp 385 en Orszag, Steven A. (1970). "Analytical Theories of Turbulence". Journal of Fluid Mechanics . 41 (1970): 363–386. Bibcode :1970JFM....41..363O. doi :10.1017/S0022112070000642. S2CID  122834319.) se debe al hecho de que, en ese momento, se consideraba que solo había dos formas principales de obtener resultados teóricos con respecto a la turbulencia, es decir, a través de teorías de turbulencia (como la aproximación de interacción directa) y directamente a partir de la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes.
2. https://eprints.soton.ac.uk/66182/1/A_primer_on_DNS.pdf "Una introducción a la simulación numérica directa de la turbulencia: métodos, procedimientos y pautas", Coleman y Sandberg, 2010

Enlaces externos

• Página de DNS en CFD-Wiki