Método de captura de impactos

En dinámica de fluidos computacional , los métodos de captura de choques son una clase de técnicas para calcular flujos no viscosos con ondas de choque . El cálculo de flujos que contienen ondas de choque es una tarea extremadamente difícil porque dichos flujos dan como resultado cambios bruscos y discontinuos en las variables de flujo, como la presión, la temperatura, la densidad y la velocidad a través del choque.

Método

En los métodos de captura de choques, las ecuaciones que gobiernan los flujos no viscosos (es decir, las ecuaciones de Euler ) se formulan en forma de conservación y cualquier onda de choque o discontinuidad se calcula como parte de la solución. Aquí, no se emplea ningún tratamiento especial para ocuparse de los choques en sí, lo que contrasta con el método de ajuste de choques, donde las ondas de choque se introducen explícitamente en la solución utilizando relaciones de choque apropiadas ( relaciones de Rankine-Hugoniot ). Las ondas de choque predichas por los métodos de captura de choques generalmente no son nítidas y pueden estar esparcidas sobre varios elementos de la cuadrícula. Además, los métodos clásicos de captura de choques tienen la desventaja de que pueden desarrollarse oscilaciones no físicas ( fenómeno de Gibbs ) cerca de choques fuertes.

Ecuaciones de Euler

Las ecuaciones de Euler son las ecuaciones que rigen el flujo no viscoso. Para implementar métodos de captura de choques, se utiliza la forma de conservación de las ecuaciones de Euler. Para un flujo sin transferencia de calor externa ni transferencia de trabajo (flujo isoenergético), la forma de conservación de la ecuación de Euler en el sistema de coordenadas cartesianas se puede escribir como donde los vectores $U$ , $F$ , $G$ y $H$ están dados por ${\frac {\partial {\mathbf {U}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\mathbf {F}}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\mathbf {G}}}{\partial y}}+{\frac {\partial {\mathbf {H}}}{\partial z}}=0$ $\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\\rho e_{t}\\\end{bmatrix}},\ quad \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}\rho u\\\rho u^{2}+p\\\rho uv\\\rho uw\\(\rho e_{t}+p)u \\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {G} ={\begin{bmatrix}\rho v\\\rho vu\\\rho v^{2}+p\\\rho vw\\( \rho e_{t}+p)v\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}\rho w\\\rho wu\\\rho wv\\\rho w^{2}+p\\(\rho e_{t}+p)w\\\end{bmatrix}}$

donde es la energía total (energía interna + energía cinética + energía potencial) por unidad de masa. Es decir $estilo de visualización e_{t}}$ $e_{t}=e+{\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2}}+gz$

Las ecuaciones de Euler pueden integrarse con cualquiera de los métodos de captura de choques disponibles para obtener la solución.

Métodos de captura de impactos clásicos y modernos

Desde un punto de vista histórico, los métodos de captura de choques se pueden clasificar en dos categorías generales: métodos clásicos y métodos de captura de choques modernos (también llamados esquemas de alta resolución). Los métodos de captura de choques modernos generalmente están sesgados hacia el viento en contraste con las discretizaciones clásicas simétricas o centrales. Los esquemas de diferenciación sesgados hacia el viento intentan discretizar ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas mediante el uso de diferenciación basada en la dirección del flujo. Por otro lado, los esquemas simétricos o centrales no consideran ninguna información sobre la dirección de propagación de las olas.

Independientemente del esquema de captura de choques utilizado, un cálculo estable en presencia de ondas de choque requiere una cierta cantidad de disipación numérica, para evitar la formación de oscilaciones numéricas no físicas. En el caso de los métodos clásicos de captura de choques, los términos de disipación numérica suelen ser lineales y la misma cantidad se aplica uniformemente en todos los puntos de la cuadrícula. Los métodos clásicos de captura de choques solo muestran resultados precisos en el caso de soluciones de choques suaves y débiles, pero cuando hay ondas de choque fuertes en la solución, pueden surgir inestabilidades y oscilaciones no lineales a través de las discontinuidades. Los métodos modernos de captura de choques suelen emplear disipación numérica no lineal, donde un mecanismo de retroalimentación ajusta la cantidad de disipación artificial agregada de acuerdo con las características de la solución. Idealmente, la disipación numérica artificial debe agregarse solo en la proximidad de los choques u otras características agudas, y las regiones de flujo suave deben dejarse sin modificar. Estos esquemas han demostrado ser estables y precisos incluso para problemas que contienen ondas de choque fuertes.

Algunos de los métodos de captura de choques clásicos conocidos incluyen el método MacCormack (utiliza un esquema de discretización para la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas), el método Lax-Wendroff (basado en diferencias finitas, utiliza un método numérico para la solución de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas ) y el método Beam-Warming . Ejemplos de esquemas de captura de choques modernos incluyen esquemas de disminución de variación total (TVD) de orden superior propuestos por primera vez por Harten , esquema de transporte corregido por flujo introducido por Boris y Book, esquemas monótonos centrados en corriente arriba para leyes de conservación (MUSCL) basado en el enfoque de Godunov e introducido por van Leer , varios esquemas esencialmente no oscilatorios (ENO) propuestos por Harten et al., y el método parabólico por partes (PPM) propuesto por Colella y Woodward. Otra clase importante de esquemas de alta resolución pertenece a los solucionadores aproximados de Riemann propuestos por Roe y por Osher . Los esquemas propuestos por Jameson y Baker, donde los términos de disipación numérica lineal dependen de funciones de conmutación no lineales, se encuentran entre los métodos de captura de choques clásicos y modernos.

Referencias

Libros

Anderson, JD , "Flujo compresible moderno con perspectiva histórica", McGraw-Hill (2004).
Hirsch, C., "Cálculo numérico de flujos internos y externos", Vol. II, 2ª ed., Butterworth-Heinemann (2007).
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Tannehill, JC, Anderson, DA y Pletcher, RH, "Dinámica de fluidos computacional y transferencia de calor", 2.ª ed., Taylor & Francis (1997).
Toro, EF, "Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para dinámica de fluidos", 2ª ed., Springer-Verlag (1999).

Documentos técnicos

Boris, JP y Book, DL, "Transporte con corrección de flujo III. Algoritmos FCT de error mínimo", J. Comput. Phys., 20 , 397–431 (1976).
Colella, P. y Woodward, P., "El método parabólico por partes (PPM) para simulaciones gasdinámicas", J. Comput. Phys., 54 , 174–201 (1984).
Godunov, SK , "Un esquema de diferencias para el cálculo numérico de soluciones discontinuas de ecuaciones hiperbólicas", Mat. Sbornik, 47 , 271–306 (1959).
Harten, A. , "Esquemas de alta resolución para leyes de conservación hiperbólica", J. Comput. Phys., 49 , 357–293 (1983).
Harten, A., Engquist, B. , Osher, S. y Chakravarthy, SR, "Esquemas esencialmente no oscilatorios de precisión de orden alto uniforme III", J. Comput. Phys., 71 , 231–303 (1987).
Jameson, A. y Baker, T., "Solución de las ecuaciones de Euler para configuraciones complejas", AIAA Paper, 83–1929 (1983).
MacCormack, RW, "El efecto de la viscosidad en la formación de cráteres por impacto a hipervelocidad", artículo de la AIAA, 69–354 (1969).
Roe, PL , "Solucionadores de Riemann aproximados, vectores de parámetros y esquemas de diferencias", J. Comput. Phys. 43 , 357–372 (1981).
Shu, C.-W. , Osher, S., "Implementación eficiente de esquemas de captura de choques esencialmente no oscilatorios", J. Comput. Phys., 77 , 439–471 (1988).
van Leer, B. , "Hacia el esquema diferencial conservador último V; una secuela de segundo orden de la secuela de Godunov", J. Comput. Phys., 32 , 101–136, (1979).