función cóncava

Negativa de una función convexa

En matemáticas , una función cóncava es aquella para la cual el valor en cualquier combinación convexa de elementos en el dominio es mayor o igual a la combinación convexa de los valores en los puntos finales. De manera equivalente, una función cóncava es cualquier función cuyo hipógrafo es convexo. La clase de funciones cóncavas es en cierto sentido lo opuesto a la clase de funciones convexas . Una función cóncava también se llama sinónimamente cóncava hacia abajo , cóncava hacia abajo , convexa hacia arriba , tapa convexa o convexa superior .

Definición

Una función de valor real en un intervalo (o, más generalmente, un conjunto convexo en el espacio vectorial ) se dice cóncava si , para cualquiera y en el intervalo y para cualquiera , ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)}$

Una función se llama estrictamente cóncava si

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,}$

para cualquiera y . ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ ${\displaystyle x\neq y}$

Para una función , esta segunda definición simplemente establece que para cada punto estrictamente entre y , el punto en la gráfica de está por encima de la línea recta que une los puntos y . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (z,f(z))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle (y,f(y))}$

Una función es cuasicóncava si los conjuntos de contornos superiores de la función son conjuntos convexos. ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S(a)=\{x:f(x)\geq a\}}$

Propiedades

Funciones de una sola variable

1. Una función diferenciable f es (estrictamente) cóncava en un intervalo si y solo si su función derivada f ′ es (estrictamente) monótonamente decreciente en ese intervalo, es decir, una función cóncava tiene una pendiente no creciente (decreciente) . ^{[3] [4]}
2. Los puntos donde cambia la concavidad (entre cóncava y convexa ) son puntos de inflexión . ^[5]
3. Si f es dos veces diferenciable , entonces f es cóncava si y sólo si f" no es positiva (o, informalmente, si la " aceleración " no es positiva). Si f ′′ es negativa entonces f es estrictamente cóncava, pero lo contrario no es cierto, como lo muestra f ( x ) = − x ⁴ .
4. Si f es cóncava y diferenciable, entonces está acotada arriba por su aproximación de Taylor de primer orden : ^[2]
   $${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$$
5. Una función medible de Lebesgue en un intervalo C es cóncava si y sólo si es cóncava en el punto medio, es decir, para cualquier x e y en C.
   $${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$$
6. Si una función f es cóncava y f (0) ≥ 0 , entonces f es subaditiva en . Prueba: ${\displaystyle [0,\infty )}$
   • Como f es cóncava y 1 ≥ t ≥ 0 , haciendo y = 0 tenemos
     $${\displaystyle f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).}$$
   • Para : ${\displaystyle a,b\in [0,\infty )}$
     $${\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}$$

Funciones de n variables

1. Una función f es cóncava sobre un conjunto convexo si y sólo si la función −f es una función convexa sobre el conjunto.
2. La suma de dos funciones cóncavas es en sí misma cóncava y también lo es el mínimo puntual de dos funciones cóncavas, es decir, el conjunto de funciones cóncavas en un dominio dado forma un semicampo .
3. Cerca de un máximo local estricto en el interior del dominio de una función, la función debe ser cóncava; como recíproco parcial, si la derivada de una función estrictamente cóncava es cero en algún punto, entonces ese punto es un máximo local.
4. Cualquier máximo local de una función cóncava también es un máximo global . Una función estrictamente cóncava tendrá como máximo un máximo global.

Ejemplos

• Las funciones y son cóncavas en sus dominios, al igual que sus segundas derivadas y son siempre negativas. ${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle f''(x)=-2}$ ${\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$
• La función logaritmo es cóncava en su dominio , ya que su derivada es una función estrictamente decreciente. ${\displaystyle f(x)=\log {x}}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$
• Cualquier función afín es a la vez cóncava y convexa, pero ni estrictamente cóncava ni estrictamente convexa. ${\displaystyle f(x)=ax+b}$
• La función seno es cóncava en el intervalo . ${\displaystyle [0,\pi ]}$
• La función , donde es el determinante de una matriz B definida no negativa , es cóncava. ^[6] ${\displaystyle f(B)=\log |B|}$ ${\displaystyle |B|}$

Aplicaciones

• Los rayos que se curvan en el cálculo de la atenuación de las ondas de radio en la atmósfera implican funciones cóncavas.
• En la teoría de la utilidad esperada para la elección en condiciones de incertidumbre , las funciones cardinales de utilidad de los tomadores de decisiones con aversión al riesgo son cóncavas.
• En la teoría microeconómica , generalmente se supone que las funciones de producción son cóncavas en algunos o todos sus dominios, lo que resulta en rendimientos decrecientes de los factores de entrada. ^[7]

Ver también

• polígono cóncavo
• La desigualdad de Jensen
• Función logarítmicamente cóncava
• Función cuasicóncava
• Concavificación

Referencias

1. Lenhart, S.; Obrero, JT (2007). Control Óptimo Aplicado a Modelos Biológicos . Serie de Biología Matemática y Computacional. Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-640-2.
2. Varian, Hal R. (1992). Análisis microeconómico (3ª ed.). Nueva York: Norton. pag. 489.ISBN _ 0-393-95735-7. OCLC  24847759.
3. Rudin, Walter (1976). Análisis . pag. 101.
4. Gradshteyn, ES; Ryzhik, IM; Hays, DF (1 de julio de 1976). "Tabla de Integrales, Series y Productos". Revista de tecnología de lubricación . 98 (3): 479. doi : 10.1115/1.3452897 . ISSN  0022-2305.
5. Hass, Joel (13 de marzo de 2017). El cálculo de Tomás. Heil, Christopher, 1960-, Weir, Maurice D., Thomas, George B. Jr. (George Brinton), 1914-2006. (Decimocuarta ed.). [Estados Unidos]. pag. 203.ISBN _ 978-0-13-443898-6. OCLC  965446428.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )
6. Portada, Thomas M .; Thomas, JA (1988). "Desigualdades determinantes a través de la teoría de la información". Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones de Matrices . 9 (3): 384–392. doi :10.1137/0609033. S2CID  5491763.
7. Pemberton, Malcolm; Rau, Nicolás (2015). Matemáticas para economistas: un libro de texto introductorio. Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 363–364. ISBN 978-1-78499-148-7.

Referencias adicionales

• Crouzeix, J.-P. (2008). "Cuasiconcavidad". En Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (eds.). Diccionario de economía New Palgrave (Segunda ed.). Palgrave Macmillan. págs. 815–816. doi :10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5.
• Rao, Singiresu S. (2009). Optimización de ingeniería: teoría y práctica . John Wiley e hijos. pag. 779.ISBN _ 978-0-470-18352-6.