Modelo negro

Modelo financiero

El modelo Black (a veces conocido como modelo Black-76 ) es una variante del modelo de valoración de opciones Black-Scholes . Sus principales aplicaciones son la valoración de opciones sobre contratos de futuros , opciones sobre bonos , topes y pisos de tasas de interés y swaptions . Fue presentado por primera vez en un artículo escrito por Fischer Black en 1976.

El modelo de Black se puede generalizar a una clase de modelos conocidos como modelos log-normales directos.

La fórmula negra

La fórmula de Black es similar a la fórmula de Black-Scholes para valorar las opciones sobre acciones, excepto que el precio al contado del activo subyacente se reemplaza por un precio de futuros descontado F.

Supongamos que existe una tasa de interés constante libre de riesgo r y que el precio de futuros F(t) de un subyacente particular es log-normal con volatilidad constante σ . Entonces, la fórmula de Black establece que el precio de una opción de compra europea con vencimiento T sobre un contrato de futuros con precio de ejercicio K y fecha de entrega T' (con ) es ${\displaystyle T'\geq T}$

${\displaystyle c=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]}$

El precio de venta correspondiente es

${\displaystyle p=e^{-rT}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]}$

dónde

${\displaystyle d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}$

${\displaystyle d_{2}={\frac {\ln(F/K)-(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}},}$

y es la función de distribución normal acumulativa . ${\displaystyle N(\cdot )}$

Obsérvese que T' no aparece en las fórmulas aunque podría ser mayor que T . Esto se debe a que los contratos de futuros se valoran a valor de mercado y, por lo tanto, el pago se realiza cuando se ejerce la opción. Si consideramos una opción sobre un contrato a plazo que vence en el momento T' > T , el pago no se produce hasta T' . Por lo tanto, el factor de descuento se reemplaza por ya que se debe tener en cuenta el valor temporal del dinero . La diferencia en los dos casos queda clara a partir de la siguiente derivación. ${\displaystyle e^{-rT}}$ ${\displaystyle e^{-rT'}}$

Derivación y suposiciones

La fórmula de Black se deriva fácilmente del uso de la fórmula de Margrabe , que a su vez es una aplicación simple, pero inteligente, de la fórmula de Black-Scholes .

El pago de la opción de compra sobre el contrato de futuros es . Podemos considerar esto como una opción de intercambio (Margrabe) considerando que el primer activo es y el segundo activo son bonos sin riesgo que pagan $1 en el momento . Luego, la opción de compra se ejerce en el momento en que el primer activo vale más que los bonos sin riesgo. Los supuestos de la fórmula de Margrabe se cumplen con estos activos. ${\displaystyle \max(0,F(T)-K)}$ ${\displaystyle e^{-r(T-t)}F(t)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$

Lo único que queda por comprobar es que el primer activo es efectivamente un activo. Esto se puede comprobar considerando una cartera formada en el momento 0 mediante una posición larga en un contrato a plazo con fecha de entrega y bonos sin riesgo (nótese que, en el marco de la tasa de interés determinista, los precios a plazo y de futuros son iguales, por lo que no hay ninguna ambigüedad). Luego, en cualquier momento, puede cancelar su obligación por el contrato a plazo vendiendo en corto otro contrato a plazo con la misma fecha de entrega para obtener la diferencia en los precios a plazo, pero descontada al valor actual: . La liquidación de los bonos sin riesgo, cada uno de los cuales vale , da como resultado un pago neto de . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F(0)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle e^{-r(T-t)}[F(t)-F(0)]}$ ${\displaystyle F(0)}$ ${\displaystyle e^{-r(T-t)}}$ ${\displaystyle e^{-r(T-t)}F(t)}$

Véase también

• Matemáticas financieras
• Negro-Scholes
• Descripción de aplicaciones
  • Opción de bonos #Valoración
  • Contratos de futuros #Opciones sobre futuros
  • Modelo de topes y suelos para los tipos de interés #Black
  • Swaption #Valoración

Referencias

• Black, Fischer (1976). La fijación de precios de los contratos de materias primas, Journal of Financial Economics, 3, 167-179.
• Garman, Mark B. y Steven W. Kohlhagen (1983). Valores de opciones en moneda extranjera, Journal of International Money and Finance, 2, 231-237.
• Miltersen, K., Sandmann, K. y Sondermann, D., (1997): "Soluciones de forma cerrada para derivados de estructura temporal con tasas de interés logarítmicas normales", Journal of Finance, 52(1), 409-430.

Enlaces externos

Discusión

• Opciones sobre bonos, topes y el modelo negro Dra. Milica Cudina, Universidad de Texas en Austin

Herramientas en línea

• Calculadora de comprimidos y comprimidos de Floorlet Dr. Shing Hing Man, Gestión de riesgos de Thomson-Reuters