Teorema de rango-nulidad

En álgebra lineal, relación entre 3 dimensiones.

Teorema de rango-nulidad

El teorema de rango-nulidad es un teorema de álgebra lineal que afirma:

• el número de columnas de una matriz M es la suma del rango de M y la nulidad de M ; y
• La dimensión del dominio de una transformación lineal f es la suma del rango de f (la dimensión de la imagen de f ) y la nulidad de f (la dimensión del núcleo de f ). ^{[1] [2] [3] [4]}

De ello se deduce que, para las transformaciones lineales de espacios vectoriales de igual dimensión finita, tanto la inyectividad como la sobreyectividad implican biyectividad .

Enunciado del teorema

Transformaciones lineales

Sea una transformación lineal entre dos espacios vectoriales donde el dominio de es de dimensión finita. Entonces donde es el rango de (la dimensión de su imagen ) y es la nulidad de (la dimensión de su núcleo ). En otras palabras, Este teorema se puede refinar a través del lema de desdoblamiento para que sea un enunciado sobre un isomorfismo de espacios, no solo de dimensiones. Explícitamente, dado que induce un isomorfismo de a la existencia de una base para que extiende cualquier base dada de implica, a través del lema de desdoblamiento, que Tomando dimensiones, se sigue el teorema de rango-nulidad. ${\displaystyle T:V\to W}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \operatorname {rank} (T)~+~\operatorname {nullity} (T)~=~\dim V,}$$ ${\textstyle \operatorname {rank} (T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \operatorname {nullity} (T)}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \dim(\operatorname {Im} T)+\dim(\operatorname {Ker} T)=\dim(\operatorname {Domain} (T)).}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V/\operatorname {Ker} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (T),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Ker} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (T)\oplus \operatorname {Ker} (T)\cong V.}$

Matrices

Las aplicaciones lineales se pueden representar con matrices . Más precisamente, una matriz M representa una aplicación lineal donde es el cuerpo subyacente . ^[5] Por lo tanto, la dimensión del dominio de es n , el número de columnas de M , y el teorema de rango-nulidad para una matriz M es ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle f:F^{n}\to F^{m},}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m\times n}$ $${\displaystyle \operatorname {rank} (M)+\operatorname {nullity} (M)=n.}$$

Pruebas

Aquí proporcionamos dos pruebas. La primera ^[2] opera en el caso general, utilizando funciones lineales. La segunda prueba ^[6] analiza el sistema homogéneo donde es a con rango y muestra explícitamente que existe un conjunto de soluciones linealmente independientes que abarcan el espacio nulo de . ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Si bien el teorema requiere que el dominio de la función lineal sea de dimensión finita, no existe tal suposición en el codominio. Esto significa que hay funciones lineales no dadas por matrices para las que se aplica el teorema. A pesar de esto, la primera prueba no es en realidad más general que la segunda: dado que la imagen de la función lineal es de dimensión finita, podemos representar la función desde su dominio hasta su imagen mediante una matriz, demostrar el teorema para esa matriz y luego componer con la inclusión de la imagen en el codominio completo.

Primera prueba

Sean espacios vectoriales sobre algún cuerpo y definidos como en el enunciado del teorema con . ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \dim V=n}$

Como es un subespacio , existe una base para él. Supóngase que y sea tal base. ${\displaystyle \operatorname {Ker} T\subset V}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} T=k}$ $${\displaystyle {\mathcal {K}}:=\{v_{1},\ldots ,v_{k}\}\subset \operatorname {Ker} (T)}$$

Ahora podemos, mediante el lema de intercambio de Steinitz , extender con vectores linealmente independientes para formar una base completa de . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n-k}}$ ${\displaystyle V}$

Sea tal que sea una base para . De esto, sabemos que $${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\{w_{1},\ldots ,w_{n-k}\}\subset V\setminus \operatorname {Ker} (T)}$$ $${\displaystyle {\mathcal {B}}:={\mathcal {K}}\cup {\mathcal {S}}=\{v_{1},\ldots ,v_{k},w_{1},\ldots ,w_{n-k}\}\subset V}$$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \operatorname {Im} T=\operatorname {Span} T({\mathcal {B}})=\operatorname {Span} \{T(v_{1}),\ldots ,T(v_{k}),T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}}$$

${\displaystyle =\operatorname {Span} \{T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}=\operatorname {Span} T({\mathcal {S}}).}$

Ahora afirmamos que es una base para . La igualdad anterior ya establece que es un conjunto generador para ; queda por demostrar que también es linealmente independiente para concluir que es una base. ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$ ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$

Supongamos que no es linealmente independiente y sea para algún . ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ $${\displaystyle \sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}T(w_{j})=0_{W}}$$ ${\displaystyle \alpha _{j}\in F}$

Por lo tanto, debido a la linealidad de , se deduce que Esto es una contradicción con ser una base, a menos que todos sean iguales a cero. Esto demuestra que es linealmente independiente y, más específicamente, que es una base para . ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle T\left(\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)=0_{W}\implies \left(\sum _{j=1}^{n-k}\alpha _{j}w_{j}\right)\in \operatorname {Ker} T=\operatorname {Span} {\mathcal {K}}\subset V.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \alpha _{j}}$ ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$

Para resumir, tenemos , una base para , y , una base para . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ker} T}$ ${\displaystyle T({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$

Finalmente podemos afirmar que $${\displaystyle \operatorname {Rank} (T)+\operatorname {Nullity} (T)=\dim \operatorname {Im} T+\dim \operatorname {Ker} T}$$

${\displaystyle =|T({\mathcal {S}})|+|{\mathcal {K}}|=(n-k)+k=n=\dim V.}$

Con esto concluye nuestra prueba.

Segunda prueba

Sea una matriz con columnas linealmente independientes (es decir, ). Demostraremos que: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \operatorname {Rank} (\mathbf {A} )=r}$

1. Existe un conjunto de soluciones linealmente independientes del sistema homogéneo . ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} }$
2. Que cualquier otra solución es una combinación lineal de estas soluciones. ${\displaystyle n-r}$

Para ello, produciremos una matriz cuyas columnas formen una base del espacio nulo de . ${\displaystyle n\times (n-r)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Sin pérdida de generalidad, supongamos que las primeras columnas de son linealmente independientes. Por lo tanto, podemos escribir donde ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{2}\end{pmatrix}},}$$

• ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$es una matriz con vectores columna linealmente independientes, y ${\displaystyle m\times r}$ ${\displaystyle r}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{2}}$es una matriz tal que cada una de sus columnas son combinaciones lineales de las columnas de . ${\displaystyle m\times (n-r)}$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$

Esto significa que para alguna matriz (ver factorización de rango ) y, por lo tanto, ${\displaystyle \mathbf {A} _{2}=\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} }$ ${\displaystyle r\times (n-r)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}.}$$

Sea donde es la matriz identidad . Entonces, es una matriz tal que $${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{n-r}}$ ${\displaystyle (n-r)\times (n-r)}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle n\times (n-r)}$ $${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {X} ={\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}=-\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} +\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} =\mathbf {0} _{m\times (n-r)}.}$$

Por lo tanto, cada una de las columnas de son soluciones particulares de . ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Ax} ={0}_{{F}^{m}}}$

Además, las columnas de son linealmente independientes porque implicarán para : Por lo tanto, los vectores columna de constituyen un conjunto de soluciones linealmente independientes para . ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {Xu} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \in {F}^{n-r}}$ $${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}\implies {\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}\mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n}}\implies {\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \mathbf {u} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {0} _{{F}^{r}}\\\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}\end{pmatrix}}\implies \mathbf {u} =\mathbf {0} _{{F}^{n-r}}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} _{\mathbb {F} ^{m}}}$

A continuación demostramos que cualquier solución de debe ser una combinación lineal de las columnas de . ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$

Para ello, dejemos que $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}\in {F}^{n}}$$

sea ​​cualquier vector tal que . Dado que las columnas de son linealmente independientes, implica . ${\displaystyle \mathbf {Au} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}\mathbf {x} =\mathbf {0} _{{F}^{m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} _{{F}^{r}}}$

Por lo tanto, $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathbf {A} \mathbf {u} &=&\mathbf {0} _{{F}^{m}}\\\implies {\begin{pmatrix}\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}&=&\mathbf {A} _{1}\mathbf {u} _{1}+\mathbf {A} _{1}\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {A} _{1}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2})&=&\mathbf {0} _{\mathbb {F} ^{m}}\\\implies \mathbf {u} _{1}+\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}&=&\mathbf {0} _{{F}^{r}}\\\implies \mathbf {u} _{1}&=&-\mathbf {B} \mathbf {u} _{2}\end{array}}}$$ $${\displaystyle \implies \mathbf {u} ={\begin{pmatrix}\mathbf {u} _{1}\\\mathbf {u} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mathbf {B} \\\mathbf {I} _{n-r}\end{pmatrix}}\mathbf {u} _{2}=\mathbf {X} \mathbf {u} _{2}.}$$

Esto demuestra que cualquier vector que sea una solución de debe ser una combinación lineal de las soluciones especiales dadas por las columnas de . Y ya hemos visto que las columnas de son linealmente independientes. Por lo tanto, las columnas de constituyen una base para el espacio nulo de . Por lo tanto, la nulidad de es . Como es igual al rango de , se deduce que . Esto concluye nuestra demostración. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \operatorname {Rank} (\mathbf {A} )+\operatorname {Nullity} (\mathbf {A} )=n}$

Un tercer subespacio fundamental

Cuando es una transformación lineal entre dos subespacios de dimensión finita, con y (por lo que puede representarse mediante una matriz ), el teorema de rango-nulidad afirma que si tiene rango , entonces es la dimensión del espacio nulo de , que representa el núcleo de . En algunos textos, se considera un tercer subespacio fundamental asociado a junto con su imagen y núcleo: el conúcleo de es el espacio cociente , y su dimensión es . Esta fórmula de dimensión (que también podría traducirse como ) junto con el teorema de rango-nulidad a veces se denomina teorema fundamental del álgebra lineal . ^{[7] [8]} ${\displaystyle T:V\to W}$ ${\displaystyle n=\dim(V)}$ ${\displaystyle m=\dim(W)}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle W/\operatorname {Im} (T)}$ ${\displaystyle m-r}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {Im} (T)+\dim \operatorname {Coker} (T)=\dim(W)}$

Reformulaciones y generalizaciones

Este teorema es un enunciado del primer teorema de isomorfismo del álgebra para el caso de espacios vectoriales; se generaliza al lema de división .

En un lenguaje más moderno, el teorema también se puede expresar diciendo que cada secuencia corta exacta de espacios vectoriales se divide. Explícitamente, dado que es una secuencia corta exacta de espacios vectoriales, entonces , por lo tanto Aquí juega el papel de y es , es decir $${\displaystyle 0\rightarrow U\rightarrow V\mathbin {\overset {T}{\rightarrow }} R\rightarrow 0}$$ ${\displaystyle U\oplus R\cong V}$ $${\displaystyle \dim(U)+\dim(R)=\dim(V).}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {Ker} T}$ $${\displaystyle 0\rightarrow \ker T\mathbin {\hookrightarrow } V\mathbin {\overset {T}{\rightarrow }} \operatorname {im} T\rightarrow 0}$$

En el caso de dimensión finita, esta formulación es susceptible de una generalización: si es una secuencia exacta de espacios vectoriales de dimensión finita, entonces ^[9] El teorema de rango-nulidad para espacios vectoriales de dimensión finita también puede formularse en términos del índice de una función lineal. El índice de una función lineal , donde y son de dimensión finita, se define por $${\displaystyle 0\rightarrow V_{1}\rightarrow V_{2}\rightarrow \cdots V_{r}\rightarrow 0}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{r}(-1)^{i}\dim(V_{i})=0.}$$ ${\displaystyle T\in \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim \operatorname {Ker} (T)-\dim \operatorname {Coker} T.}$$

Intuitivamente, es el número de soluciones independientes de la ecuación , y es el número de restricciones independientes que se deben aplicar para que sea solucionable. El teorema de rango-nulidad para espacios vectoriales de dimensión finita es equivalente al enunciado ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} T}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Tv=0}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {Coker} T}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle Tv=w}$ $${\displaystyle \operatorname {index} T=\dim V-\dim W.}$$

Vemos que podemos leer fácilmente el índice de la función lineal a partir de los espacios involucrados, sin necesidad de realizar un análisis detallado. Este efecto también se produce en un resultado mucho más profundo: el teorema del índice de Atiyah-Singer establece que el índice de ciertos operadores diferenciales se puede leer a partir de la geometría de los espacios involucrados. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Citas

1. Axler (2015) pág. 63, §3.22
2. Friedberg, Insel & Spence (2014) p. 70, §2.1, Teorema 2.3
3. Katznelson y Katznelson (2008) pág. 52, §2.5.1
4. Valenza (1993) pág. 71, §4.3
5. Friedberg, Insel y Spence (2014) págs. 103-104, §2.4, Teorema 2.20
6. Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos en ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman y Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
7. * Strang, Gilbert . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 3.ª ed. Orlando: Saunders, 1988.
8. Strang, Gilbert (1993), "El teorema fundamental del álgebra lineal" (PDF) , American Mathematical Monthly , 100 (9): 848–855, CiteSeerX 10.1.1.384.2309 , doi :10.2307/2324660, JSTOR  2324660 
9. Zaman, Ragib. "Dimensiones de espacios vectoriales en una secuencia exacta". Mathematics Stack Exchange . Consultado el 27 de octubre de 2015 .

Referencias

• Axler, Sheldon (2015). Álgebra lineal bien hecha . Textos de pregrado en matemáticas (3.ª ed.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística , Textos en ciencia estadística (1.ª ed.), Chapman y Hall/CRC, ISBN 978-1420095388
• Friedberg, Stephen H.; Insel, Arnold J.; Spence, Lawrence E. (2014). Álgebra lineal (4.ª ed.). Pearson Education . ISBN 978-0130084514.
• Meyer, Carl D. (2000), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada, SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.
• Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Una (breve) introducción al álgebra lineal . American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Valenza, Robert J. (1993) [1951]. Álgebra lineal: Introducción a las matemáticas abstractas . Textos de pregrado en matemáticas (3.ª ed.). Springer . ISBN 3-540-94099-5.

Enlaces externos

• Gilbert Strang , MIT, Álgebra lineal, conferencia sobre los cuatro subespacios fundamentales, de MIT OpenCourseWare