Los mapas lineales se pueden representar con matrices . Más precisamente, una matriz M representa un mapa lineal donde está el campo subyacente . [5] Entonces, la dimensión del dominio de es n , el número de columnas de M y el teorema de nulidad de rango para una matriz M es
Pruebas
Aquí ofrecemos dos pruebas. El primero [2] opera en el caso general, utilizando aplicaciones lineales. La segunda prueba [6] analiza el sistema homogéneo donde es a con rango y muestra explícitamente que existe un conjunto de soluciones linealmente independientes que abarcan el espacio nulo de .
Si bien el teorema requiere que el dominio del mapa lineal sea de dimensión finita, no existe tal suposición en el codominio. Esto significa que hay aplicaciones lineales no dadas por matrices a las que se aplica el teorema. A pesar de esto, la primera prueba no es en realidad más general que la segunda: dado que la imagen del mapa lineal es de dimensión finita, podemos representar el mapa desde su dominio hasta su imagen mediante una matriz, probar el teorema para esa matriz, luego componer con la inclusión de la imagen en el codominio completo.
Primera prueba
Sean espacios vectoriales sobre algún campo y definidos como en el enunciado del teorema con .
Como es un subespacio , existe una base para ello. Supongamos y dejemos
Ahora podemos, mediante el lema de intercambio de Steinitz , extender con vectores linealmente independientes para formar una base completa de .
Dejar
Ahora afirmamos que es una base para . La igualdad anterior ya establece que es un grupo electrógeno para ; queda por demostrar que también es linealmente independiente para concluir que es una base.
Supongamos que no es linealmente independiente y sea
Así, debido a la linealidad de , se deduce que
Para resumir, tenemos una base para y una base para .
A continuación demostramos que cualquier solución de debe ser una combinación lineal de las columnas de .
Para esto, dejemos
Sea cualquier vector tal que . Dado que las columnas de son linealmente independientes, implica .
Por lo tanto,
Esto demuestra que cualquier vector que sea solución de debe ser una combinación lineal de las soluciones especiales dadas por las columnas de . Y ya hemos visto que las columnas de son linealmente independientes. Por tanto, las columnas de constituyen una base para el espacio nulo de . Por tanto, la nulidad de es . Dado que es igual al rango de , se deduce que . Con esto concluye nuestra prueba.
Un tercer subespacio fundamental
Cuando se trata de una transformación lineal entre dos subespacios de dimensión finita, con y (por lo que puede representarse mediante una matriz ), el teorema de rango-nulidad afirma que si tiene rango , entonces es la dimensión del espacio nulo de , que representa el núcleo de . En algunos textos, un tercer subespacio fundamental asociado a se considera junto a su imagen y núcleo: el cokernel de es el espacio cociente , y su dimensión es . Esta fórmula de dimensión (que también podría traducirse ) junto con el teorema de rango-nulidad a veces se denomina teorema fundamental del álgebra lineal . [7] [8]
En un lenguaje más moderno, el teorema también se puede expresar de la siguiente manera: cada secuencia corta y exacta de espacios vectoriales se divide. Explícitamente, dado que
Intuitivamente, es el número de soluciones independientes de la ecuación y es el número de restricciones independientes que se deben imponer para que sea solucionable. El teorema de rango-nulidad para espacios vectoriales de dimensión finita es equivalente al enunciado
Vemos que podemos leer fácilmente el índice del mapa lineal de los espacios involucrados, sin necesidad de analizarlo en detalle. Este efecto también ocurre en un resultado mucho más profundo: el teorema del índice de Atiyah-Singer establece que el índice de ciertos operadores diferenciales se puede leer en la geometría de los espacios involucrados.
Citas
^ Axler (2015) pág. 63, §3.22
^ ab Friedberg, Insel y Spence (2014) p. 70, §2.1, Teorema 2.3
^ Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos de ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman y Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
^ * Strang, Gilbert . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 3ª edición. Orlando: Saunders, 1988.
^ Strang, Gilbert (1993), "El teorema fundamental del álgebra lineal" (PDF) , American Mathematical Monthly , 100 (9): 848–855, CiteSeerX 10.1.1.384.2309 , doi :10.2307/2324660, JSTOR 2324660
^ Zaman, Ragib. "Dimensiones de espacios vectoriales en una secuencia exacta". Intercambio de pilas de matemáticas . Consultado el 27 de octubre de 2015 .
Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos de ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman y Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (2014). Álgebra lineal (4ª ed.). Educación Pearson . ISBN 978-0130084514.
Meyer, Carl D. (2000), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada, SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.