Esquema de ceñida

Método de discretización para ecuaciones diferenciales

En física computacional , el término esquema de advección se refiere a una clase de métodos de discretización numérica para resolver ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas . En los llamados esquemas upwind típicamente , las llamadas variables upstream se utilizan para calcular las derivadas en un campo de flujo. Es decir, las derivadas se estiman utilizando un conjunto de puntos de datos sesgados para estar más "arriba del viento" del punto de consulta, con respecto a la dirección del flujo. Históricamente, el origen de los métodos upwind se remonta al trabajo de Courant , Isaacson y Rees, quienes propusieron el método CIR. ^[1]

Ecuación del modelo

Para ilustrar el método, considere la siguiente ecuación de advección lineal unidimensional

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}$

que describe una onda que se propaga a lo largo del eje con una velocidad . Esta ecuación también es un modelo matemático para la advección lineal unidimensional . Considere un punto de cuadrícula típico en el dominio. En un dominio unidimensional, solo hay dos direcciones asociadas con el punto : izquierda (hacia el infinito negativo) y derecha (hacia el infinito positivo). Si es positivo, la solución de onda viajera de la ecuación anterior se propaga hacia la derecha, el lado izquierdo se llama lado contra el viento y el lado derecho es el lado a favor del viento . De manera similar, si es negativo, la solución de onda viajera se propaga hacia la izquierda, el lado izquierdo se llama lado a favor del viento y el lado derecho es el lado contra el viento . Si el esquema de diferencias finitas para la derivada espacial contiene más puntos en el lado contra el viento, el esquema se llama esquema con sesgo contra el viento o simplemente esquema contra el viento . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \partial u/\partial x}$

Esquema de primer orden en contra del viento

Una simulación de un esquema de barlovento de primer orden en el que a = sin( t ).

El esquema de viento en contra más simple posible es el esquema de viento en contra de primer orden. Está dado por ^[2]

donde se refiere a la dimensión y se refiere a la dimensión. (En comparación, un esquema de diferencia central en este escenario se vería así ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\Delta x}}=0,}$

independientemente del signo de .) ${\displaystyle a}$

Forma compacta

Definiendo

${\displaystyle a^{+}={\text{max}}(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min}}(a,0)}$

y

${\displaystyle u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}}$

Las dos ecuaciones condicionales ( 1 ) y ( 2 ) se pueden combinar y escribir en forma compacta como

La ecuación (3) es una forma general de escribir cualquier esquema de tipo ceñido.

Estabilidad

El esquema de barlovento es estable si se cumple la siguiente condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). ^[3]

Los efectos del número de courant, c, sobre la estabilidad del esquema numérico ascendente de primer orden.

${\displaystyle c=\left|{\frac {a\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1}$y . ${\displaystyle 0\leq a}$

Un análisis de la serie de Taylor del esquema de barlovento analizado anteriormente mostrará que es preciso en primer orden en el espacio y el tiempo. El análisis de número de onda modificado muestra que el esquema de barlovento de primer orden introduce una difusión/disipación numérica grave en la solución donde existen grandes gradientes debido a la necesidad de números de onda altos para representar gradientes pronunciados.

Esquema de ceñida de segundo orden

La precisión espacial del esquema de barlovento de primer orden se puede mejorar al incluir 3 puntos de datos en lugar de solo 2, lo que ofrece una plantilla de diferencia finita más precisa para la aproximación de la derivada espacial. Para el esquema de barlovento de segundo orden, se convierte en la diferencia hacia atrás de 3 puntos en la ecuación ( 3 ) y se define como ${\displaystyle u_{x}^{-}}$

${\displaystyle u_{x}^{-}={\frac {3u_{i}^{n}-4u_{i-1}^{n}+u_{i-2}^{n}}{2\Delta x}}}$

y es la diferencia de 3 puntos hacia adelante, definida como ${\displaystyle u_{x}^{+}}$

${\displaystyle u_{x}^{+}={\frac {-u_{i+2}^{n}+4u_{i+1}^{n}-3u_{i}^{n}}{2\Delta x}}}$

Este esquema es menos difusivo en comparación con el esquema preciso de primer orden y se denomina esquema de diferenciación lineal en contra del viento (LUD).

Véase también

• Método de diferencias finitas
• Esquema de diferenciación en contra del viento para convección
• El plan de Godunov

Referencias

1. Courant, Richard; Isaacson, E; Rees, M. (1952). "Sobre la solución de ecuaciones diferenciales hiperbólicas no lineales mediante diferencias finitas". Comm. Pure Appl. Math . 5 (3): 243..255. doi :10.1002/cpa.3160050303.
2. Patankar, SV (1980). Transferencia numérica de calor y flujo de fluidos . Taylor & Francis . ISBN 978-0-89116-522-4.
3. Hirsch, C. (1990). Cálculo numérico de flujos internos y externos . John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-92452-4.